2021高中数学-第57炼 放缩法证明数列不等式

第57炼放缩法证明数列不等式

一、基础知识：

在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容,在有些数列的题目中，要根据不等式

的性质通过放缩,将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用放

缩法证明不等式的技巧

1、放缩法证明数列不等式的理论依据一一不等式的性质：

(1)传递性：若。>仇人〉c,则a〉c(此性质为放缩法的基础，即若要证明a>c,但无法

直接证明，则可寻找一个中间量沙，使得a>从从而将问题转化为只需证明匕>。即可)

(2)若a>"c>”,则a+c>O+d,此性质可推广到多项求和：

若4>〃1)，。2>“2),…,4>/(")，则:q+/+…+4,>/⑴+"2)+…+/(〃)

(3)若需要用到乘法，则对应性质为：若。>/?>0,0">0,则公>从/,此性质也可推广

到多项连乘,但要求涉及的不等式两侧均为正数

注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同

2、放缩的技巧与方法：

(1)常见的数列求和方法和通项公式特点：

①等差数列求和公式：S,=幺乜•〃，/=桁+〃？(关于〃的一次函数或常值函数)

2

aAqn-1)

②等比数列求和公式：S“=3一声1),=hq"(关于〃的指数类函数)

q-1

③错位相减：通项公式为“等差x等比”的形式

④裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，

进而在求和后式子中仅剩有限项

(2)与求和相关的不等式的放缩技巧：

①在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

②在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向,这将决定对通项公式是放大还是缩小(应与

所证的不等号同方向)

③在放缩时,对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢,常见的是向等比数列与可

裂项相消的数列进行靠拢。

@若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：

看能否让数列中的一些项不动,其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式;第

二个方法就是推翻了原有放缩,重新进行设计,选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

(3)放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

①裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视

为同一数列的相邻两项(或等距离间隔项)

②等比数列：所面对的问题通常为“S“〈常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满

足14€(0,1)，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手,，常数

可视为4的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公

"q

1

式,再与原通项公式进行比较,看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数2=—2不，即可

31-1

4

猜想该等比数列的首项为，，公比为工，即通项公式为o

注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列

进行放缩，受数列通项公式的结构影响

(4)与数列中的项相关的不等式问题：

①此类问题往往从递推公式入手,若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形

②在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可

“累加”或“累乘”的形式，即%+1—4</(〃)或也</(〃)(累乘时要求不等式两侧

均为正数)，然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为，另一侧为求和的结果,进而完成证

明

3、常见的放缩变形：

(1),1、<3<、，其中〃可称4为“进可攻,退可守”，可依照

所证不等式不等号的方向进行选择。

注：对于4,可联想到平方差公式,从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特

n

征的数列,例如：-4<——=7——A——7=-(-.....—I.这种放缩的尺度要小于

n2"-I(„-1)(„+1)2[〃-1n+\J

（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如:

1<1_41”1______

rr〃2_14n2—1（2n-1）（2/?+1）2（2〃一12n+1J

~4

1?

（2）=­3=----广，从而有:

7rlyjn+yjn

2（J/i+1->[n）—F=------1<-j=<—/=----/<2（y/n--1）

y/n+yJn+l7n/〃-1'7

1

注：对于还可放缩为:-~r=<\fn->-2,〃22,〃£N

5

、_..JJ,bhin/,■.hbm/,■,

（3）分子分母同加常数：一〉-----（/?>«>0,m>0）,—>-------（^a>b>0,m>0）

aa+maa+m

此结论容易记混,通常在解题时,这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造

出形式再验证不等关系。

2"2'i

（4）

n>2,ne

2"-'-12n-l

k"kn-'

可推广为:

j）一（%"-

11

>2,k>2,k,neN*^

r-1-lkn-

二、典型例题:

例1：已知数列｛q,｝的前〃项和为S.，若4S”=（2”-1）。，用+1,且4=1

（1）求证：数列｛4｝是等差数列，并求出｛4｝的通项公式

（2）设也,=―二，数列也｝的前〃项和为却求证:3

T.<—

2

解：（1）4S„=（2n-l）a„+l+l

=（2n-3）a„+l（n>2）

（〃

，4%=（2n-l）a„+1-（2n-3）a„N2）

2〃+1

即（2〃+1）。，=（2〃—1”m03

a2〃-1a,』2〃一3a5

--n--=--------,-----=--------，…,—3J——

*12〃-3«„_22n-5a23

.^,,-1.....a1=2n-l2n-3.…5即a"一”、

Q〃Ta

。〃一222〃-32〃-53a23

2〃一1

an=--—a2,由4S〃=（2〃-1）。,什］+1令〃=1可得：

4S1=%+1n劣=3

.••4=2”—1（〃22）,验证6=1符合上式

an=2n—1S“=/I?

