高二数学数系的扩充和复数的概念课时

第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.问题提出1.数的概念产生和发展的历史进程：正分数正无理数零和负数NQ＋R＋R数系每次扩充的基本原则：第一、增加新元素；第二、原有的运算性质仍然成立；第三、新数系能解决旧数系中的矛盾.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.2.若，则

对此你有什么困惑？问题提出Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.3.唯物辨证法认为，事物是发展变化的，事物内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力.由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类新数存在，还有比实数集更大的数系.问题提出Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.数系的扩充Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.1、由得，这与矛盾的原因是什么？方程x2－x＋1＝0无实根2、方程x2－x＋1＝0无实根的根本原因是什么？－1不能开平方问题探究Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.3、我们设想引入一个新数，用字母i表示，使这个数是－1的平方根，即i2＝－1，那么方程x2－x＋1＝0的根是什么？问题提出Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.4、若x4＝1，利用i2＝－1,则x等于什么？1，－1，i，－i.问题提出Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.5、满足i2＝－1的新数i显然不是实数，称为虚数单位，根据数系的扩充原则，应规定虚数单位i和实数之间的运算满足哪些运算律？乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律.问题探究Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.6、设a∈R，下列运算正确吗？问题探究Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.1、虚数单位i与实数进行四则运算，可以形成哪种一般形式的数？a＋bi（a，b∈R）2、把形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集，记作C，那么复数集如何用描述法表示？C＝{a＋bi|a，b∈R}问题探究Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.3、复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部，那么复数z＝－3i的实部和虚部分别是什么？实部为,虚部为－3.问题探究Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.4、两个实数可以相等，两个复数也可以相等，并且规定：a＋bi＝c＋di（a，b，c，d∈R）的充要条件是a＝c且b＝d，那么a＋bi＝0的充要条件是什么？

a＝b＝0问题探究Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.5、对于复数z＝a＋bi（a，b∈R）当b＝0时，z为什么数？由此说明实数集与复数集的关系如何？当b＝0时z为实数.实数集R是复数集C的真子集.问题探究Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.6、对于复数z＝a＋bi（a，b∈R）当b≠0时，z叫做虚数，当a＝0且b≠0时，z叫做纯虚数，那么虚数集与纯虚数集之间如何？纯虚数集是虚数集的真子集.问题探究Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.7、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？复数实数虚数纯虚数问题探究8、两个实数可以比较大小，一个实数与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗？虚数不能比较大小.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.例1实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i分别是实数，虚数和纯虚数？当m＝－1时，z是纯虚数.典例讲评当m＝1时，z是实数；当m≠1时，z是虚数；Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.例2设复数z1＝(x－y)＋(x＋3)i，z2＝(3x＋2y)－yi，若z1＝z2，求实数x，y的值.x＝－9，y＝6.典例讲评Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.1.将实数系扩充到复数系是源于解方程的需要，到十九世纪中叶已建立了一套完整的复数理论，形成一个独立的数学分支.课堂小结Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.2.虚数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复数集，它使得任何一个复数都可以写成a＋bi（a，b∈R）的形式.课堂小结Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.

3.复数包括了实数和虚数，实数的某些性质在复数集中不成立，如x2≥0；若x－y＞0，则x＞y等，今后在数学解题中，如果没有特殊说明，一般都在实数集内解决问题.课堂小结Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.P104练习：1，2，3.

P106习题3.1A组：1，2.布置作业Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.1.虚数单位i的基本特征是什么？（1）i2＝－1；（2）i可以与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立.复习巩固Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.2.复数的一般形式是什么？复数相等的充要条件是什么？

a＋bi（a，b∈R）；实部和虚部分别相等.复习巩固Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.3.实数、虚数、纯虚数的含义分别如何？设z＝a＋bi（a，b∈R）.当b＝0时z为实数；当b≠0时，z为虚数；当a＝0且b≠0时，z为纯虚数.

复习巩固Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.4.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如何？复数实数虚数纯虚数复习巩固Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.5.实数与数轴上的点一一对应，从而实数可以用数轴上的点来表示，这是实数的几何意义，根据类比推理，复数也应有它的几何意义.因此，探究复数的几何意义就成为一个新的学习内容.提出问题Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.复数的几何意义Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.1、在什么条件下，复数z惟一确定？给出复数z的实部和虚部2、设复数z＝a＋bi（a，b∈R），以z的实部和虚部组成一个有序实数对（a，b），那么复数z与有序实数对（a，b）之间是一个怎样的对应关系？一一对应问题探究Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.3、有序实数对（a，b）的几何意义是什么？复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用什么几何量来表示？复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用直角坐标系中的点Z（a，b）来表示.xyOabZ：a＋bi问题探究Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.用直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.形成结论Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？xyOabZ：a＋bi实轴上的点表示实数，虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，各象限内的点表示虚部不为零的虚数.形成结论Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.1、用有向线段表示平面向量，向量的大小和方向由什么要素所确定？

有向线段的始点和终点.2、用坐标表示平面向量，如何根据向量的坐标画出表示向量的有向线段？以原点为始点，向量的坐标对应的点为终点画有向线段.xyO(a，b)问题探究Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.3、在复平面内，复数z＝a＋bi（a，b∈R）用向量如何表示？xyOabZ：a＋bi以原点O为始点，点Z（a，b）为终点的向量.问题探究Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.4、复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用向量表示，向量的模叫做复数z的模，记作|z|或|a＋bi|，那么|a＋bi|的计算公式是什么？xyOabZ：a＋bi问题探究Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.5、设向量a，b分别表示复数z1，z2，若a＝b，则复数z1与z2的关系如何？规定：相等的向量表示同一个复数.6、若|z|＝1，|z|＜1，则复数z对应复平面内的点的轨迹分别是什么？单位圆，单位圆内部.问题探究Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.

例1已知复数对应的点在直线x－2y＋1＝0上，求实数m的值.典例讲评Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.

例2若复平面内一个正方形的三个顶点对应的复数分别为z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，求这个正方形第四个顶点对应的复数.xyOZ1Z2Z3Z4z4＝2－i典例讲评Evaluationonly.CreatedwithAspose.Sli