控制工程频率分析

第五章控制系统的频域分析学习目的与要求：1掌握频率特性的根本概念2熟习典型环节的频率特性并能熟练运用3掌握系统开环对数频率特性的绘制方法系统的数学模型一、系统的数学模型

1、定义：定量描画系统的动态性能，提示系统的构造参数与动态性能之间关系的数学表达式。数学模型是分析和设计自动控制系统的根底。〔微分方程、差分方程、传送函数、频率特性、方框图等〕缘由：外表上看来毫无共同之处的控制系统，其运动规律能够完全一样，可以用一个运动方程来表示不单独地去研讨详细系统而只分析其数学表达式，以代表数学表达式一样的任何系统。

3.表示方式a.微分方程b.传送函数c.频率特性关系：线性系统传送函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换同一个系统，可以选用不同的数学模型:时域：传送函数频域：频率特性。特点：1时间呼应的概念系统在输入信号的作用下，输出随时间的变化规律〔系统的数学模型的时域解〕。系统在输入信号的作用下，输出量怎样按输入量的作用而变化。〔系统对输入如何产生呼应〕一、时间呼应的概念1、所谓“呼应〞就是“输出〞〔能丈量和察看到〕2、时间呼应：动态特性：〔2〕稳态呼应：时间t趋于无穷大时的时间呼应。它表现了系统的准确程度xo(t)瞬态呼应〔过渡过程〕稳态呼应t03、时间呼应〔1〕瞬态呼应：系统到达稳定形状前的时间呼应。反映动态特性、快速性、稳定性。频率分析法：借助系统的频率特性分析系统的性能，又称频率特性，频率法。特点：1图解法2不直接求解系统微分方程而间接地运用系统的开环频率特性分析闭环的呼应。3估计影响系统性能频率范围，为系统排除噪音，从而改善系统性能设计出合理的通频带。4对控制系统中各种振动问题，频域法可给出明确的结果和概念。假设输入电压为正弦信号，由上式可见，第一项为输出电压的稳态分量，第二项为瞬态分量。如下图RC电路。uo(t)Rui(t)Ci(t)T为电路的时间常数，T=RC。5-1频率特性的根本概念一、概念设系统传送函数为G(s)。给系统输入一个正弦信号为式中：Xim——正弦输入信号的振幅；ω——正弦输入信号的频率。系统的稳态输出量写成线性定常系统正弦信号呼应包含瞬态呼应和稳态呼应a瞬态呼应不是正弦波b稳态呼应与输入的正弦信号频率一样的正弦波形，但振幅和相位都与输入量不同。频率呼应：线性系统对正弦信号的稳态呼应。2频率特性求法(1)求稳态解法由知系统的微分方程或传函，把输入用正弦函数代入，求其稳态解。(2)根据系统的传送函数来求取。将s=jω代入传送函数中，可直接得到系统的频率特性。这种以jω替代s由传送函数获得频率特性的方法，对于线性定常系统是普遍适用的。(3)实验测得。经常采用的是后两种方法。主要讨论根据传送函数求取系统的频率特性。kcxf(t)=Fsinωt例：机械系统，k是弹簧刚度系数,单位N/m,c是阻尼系数，单位是m/s·N。输入正弦力f(t)=Fsinωt时，求其位移x(t)的稳态输出。稳态位移输出式中结论：1频率呼应是时间呼应的一种特例；2正弦输入及稳态输出是频率一样的正弦信号；3位移输出幅值X与输入力的幅值F成比例，比例系数A(ω)及输入输出间的相位移φ(ω)是ω的函数，与系统参数有关。图1频率呼应图示2频率特性求法(2)根据系统的传送函数来求取。将s=jω代入传送函数中，可直接得到系统的频率特性。(3)实验测得。(1)求稳态解法由知系统的微分方程或传函，把输入用正弦函数代入，求其稳态解。根据传函求频率特性例：将变量s用纯虚数jω替代kcxf(t)=Fsinωt3频率特性的特点(1)普通方式就象传函一样表示系统的性能。U(ω)是实部，称为实频特性V(ω)是虚部，称为虚频特性(2)量纲与输出输入信号之比量纲一样。(3)G(jω)是一个复变函数，可表示在复平面上。G(jω)的模、辐角、实部、虚部之间的换算关系。V(ω)ImG(jω)U(ω)Re0A(ω)φ(ω)G(jω)矢量图三频率特性的物理意义例机械系统，设k=10N/m，c=10N·s/m，输入幅值为1N正弦力，两种频率下即f(t)=sint和f(t)=sin100t时，求系统的稳态位移输出。解由频率特性的模和幅角来求输出，系统的频率特性可直接由其传送函数获得，即式中，T=c/k=1s当ω=1s-1时G(jω)的模和幅角为kcxf(t)=Fsinωt当ω=100s-1时，系统的位移幅值随着输入力的频率增大而减小，位移的相位滞后量也随频率的增高而加大。微分方程t为变量的函数传送函数微分算法用s替代频率特性jω替代s