（2）由（1）得：b=------5_r==——----r4=1

"re”一n

可知当〃22时，2=---------<-

n（2n-l）〃2/7（n-1）2

+•••+

3

<—

2

不等式得证

例2：设数列｛可｝满足：6=l,a“+|=3a“,〃eN*,设S,为数列｛4｝的前〃项和，已知

4w0,2bn-bx=5)-Sn,nGN*

(1)求数列｛4｝,｛〃｝的通项公式

1113

(2)求证：对任意的〃cN*且〃22,有------+-------+・・・d----------<—

«2-b2a3~b3an-b„2

解：⑴•.•。用=3。,；.｛a“｝为公比是3的等比数列

an=q♦3"=3"

在｛〃｝中，令〃=1,24一伪=£•S]=>4=1

2b「1=S”

2%-1=S,-2bn-2btl_t=bn(n>2)=>b„=2b

.•.｛"｝是公比为2的等比数列

bn=b｝-2"T=2"-'

111

证明:

(2)a,—b“-3,1_2”T〈正

a3-b3an-bn

,11⑴3fiy-13

<1H1-•,-H-----=------------;------=-1——<一

3y-2]_!2]⑶]2

~3

例3：已知正项数列｛凡｝的前n项和为S,,，且q,+J=2S„,»eN*

(1)求证：数列代｝是等差数列

(2)记数列"=25；,7；=，+3+...+3，证明：1一“=<7；4?-1=

"b2bnyjn+l2yjn

解：(

1)an+—=2Sn=>Sn-5„.1+--^―=2S,(心2)

凡S“-S“T

1

—=Sn+Sn.；.S：-S；I=1

QQnn—ln/i—1

“〃n-\

・・・{s；}为等差数列

(2)思路：先利用(1)可求出S的公式进而求出Z?=2〃、份，则—=---六，考虑进行放

bfl2n\/n

缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。

解：令〃=1代入%+-!-=2S“可得:

Oj+—=2aln[=1即S]=1

4

由｛s；｝为等差数列可得：s；=s：+(〃-1)=九

Sn=Shn=2nG

1_1

bn2ns

31

考虑先证(<----r=

2yjn

111\fn—y]n-iy/n-y/n-11

—=---?=■<---.-----=---------<小»)

b〃〃.24J〃一1+6)几

〃22时

1

J〃一1

再证方＞1一

小炼有话说：本题在证明中用到一个常见的根式放缩:

+1-y/n=-/--<—,=,<-j=----/=sfn-n-1

例4：已知数列｛a“｝满足4=2,。“+|=2(1+工a”,nwN十

\nJ

(1)求证：数列1*■)是等比数列，并求出数列｛q｝的通项公式

n17

(2)设％二—,求证：q+02+…+%<—

%~24

(1V(«+1)2

解：⑴%+1=21+-an=2-^~

VnJn

.•.一驮丁=2•冬.•」喜]是公比为2的等比数列

(〃+1)2n2U2J

•乐用23

2

an=n-2〃

Yl1

(2)思路：%=—=-----，无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式(不等号:

a“〃,2"

<)，若要放缩为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有〃，

故分子分母通乘以(“-1),再进行放缩调整为裂项相消形式。

.n1H-1

解:而而

h112n-(n-\\〃+1

而-----------------=-----------=----------

(〃—1)2"Tn-2"n(n-l)2"“(〃一1)2”

l…n-\〃+111/分\

所以%二^——；———7—=7——；-r-------(/1>2)

"“(〃一1)2"«(»-1)2"(〃一1)2“Tn-2"V'

