高二数学数列通项公式的求法

数列通项公式的求法

Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.注：①有的数列没有通项公式，如：3，π，e，6；②有的数列有多个通项公式,如：数列的通项公式:是一个数列的第n项（即an）与项数n之间的函数关系下面我就谈一谈数列通项公式的常用求法：Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.一、观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）：观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式

解：变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：例1：数列9，99，999，9999，……Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.例2，求数列3，5，9，17，33，……解：变形为：21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，……可见联想与转化是由已知认识未知的两种有效的思维方法。注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的，如2，4，8，……。可归纳成或者两个不同的数列（便不同）∴通项公式为：Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.二、迭加法（又叫加减法，逐加法）

当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时，就可用迭加法进行消元例3，求数列：1，3，6，10，15，21，……的通项公式解：∴两边相加得：

……∴Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.三、迭积法（逐积法）

当一个数列每依次相邻两项之商构成一个等比数列时，就可用迭积法进行消元

例4、已知数列中，，，求通项公式。

解：由已知，，得：把1，2，…，n分别代入上式得：，，…，Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.例4、已知数列中，，，求通项公式。

解：由已知，，得：把1，2…，n分别代入上式得：

把上面n-1条式子左右两边同时相乘得：∴

练习:①用迭加法推导等差数列的通项公式②用迭积法推导等比数列的通项公式，，…，解答解答Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.四、待定系数法：

用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，或是（b、ｃ为常数），若数列为等比数列，则，或。例5．已知数列的前n项和为，若为等差数列，求p与。Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.例5．已知数列的前n项和为，若为等差数列，求p与。解：∵为等差数列∴

∴

∴Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.例6．设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn解：设

Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.五、已知数列的前n项和公式，求通项公式的基本方法是：

注意：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。例7．已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）（2）Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.例7．已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）（2）解：（1），当时

由于也适合于此等式∴（2），当时

由于不适合于此等式∴Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.六、

换元法当给出递推关系求时，主要掌握通过引进辅助数列能转化成等差或等比数列的形式。例8，已知数列的递推关系为，且求通项公式。解：∵∴令∴则辅助数列是公比为2的等比数列∴即∴Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.例9，已知数列的递推关系为，且，，求通项公式。解：∵∴令则数列是以4为公差的等差数列∴∴∴

……

两边分别相加得：

∴Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.例10，已知，，且