高二数学空间向量在立体几何证明中的应用课件

空间向量在立体几何证明中的应用新登中学高二数学备课组前段时间我们研究了用空间向量求角(包括线线角、线面角和面面角)、求距离(包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离)今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明问题。立体几何中的有关证明问题，大致可分为“平行”“垂直”两大类：平行：线面平行、面面平行垂直：线线垂直、线面垂直和面面垂直平行与垂直的问题的证明，除了要熟悉相关的定理之外，下面几个性质必须掌握。1、已知b⊥α，a不在α内，如果a⊥b，则a∥α。2、如果a⊥α，a⊥β，则α∥β。3、如果a∥b，a⊥α，则b⊥α。（课本P22.6）4、如果a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β。

一、用空间向量处理“平行”问题↑→↑↑GAEDCBFHMN例1.如图：ABCD与ABEF是正方形，CB⊥平面ABEF，H、G分别是AC、BF上的点，且AH=GF.求证：HG∥平面CBE.MH∥AB,NG∥ABMH∥NGAH=FGCH=BGCH:CA=BG:BFMH=NGGAEDCBFHPPH∥CB,PG∥BE平面HPG∥平面CBE

HG∥平面CBE

GAEDCBFHozy证明：由已知得：AB、BC、BE两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz.x设正方形边长为1,AH=FG=a,则H(0,1-a,a)、G(1-a,1-a,0),故,而平面CBE的法向量为(0,1,0),故,而平面CBE故HG∥平面CBERDBCAA1QPNMD1C1B1例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是A1B1和BC上的动点，且A1P=BQ，M是AB1的中点，N是PQ的中点.求证：MN∥平面AC.M是中点，N是中点MN∥RQMN∥平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1作PP1⊥AB于P1，作MM1⊥AB于M1，连结QP1，

作NN1⊥QP1于N1，连结M1N1N1M1P1NN1∥PP1MM1∥AA1又NN1、MM1均等于边长的一半故MM1N1N是平行四边形，故MN∥M1N1MN∥平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为2，又A1P=BQ=2x则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故N(2-x,1+x,1),而M(2,1,1)所以向量(-x,x,0)，又平面AC的法向量为(0,0,1)，∴∴又M不在平面AC内，所以MN∥平面ACDCBAD1C1B1A1例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1平行四边形A1BCD1

A1B∥D1C平行四边形DBB1D1

B1D1∥BD于是平面A1BD∥平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为1，则向量设平面BDA1的法向量为则有x+z=0x+y=0令x=1,则得方程组的解为x=1y=-1z=-1故平面BDA1的法向量为同理可得平面CB1D1的法向量为则显然有即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行所以平面BDA1∥CB1D1

通过本例的练习，同学们要进一步掌握平面法向量的求法：即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于0，利用解方程组的方法求出平面法向量(在解的过程中可令其中一个未知数为某个数)。※例1、2与例3在利用法向量时有何不同？DCBAD1C1B1A1FGHE例4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点.求证：平面AEH∥平面BDGFAD∥GF，AD=GF又EH∥B1D1，GF∥B1D1EH∥GF平行四边形ADGEAE∥DG故得平面AEH∥平面BDGFDCBAD1C1B1A1HGFEozyx略证：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz则求得平面AEF的法向量为求得平面BDGH的法向量为显然有故平面AEH∥平面BDGF

二、用空间向量处理“垂直”问题↑DACBBCDAFEXYZ例6：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=a，CF=2a。求证:面AEF

面ACF。AFEC1B1A1CBxzyAFEC1B1A1CBzy不防设a=2，则A（0，0，0），B（

3，1，0），C（0，2，0），E（3，1，2），F（0，2，4），AE=（3，1，2）AF=（0，2，4），因为，x轴面ACF，所以可取面ACF的法向量为m=（1，0，0），设n=（x,y,z)是面AEF的法向量，则x{nAE=3x+y+2z=0nAF=2y+4z=0

{x=0y=-2z

令z=1得,n=（0，-2，1）显然有mn=0，即，mn面AEF面ACF证明：如图，建立空间直角坐标系A-xyz，ADCB⑴求证：平面MNC⊥平面PBC；⑵求点A到平面MNC的距离。已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝a，AD＝，M、N分别是AD、PB的中点。PMN练习1ABCDMXYZABCDMGXYZABCFEDXYZABCFEDXZABCFEDXYZ小结：

利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是近年来很“热”的话题，其原因是它把有关的“证明”转化为“程序化的计算”。本课时讲的内容是立体几何中的证明“线面平行、垂直”的一些例子，结合我们以前讲述立体几何的其他问题(如：求角、求距离等)，大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路”。

利用向量解题的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标。用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具，故，学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何的基础。DCBAD1C1B1A1PFE作业：1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是A1D1

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BB1的中点，问:在边CC1上是否存在一点P，使A1C∥平面EFP？若存在，求出P的位置；若不存在，请说明理由。NMPDCBA2.