+1-11+4-1?++1n-1-1

J+C2+…+%<q+G+C3^^r4.244.2r2-"(n-l)2n-2\

----p----1-------1------------------=-----------------<-----(〃>3)

282424n-2"24n-2"24

1617

・

•.c,>0C]<C]+0?<C]+。2+。3=

小炼有话说：(1)本题先确定放缩的类型，向裂项相消放缩，从而按“依序同构”的目标进行

构造，在构造的过程中注意不等号的方向要与所证一致。

(2)在求和过程中需要若干项不动，其余进行放缩，从而对求和的项数会有所要求(比如本

题中”>3才会有放缩的情况），对于较少项数要进行脸证。

例：已知数列｛〃〃｝的前〃项和S”=解,一3〃（〃一1）,〃£?/*,且。3=17

(1)求p.力

(2)求数列｛%｝的前〃项和s.

应,求证：T<-yj3n+2

(3)设数列｛，｝的前〃项和7；，且满足功n

S〃3

解：（1）在S〃=w〃一3力（〃一l）,〃cN*中，令拉=2,〃=3可得:

4+%=2az-6%-4=6

q+%+%=3%-18q+2=16

/.q=5,%=11

(2)Sn=rian-3n(n-l)①

S-=(〃-1)%-3(〃-1)(“-2)②

①一②可得：

«„=na„-6(n-l)=>(n-l)fl„=(〃-1)%+6(n-l)(n>2)

二%=%+6

.•.{a,,}是公差为6的等差数列

/.an=q+6(〃-1)=6〃—1

2

7.S〃=nan-3n(/?-l)=n(6/?-l)-3n(n-l)=3n+2〃

(3)由(2)可得：2=J—J—=/1

\3n2+2n病XI

,1223//-——-/-——-

b=「=—/</----,=-1,3〃+2-x/3n-1

nV3n+22「3〃+2j3”+2+j3〃—12、

例6：已知数列｛6,｝满足q=-,an=——色——n>2,〃GN)

4(T)%T—2

(1)试判断数列,—+(-1)”\是否为等比数列,并说明理由

4

(2)设a=勺sin业?工，数列｛%｝的前〃项和为却求证：对任意的〃eN*T<

"7-

解：(1)册='=(一1)"*一2=㈠)"_2_

—+(―1)"=2.(一1)"—2=_L+㈠)"=(_2)](-1)j+—

a

„4-i4an_

—+(-l)"!为公比是—2的等比数列

4J

(2)思路：首先由(1)可求出｛凡｝的通项公式=-------上-------7,对于

3.(-2)"

万，(2〃-1)万

sin--------可发现〃为奇数时，sin---------=1,n为偶数时，sin--------二-1,结

222

合｛〃〃｝通项公式可将其写成sinR^~~=，从而求出％=---g---,无法直接

23,2"+1

求和，所以考虑对通项公式进行放缩，可联想到等比数列，进而%=——士一＜—二，求

"3-2"-'+13.2"T

和后与所证不等式右端常数比较后再进行调整(需前两项不动)即可。

解：-+(-1)'=3,由(1)可得:

—+(-1)，，=-+(-1)'.(-2)，"1=3.(-2)，，_|

_______]

3-(-2r-(-i)n

.(2n-l)^-㈠广1

而sin(2〃；M=(_])sjn—_____-_=________-_______=_________

23.(,2y,-'-(-l)n3-2n-'+l

bn=-----：----<-------

3-2,,_|+13-2”T

当"23时，T“=b\+打+•••+〃<3+b2)+y^r+y^+・・・+y^r

ifi-fiF-

1112⑵111474

=一+一+-

471476847

2

因为｛2｝为正项数列：口<72<73<…<T.

4

.■.\/neN',Tn<-

3厂3na,(-…、

例7：已知数列｛4｝满足:4=彳，且4=^~~^lt—[n>2,neN

22«„_,+rt-lv

(1)求数列｛为｝的通项公式

(2)证明：对于一切正整数〃，均有•…・a„<2-n!

3〃%

解：⑴a„=

2a“t+n-l

12。“_]+几一1nn2n-\

---=----------------------=---------------<=>.....----1-------

43〃*a,,3a„_,a,,33%

、几in_21.

