复变函数讲义第4章

第一节复变函数积分的概念一、积分的定义二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质四、小结与思考1一、积分的定义1.有向曲线:

设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,2简单闭曲线正向的定义:

简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.32.积分的定义:4(5关于定义的说明:6二、积分存在的条件及其计算法1.存在的条件定理2.1设C是分段光滑(或可求长)的有向曲线，在C上连续，则存在，并且78在形式上可以看成是公式92.积分的计算法设光滑曲线是起点,是终点，则10例1解直线方程为11这两个积分都与路线C无关12例2解(1)积分路径的参数方程为y=x13(2)积分路径的参数方程为y=x14y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为15沿着三条不注意1

从例题看到,积分的值和路径无关。不同的路径进行,积分值都不同；而积分

注意2

一般不能将函数f(z)在以a为起点,以b为终点的曲线C上的积分记成因为积分值可能与积分路径有关,所以记16例3解积分路径的参数方程为17重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.18三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.19估值不等式(4)20四、小结与思考本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分的一般方法.常用公式：21思考题22思考题答案即为一元实函数的定积分.放映结束，按Esc退出.23第二节柯西－古萨基本定理一、柯西-古萨基本定理二、复合闭路定理三、原函数与不定积分四、小结与思考24复变函数的积分值与积分路径的关系如何？什么情况下与路径无关呢？观察上节例1,此时积分与路线无关.观察上节例3,25观察上节例2,由于不满足柯西－黎曼方程,故而在复平面内处处不解析.由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.26一、基本定理1柯西－古萨基本定理定理中的C可以不是简单曲线.此定理也称为柯西积分定理.27关于定理的说明:(1)如果曲线C是区域B的边界,(2)如果曲线C是区域B的边界,定理仍成立.282典型例题例1解根据柯西－古萨定理,有29例2解根据柯西－古萨定理得3031二、复合闭路定理1.闭路变形原理︵︵32︵︵︵︵︵︵︵︵33得︵︵︵︵34解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理说明:在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点.352.复合闭路定理那末36373典型例题例3解依题意知,38根据复合闭路定理,39例4解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,40例3解41由复合闭路定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为Г

不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线Г

内即可.42原函数之间的关系:定义设f(z)是定义在区域D上的复变函数,若存在D上的解析函数F(z)，使得在D

内成立，则称F(z)是f(z)在区域D上的原函数.定理2.7设F(z)和G(z)都是f(z)在区域D上的原函数,则(常数).三、原函数与不定积分1原函数43那么它就有无穷多个原函数,一般表达式为如果F(z)是f(z)在区域D上的一个原函数，(其中C是任意复常数).f(z)的全体原函数，称为f(z)的不定积分，2不定积分记为44设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0是D内的一个点,C是D内以z0为起点,z为终点的分段光滑(或可求长)曲线,则积分

只依赖于z0与z,而与路径C无关.由于积分值与积分路径无关，故可记为于是确定了D内的一个单值函数3变上限函数45定理

设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0和z是D内的点,则是f(z)在D上的一个原函数.定理

设f(z)是单连通区域D上的解析函数,F(z)是f(z)在D上的原函数,z0和z1是D内的两点,则4Newton-Leibniz公式465举例47四、小结

1柯西－古萨基本定理:2复合闭路定理与闭路变形原理48闭路变形原理复合闭路定理一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.那末49

(牛顿-莱布尼兹公式)3原函数与不定积分50第五节柯西积分公式一、问题的提出二、柯西积分公式三、典型例题四、小结51一、问题的提出？5253二、柯西积分公式定理证柯西积分公式5455上不等式表明,只要R足够小,左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知,左端积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分值为零时才有可能.[证毕]柯西积分公式柯西介绍56关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.57三、典型例题例1解58由柯西积分公式59例2解由柯西积分公式60例3解由柯西积分公式61例４解根据柯西积分公式知,62例5解63例5解64由闭路复合定理,得例5解65课堂练习答案66四、小结柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西–古萨基本定理,它的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数的重要工具.柯西积分公式:67Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西资料68第六节高阶导数一、主要定理二、典型例题三、小结与思考69一、高阶导数公式定理不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.70二、典型例题例1解7172根据复合闭路定理7374例2解7576例3解由柯西－古萨基本定理得由柯西积分公式得7778例4解79根据复合闭路定理和高阶导数公式,8081三、小结与思考高阶导数公式是复积分的重要公式.它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论,同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.高阶导数公式82思考题解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同?83思考题答案这一点与实变量函数有本