高二数学二项式展开式的性质2

§10.4.2二项式展开式的性质

(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b1+6a2b2+4a1b3+b4(a+b)5=a5+5a4b1+10a3b2+10a2b3+5a1b4+b5

(a+b)6=a6+6a5b1+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6a1b5+b6

(a+b)7=a7+7a6b1+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7a1b6+b7

根据二项式定理写出下列二项式的展开式

:展开式中的二项式系数，如下表所示：

11

121133114641151010511615201561将上述的7个展开式中的二项式系数列成下表1.每行两端都是1；2.除1以外的每个数都等于它肩上两个数的和；3.与首末两端等距的两项的二项式系数相等；4.幂指数为偶数时中间的二项式系数最大，幂指数为奇数时中间两项的二项式系数相等且最大；5.从中间到首末两端二项式系数逐渐减小；得出规律杨辉三角(a+b)111

(a+b)2121(a+b)31331(a+b)414641(a+b)515101051(a+b)61615201561(a+b)7172135352171

可以得到二项式展开式性质

将杨辉三角的每个数换成二项式的系数（组合符号）的形式二项式系数的性质

展开式的二项式系数依次是：

从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：

当时，其图象是右图中的7个孤立点．二项式系数的性质2．二项式系数的性质

（1）对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

这一性质可直接由公式得到．图象的对称轴：二项式系数的性质（2）增减性与最大值

二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。

可知，当时，二项式系数的性质（2）增减性与最大值

因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数

取得最大值；

当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。（3）各二项式系数的和

二项式系数的性质在二项式定理中，令，则：

这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于，上式还可以写成：这是组合总数公式．

例题

证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．例题(1)求

的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.

(2)求

的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.

小结:（1）对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

（2）增减性与最大值

当n为偶数时，中间一项的二项式系数

取得最大值；

当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。小结:（3）各二项式系数的和

作业:P1148.9.10优化设计第三课时CENTERSFORDISEASECONTROL

ANDPREVENTION

再见；/自动发卡平台hwh20jyc的私盐贩子，南方机关船，在外地也有被其他私盐贩子使用的报告。老太太怀疑这次讹谢家的，也是私盐贩子。她很担心被这群无赖盯上后如何脱身。第三件，宫中明诗传出口信，年前或者就能有机关，能叫个妹妹进宫“探望她”，探望后能不能留、留多久，再行说，反正先进去总是好的，能让皇上碰巧见上一面就更好了。老太太看现有的几个女孩子，福珞自然是出挑的，宝音病好之后，却也表现不俗，竟不知选哪个的好。苏小横只把第三件事儿，转述给了苏明裳听。裳儿埋头在剥一袋糖炒栗子，听了便眨眼笑道：“选哪个不是一样么？姐妹们别为这个抢破头才好！”“不一样。”苏小横正告她。裳儿顿时也了悟了：“能有进宫面圣的机会，就有邀圣誊的机会。”苏小横犹嫌她说得不够透切。裳儿继续剖释：“若只得一两次圣宠，白把身子赔在宫里，那是她自己倒霉。但若能助力，我、诗姐姐、同她，三个臭皮匠，顶个诸葛亮，那多好。退几步说，纵使她不得圣宠，若知情达礼、能出谋划策，要紧时候说不定就救我们的命。她的人选，也要仔细。”苏小横点头：“所以我当然也要听听你的意思，毕竟她不止是带你进宫的引子，还有希望成为你的同伴，影响到你的行动。你们之间应该具备最基本的信任才好。”裳儿思索道：“我跟奶奶重点提出的这两位，都不熟，只听闻笙妹妹体弱多病，人缘儿也不好，这样的人怎能进宫？倒是福家姊姊，灯会上照过面，憨顽娇美，不失大家女儿涵养，我要是奶奶，不用想，就选她。”谢老太太到今日，完全不提明蕙，裳儿也不提，根本当她是透明的。资质不足，就是不足，多使小手腕也没用。否则明秀一开始根本不会引福珞进来。宝音也不敌福珞么？苏小横等着裳儿的后文。裳儿果然吐舌笑道：“可惜福家姊姊，风格跟我是一路的，美却不及我，鬼脑筋也不及我。我要个处处与我相似、却不及我的影子在旁边做什么呢？若只要她引我，那还说得过，她一陪衬，皇上更见我的各种好处。而笙妹妹，病好后能有多久，怎样表现不俗？我很好奇呢！”“听说她在众姐妹计议神秘失银时，第一次提出，重银搭底后，需要的拉力不一样。”苏小横道。不久前，苏小横也有把二老爷是如何“送”出的银子，讲给裳儿听，要她评议，以考较她的反应。裳儿当时就道：“爹爹太傻了！爷