数学方式不同,均表示系统运动关系，从不同角度提示系统内在运动规律小结：§5-2频率特性图形表示法—对数频率特性图一、对数频率特性图〔Bode图〕对数频率特性图〔Bode图〕将幅频和相频特性分别画出，并按对数分度或运算，使系统的分析和设计变得非常简便。利用对数可以把两个数的相乘变成其对数相加的运算，给绘图带来方便。将幅频特性A(ω)取常用对数后再乘以20，称为对数幅频特性，为书写简便，以L(ω)表示20lgA(ω)。一.伯德〔Bode〕图构成横坐标：非线性分度按对数分度，在对数坐标纸上标注ω的自然对数。横坐标上取两点ω2/ω1=10，两点间间隔lg(ω2/ω1)=lg10=1一个十倍频程(用dec表示)：无论起点如何，只需角频率ω变化10倍横轴上线段长均等于1个单位。需求留意的是，在以lgω划分的频率轴(横坐标)上，普通只标注ω的自然数值。纵坐标：线性分度L(ω)=20lgA(ω)(dB)线性分度φ(ω)(°)ω123456789lgω00.30.480.60.690.780.850.90.95二、典型环节的对数频率特性1.比例环节[G(s)=K]其频率特性为G(jω)=K，其幅频特性和相频特性为对数幅频特性：幅值等于20lgK(dB)的一条程度直线。对数相频特性：相角为零，与频率无关。2.积分环节[G(s)=1/s]402000.010.1110-20100.010.11积分环节的频率特性为对数幅频特性：斜率为-20dB/dec的直线，且与零分贝线相交于ω=1点，L(ω)=0对数相频特性：–90°的程度直线，与频率ω无关。当有n个积分环节串联时，即对数幅频特性对数相频特性3.微分环节[G(s)=s]1其频率特性为G(jω)=jω对数幅频特性：L(ω)=20lgω一条经过ω=1，斜率为20dB/dec的直线。对数相频特性：φ(ω)=90°，一条程度线jω、1/jω的频率特性不同:对数幅频特性曲线的斜率和相角都相差一个负号4.惯性环节频率特性：实频和虚频特性为：低频段当ωT<<1时，(ωT)2可以忽略不计幅值为0的低频渐近线高频段当ωT>>1时：绘制波德图时，分析曲线的走向，画出渐近线。高频段渐近线：当ω=1/T时，L(ω)=0；ω=10/T时，L(ω)=-20dB；ω=100/T时，L(ω)=-40dB；规律：频率每添加10倍，L(ω)的值下降20dB，高频段是一条斜率为-20dB的渐近线。低频段和高频段的对数幅频曲线分别趋近于其渐近线。

