金融工程第4章

第4章

利率期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull20211内容利率的分类与计量债券定价远期利率久期与曲率(略过，不要求)利率期限构造利率的种类国债利率伦敦同业银行拆出利率〔LIBOR〕再回购利率期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull20213国债利率国债收益率是投资者投资国库券或国债时所挣得的收益率。国库券和国债是政府借入以本身货币为计量单位的资金而发行的金融产品。期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull20214LIBOR和LIBIDLIBOR是指银行将资金存入其他大银行的利率(其他大银行必需到达的信誉等级通常为AA级)。主要货币期限12个月的LIBOR每天由英国银行家协会〔BBA〕提供。LIBID，即伦敦同业银行拆入利率，是指AA级银行对将资金存入本人银行的其他银行所支付的利率。期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull20215再回购利率在再回购合约中，持有证券的投资者赞同将证券以价钱X出卖给合约的另一方，并在未来以稍高的价钱Y将证券买回。合约中的另一方给投资者提供了资金贷款。证券卖出价Y与买入价X的差价即为贷款利息，相应的利率被称为再回购利率。期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull20216无风险利率衍消费品买卖人员的传统做法是将LIBOR视为短期无风险利率。由于一系列缘由，通常以为国债利率较低〔见业界事例4-1〕。后续章节将会解释：可以用欧洲美圆期货和利率互换将LIBOR收益率曲线延伸到1年以上；对于无风险利率的近似，隔夜指数互换利率逐渐取代LIBOR。期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull20217利率的计量复利频率定义了利率的计量方式。季度复利利率与年度复利利率之间的差别有点类似于英里和公里之间的差别。期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull20218表4-1利率每年10%时复利频率添加对投资报答的影响期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull20219复利频率100美元的投资在一年后的价值（美元）每年复利1次(m=1)110.00每年复利2次(m=2)110.25每年复利4次(m=4)110.38每年复利12次(m=12)110.47每年复利52次(m=52)110.51每年复利365次(m=365)110.52假设将数量为A的资金投资n年，假设利率R是对应于一年复利m次，那么投资终值为A(1+R/m)mn

延续复利〔P56〕延续复利利率：复利频率m趋于无穷大时所对应的利率。假设延续复利利率为R，那么将100美圆投资T年的终值为100eRT美圆。假设延续复利利率为R，那么T年后收到100美圆的现值为100e-RT美圆。期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202110转换公式(P57)定义Rc:延续复利利率Rm:与之等价的每年m次复利利率期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202111例利率报价为每年10%按半年复利，与之等价的延续复利利率为2ln(1.05)=9.758%利率报价为每年8%，延续复利，利息每季度支付一次，与之等价的按季度复利的利率为4(e0.08/4-1)=8.08%期权定价中运用的利率根本上都是延续复利利率。期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202112零息利率N年的零息利率〔即息利率〕是指在今天投入资金在延续坚持N年后所得的收益率。期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202113表4-2国债零息利率(p58)期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202114期限（年）零息利率（连续复利，%）0.55.01.05.81.56.42.06.8债券定价债券的实际价钱等于对债券持有人在未来所收取的现金流以不同的零息贴现率进展贴现后的总和。在我们的例子中，一个2年期债券的面值为100美圆，券息为6%，每半年付息一次，零息利率由表4-2给出。债券的实际价钱为期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202115债券收益率债券收益率等于对一切现金流贴现并使债券的价钱与市场价钱相等的贴现率。假定我们上面思索的债券实际价钱也等于市场价钱，即98.39美圆。假设y表示按延续复利的债券收益率，我们有经过迭代法就能得出y=0.0676或6.76%。期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202116平价收益率对应于具有一定期限的债券平价收益率是使债券价钱等于面值的券息率。采用表4-2中的零息利率，由以下方程期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202117平价收益率〔续〕普通地讲，假设d为债券到期时收到1美圆的贴现值，A为一个年金〔即在每个券息日支付1美圆〕现金流的当前价值，m是每年券息支付的次数，因此有 在我们的例子中，m=2,d=0.87284,A=3.70027期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202118表4-3票息剥离法采用的数据〔P59〕期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202119债券本金（美元）期限（年）年息票（美元）债券价格（美元）1000.25097.51000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.6*票息每半年支付一次。票息剥离法第一个债券对97.5美圆的投资在第三个月后的总收入为100美圆，即赚得2.5美圆。由于100=97.5e0.10127×0.25，所以3个月的延续复利利率为10.127%。同样，6个月和1年的延续复利利率分别为10.469%和10.536%。期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202120票息剥离法〔续〕假定在1.5年所对应的零息利率为R，那么

由此得到R=0.10681或10.681%同样，2年期的零息利率为10.808%期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202121

