复变函数复习题

考试安排考试时间:一、

2008年11月24日晚上考试地点:

答疑时间:二、

2008年11月21日下午晚上

11月22日上午下午

11月23日上午下午答疑地点:

科技楼805计算数学教研室1/1/20241主要内容一、复数的几种表示及运算，区域，曲线；初等复变函数。二、柯西-黎曼方程：(1)

判断可导与解析，求导数；七、Fourier变换的概念，δ函数，卷积。三、柯西积分公式，柯西积分定理，高阶导数公式。四、洛朗展式。五、留数：(1)

计算闭路积分；六、保形映射：(1)

求象区域；八、利用Laplace变换求解常微分方程(组)。(2)

构造解析函数。(2)

计算定积分。(2)构造保形映射。1/1/20242一、填空题。(1)的模为，辐角主值为

.。

.

(2)的值为的值为

，.

.。(3)伸缩率为处的旋转角为映射w=z3-z在z=i

.。

，.

(4)在区域D内解析的函数

.。充要条件为1/1/20243(7)

.。(5)在z0=1+i处展开成泰勒级数的

.。收敛半径为(6)z=0是(何种类型的奇点)。

.

的ℱ(8)，已知

.。求1/1/20244四、计算下列各题：2.3.4.1.二、验证z平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使是。三、将函数在与洛朗级数。处展开为1/1/20245五、求区域在映射下的像。八、设函数在上解析，证明：七、用拉氏变换求解方程：六、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。i-i1/1/20246二、验证z平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使是。故u(x,y)

为调和函数(1)解:(2)方法一1/1/20247二、验证z平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使是。解:故u(x,y)

为调和函数(1)(2)方法二1/1/20248三、将函数在与洛朗级数。处展开为解:(1)在z=1

处121/1/20249三、将函数在与洛朗级数。处展开为解:(2)在z=2

处121/1/202410四、1.解:方法一:利用留数求解

z=0为二级极点,方法二:利用高阶导数公式求解1/1/202411四、2.解:

z=1为本性奇点,1/1/202412四、3.解:1/1/202413四、4.解:1/1/202414五、求区域在映射下的像。解:(z)(w)01∞0i∞∞∞i/21+i(1+i)/2i211/1/202415六、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。i-i(z)(w)(z2)(z1)1/1/202416七、用拉氏变换求解方程：(1)对方程两边取拉氏变换得：解：1/1/202417(2)求拉氏逆变换方法一：利用部分分式求解1/1/202418(2)求拉氏逆变换方法二：利用留数求解一阶极点二阶极点，1/1/2024191/1/202420八、设函数在上解析，证明：证明：(1)奇点由于(2)左边=1/1/202421(7)0;(8)一、(1)1,π;(2)(5);(4)

u,v

在D内可微，且满足C—R方程(3)π,4;(6)可去奇点1/1/202422(1)预处理：使边界至多由两段圆弧(或直线段)构成。一般步骤：(2)将边界的一个交点z1映射为∞，(3)将角形域或者带形域映射为上半平面。(4)将上半平面映射为单位圆。工具：几种简单的分式映射、幂函数等。[另一个(交)点z2映射为0]从而将区域映射为角形域或者带形域。工具：

工具：

(对于角形域)(对于带形域)工具：

(无附加条件)(由附加条件确定

0,z0)1/1/202423

先通过Laplace变换将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)，由代数方程求出象函数，再取Laplac