两渐近线在ω=1/T处的值都是L(ω)＝0

相交点的频率ω=1/T称为转机频率〔转角频率〕。转机频率两条渐近线替代实践的对数幅频特性曲线将产生误差，最大的误差发生在转机频率1/T处。因渐近线在1/T的值为0dB，实践曲线值为：ω=1/T，实践曲线值为：a.低频段近似特性:L(ω)=0dB；b.高频段近似特性:L(ω)=-20lgωT;c.ω=1/T处近似特性:L(1/T)=0dB，准确特性：-3.01dB。ω<<1/Tφ(ω)=0°ω=1/Tφ(ω)=-arctg1=-45°ωT>>1φ(ω)=-90°相频特性曲线：惯性环节的相频特性是以反正切函数表示的，所以φ(ω)曲线是对φ(ω)=-45°的点斜对称的。确定了φ(ω)曲线的大致外形，再求出曲线上几个点，就可以画出准确的对数相频特性曲线图。〔2〕对数相频特性5．一阶微分环节〔G(s)=Ts＋1〕其频率特性为G(jω)=1+jωT幅频和相频特性分别为：一阶微分环节与惯性环节只相差一个负号。在ω<<1/T时，L(ω)≈0；φ(ω)=0°在ω=1/T时，L(ω)=3.01dB；φ(ω)=45°在ω>>1/T时，L(ω)≈20lgTω；φ(ω)=90°一阶微分环节的对数幅频特性可由两条渐近线表示:ω<1/T时，是一条零分贝线；ω>1/T时，是一条斜率为+20dB/dec的直线。交接处的转机频率是1/T。小结：伯德图表示频率特性优点(1)幅频特性和相频特性分别作图系统(或环节)的幅值、相角与频率间的关系明晰；(2)乘除运算变为加减运算可将串联环节的幅值乘除运算变为加减运算，简化计算与作图例：开环系统的频率特性(4)叠加方法可分别作出各个环节Bode图，用叠加方法得出系统的Bode图，并可看出各个环节对系统总特性的影响。(5)对数分度优势由于横坐标采用对数分度：1〕能把较宽频率范围的图形紧凑的表现出来2〕分析和研讨系统时，其低频特性很重要，对数分度对突出频率特性的低频率很方便。(3)幅频特性渐近线表示使作图更为简便；系统频率特性图一、控制系统Bode图的绘制控制系统普通由多个环节组成，在绘制系统Bode图时，应先将系统传送函数分解为典型环节乘积的方式，再逐渐绘制。常用方法有三种。〔一〕环节曲线叠加法〔二〕顺序斜率叠加法〔三〕计算法〔一〕环节曲线叠加法绘制步骤(1)环节乘积方式将系统开环频率特性写为各典型环节乘积方式，确定各环节的转机频率(2)分别画对数幅频特性、相频特性将各环节对数幅频特性和相频特性曲线分别画于对数坐标纸上；(3)幅频曲线叠加将各环节幅频特性曲线进展叠加(在各转机点处各环节幅值数相加)，求得开环对数幅频特性曲线。〔一〕环节曲线叠加法绘制步骤(4)相频特性曲线叠加将各环节相频特性曲线进展叠加(选取假设干个ω值，将各环节在此ω处的相频数值叠加)，求得开环对数相频特性曲线。(5)修正如需准确对数幅频特性，在各转机频率处加以修正。例1：知系统的开环传送函数为例2知系统开环传送函数，绘制系统伯德图。例3作的伯德图。解(1)将G(s)化为由根本环节组成的方式由上式可见，系统由比例环节(K=3)、一阶微分环节和两个惯性环节串联而成。(2)令，得系统的频率特性(3)求各环节的转角频率，作各环节的对数幅频特性渐近线。2)=2rad/s，1)高频渐近线的斜率为20dB/dec。3)=0.4rad/s，高频渐近线的斜率为4)=40rad/s，高频渐近线的斜率5)对渐近线进展修正(略)。6)求K=1时系统伯德图，即将各环节幅值相加得a曲线。然后向上平移9.5dB，得系统对数幅频特性曲线a。7)作各环节相频特性曲线，然后叠加得系统对数相频特性曲线。系统波德图简化画法传函写成规范方式，并确定频率特性；找出各转机频率；画出低频段〔由比例，积分，微分决议〕，过点ω=1，20lgK处(斜率由积分，微分个数确定〕-20ν(或20ν)dB/dec；由低频向高频延伸,每过一个转机频率,斜率改动一次一阶微分+20，二阶微分+40，惯性-20，振荡-40；对最小相位系统，只画对数幅频特性。三、最小相位系统〔1〕假设系统开环传送函数在右半S平面上没有极点和零点，那么称该系统为最小相位系统，如〔2〕系统的开环传送函数在右半S平面上有一个(或多个)零点,那么该系统称为非最小相位系统。这意味着系统不稳定。估计系统的数学模型频率特性反映了系统或元件本身内在的固有的运动规律，从而为实验分析提供了实际根据。对于最小相位系统，由于其对数幅频特性和对数相频特性有确定的对应性，所以，只需获得对数幅频特性就可求得系统的传送函数。四、系统辨识的概念系统辨识:在丈量和分析输入、输出信号的根底上，确定一个能表征所测系统数学模型的方法。实验法：辨识系统的传送函数，通常是施加一定的鼓励信号，测出系统呼应，借助计算机进展数据处置从而辨识系统。伯德图法：用渐近线来确定频率特性的有关参数，对系统的传送函数做出粗略的估计。常用的鼓励信号:正弦信号、脉冲信号、三角波、方波或恣意波形。1．系统类型和增益K确实定频率特性的普通方式为：串联积分环节的数目，当0时，各一阶环节因子趋近于1，故有在实践系统中，积分因子的数目等于0，1或2。(1)=0时，即为零型系统。对数频率特性的低频渐近线是一条的程度线，K值由该程度线求得，如下图。(2)=1，即Ⅰ型系统低频渐近线的斜率为，渐近线(或延伸线)与0dB轴交点处的频率在数值上等于K。(3)=2，即Ⅱ型系统低频渐近线的斜率为，渐近线(或延伸线)与0dB轴交点处的频率在数值上等于。(2)确定积分环节个数由渐近线低频段的斜率确定系统或元