期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202122零息利率(%)期限〔年〕10.12710.46910.53610.68110.808图4-1由票息剥离法得出的零息利率远期利率期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202123远期利率是由当前零息利率所蕴含出的未来一定期限的利率。远期利率的计算公式假设延续复利利率R1和R2分别对应期限为T1和T2的零息利率。T1与T2之间的远期利率为当利率不是延续复利利率时，这个公式近似成立。期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202124公式的运用期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202125期限（年）对应于n年投资零息利率（每年，%）第n年的远期利率（每年，%）13.024.05.034.65.845.06.255.56.5瞬时远期利率期限为T的瞬时远期利率是指用于在T开场的一段很短时间内的远期利率，可表示为

式中，R为期限为T的零息利率。期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202126向上和向下倾斜的收益率曲线向上倾斜的收益率曲线： 远期利率>零息利率>平价收益率向下倾斜的收益率曲线： 平价收益率>零息利率>远期利率期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull2021272023/12/3128远期利率协议(FRA，forwardrateagreements)—根本概念FRA是指买卖双方赞同在未来某一确定时间，对一笔规定了期限的名义金额按协定利率支付利息的合约。FRA是买卖双方为躲避未来利率风险或利用未来利率动摇进展投机而商定的一份协议，是在某一固定利率下的远期对远期名义贷款，但不交割贷款本金，只交割协议利率与参考利率的利差部分。2023/12/3129远期利率协议(FRA)—根本概念FRA包含的根本概念买方和卖方：买方是名义上承诺借款的一方，卖方是名义上提供贷款的一方标价货币或协议货币：协议金额的面值货币协议金额：名义上借贷本金的数量协议利率：FRA中规定的借贷固定利率参考利率：被广泛接受的市场利率，如LIBOR，用以计算交割额2023/12/3130远期利率协议(FRA)—根本概念FRA涉及的几个时间概念买卖日：FRA买卖的执行日即期日：在买卖日两天之后，是递延期限的起始时间交割日：名义贷款的开场日，在这一天买卖的一方向另一方支付经过贴现的利息差基准日：确定参考利率的日子，在交割日之前两天到期日：名义贷款的到期日。假设正好是休憩日，那么顺延到下一个任务日协议期限：是名义贷款期限，等于交割日与到期日之间的实践天数2023/12/3131远期利率协议(FRA)—时间图

递延期限协议期限

2天2天

买卖日即期日基准日交割日到期日2023/12/3132远期利率协议(FRA〕例子：1993年4月12日成交一份1个月对4个月的远期利率协议〔1/4〕的递延期限为1个月，协议期限为3个月买卖日——1993/4/12〔星期一〕；即期日——1993/4/14〔星期三〕；基准日——1993/5/12〔星期三〕；交割日——1993/5/14〔星期五〕；到期日——1993/8/16〔星期一〕。由于1993年8月14日是星期六，顺延到下一个任务日就是8月16日〔星期一〕，合约期限为94天2023/12/3133远期利率协议(FRA)—交割额的计算交割额是由按协议利率、参考利率、协议期限和协议金额决议的。由于FRA的交割日是在名义贷款期初，而不是名义贷款期末，因此交割额与普通利息的计算稍有不同：交割额的计算需求进展贴现。2023/12/3134远期利率协议(FRA)—交割额的计算详细来说，交割额的计算分为两步：取基准日的参考利率与协议利率之差，乘以协议金额，再乘以协议期限，得到名义贷款的利息差。以参考利率作为贴现率，对上一步计算得到的利息差进展贴现，计算出利息差在交割日的现值，即交割额。2023/12/3135远期利率协议(FRA)—交割额的计算D：协议期限；B：一年的天数；L：参照利率；F：协议利率；P：本金金额；A：协议交付金额。远期利率合约：关键结论远期利率合约等价于将预定利率RK转换为市场利率的合约。对FRA进展定价时，我们假定远期LIBOR利率RF会被实现。这意味着,FRA的价值是协议预定利率RF与市场远期可实现利率RK之间利差的现值。期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202136定价公式假设FRA对应的时期是从T1到T2，那么我们假设复利期间长度为T1到T2的年利率分别为RF和RK。对于利率RK，T2时辰的利率现金流为RK(T2–T1)对于利率RF，T2时辰的利率现金流为RF(T2–T1)期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202137定价公式〔续〕当本金L对应的收入利率为RK时〔合约卖方〕，FRA的价值就是T2时辰如下现金流的现值:当本金L对应的支付利率为RK时〔合约买方〕，FRA的价值就是T2时辰如下现金流的现值:将支付现金流以即期利率折现为远期利率合约当前价钱。

期权、期货及其他衍消费品〔第八版〕Copyright©JohnC.Hull202138例一段时间之前签署的