设a=一即Hn

433

“一i=-1)也—i｝为公比是1的等比数列

(1V"11?

.也-i=(「i)QJ而

、।<1Ynn-T

•他二1七)."=百=丁

olo2Q/J

(2)思路：所证不等式可化简为：T----7—••…-------<2,由于是连乘形式，所以考虑

3,-132-13"-1

放缩为分子分母可相消的特点，观察分母的形式为(3"-1),所以结合不等号方向，将分子向

on_°a”_1

该形式转化：-----<------<—7~~;——r("22),再根据右边的值对左边放缩的程度进行

3"-13"-37

调整即可。

31323"

证明：所证不等式为：〃!•一-----—----<2•加

3,-132-13"—1

31323"一

等价于证明:----<2

31-132T3"-1

c~v-----<-7—：——2)

3"-1---------3"-13"-33(3n-1-l)

33-134-13"-1

C2,3(32-l)3(33-1)3(3"T—1)

393”—1393"243"

288312288-3"-2128'）

3c3927c

c.=-<2,•Q=---=—<2

12G''2816

即不等式得证

小炼有话说：（1）对于一侧是连乘形式的表达式,在放缩时可考虑通过分子分母相消达到化

简式子的目的。与裂项相消相似按照“依序同构”的原则构造。

（2）本题中用到了分式放缩的常用方法：通过分子分母加上相同的数达到放缩目的，但要注

意不等号的方向（建议验证），常用的放缩公式为：a>b>O,c>Q=>-<^-（分子小

aa+c

与分母）,a>b>O,c>O=>0>"+’（分子大于分母）

bb+c

b

例8：已知函数/（x）=ac----21nx,/（l）=0

（1）若函数/1（X）在x=l处切线斜率为=/（—1—]一〃2+1,已知q=4,求

\a-n+\]

证：an>2n+2

1112

(2)在(1)的条件下,求证：-----+-----+・・・+------<-

1+q1+1+5

1G

解：⑴/(x)=〃+r——

XX

/⑴=0—8=。

厂.—s〈—S《

/(1)=0a+b—2=0h=1

岛=1+(4-〃+1)2-2(%-“+1)-"+1

22

整理后可得：alt+i=(«„-n)-n+l

勺+i=a；-2〃a“+1

下面用数学归纳法证明：422〃+2

当〃=1时=422〃+2成立

假设〃=攵(人"*)成立，则〃=攵+1时

4+i=ak(4-24)+14>2k+2

.,.矶“2攵+2>2+1=42+5>2(左+1)+2

.•.〃=%+1时，不等式成立

/.V〃GN",a〃>2n+2

(2)。“+1=a：-+1=a„(a„-2n)+1

由(1)可知a〃22九+2/.an+｝>2an+1

1111111

«—•w—-W•••«------

a—1--2a.-1--2~ci—1------2"'67,+1

H〃-In—7£\

1+41+21+1+a1212J

2

例9：已知数列｛%｝的各项均为正值，对V/eN*,a^+l-l=4an(an+l),bn=log2(a„+1),

且q=1

(1)求数列。的通项公式

(2)当左>7且女eN*时,证明对V“eN*,都有-5-+」一+—…—1->3成立

4%bn+2如t2

解：⑴«,t|-l=4«„(a„+l)

二。3=44+4。”+1=匕|=(2%+1『由an>0可得：

二%=24+1

••・4+1+1=2(弓+1)

.♦.{4+1}为公比是2的等比数列

an+1=(4+1)•2〃i=2"

=2"—1hn=n

(2)思路：所证不等式为：!+―+」—>3左边含有两个变量，考虑通

nn+1n+2nk-\2

1113

过消元简化所证不等式。设《=一+——+..・+-----，则只需证明：(4).>一，易知7；

nn+1nk-1m,n2

11133

为递增数列。所以只需证明％=8,即一+——+・・・+----->—，左边共7〃项，结合一的特

nH+18〃一122

点可考虑将7〃项分为3组：1--------F,,•H--------->-----F•••H----—————

n____n_+__1__2n-\♦2n2n>2n2

--------1---------------F・・・H---------------->--------1■•…H--------=一

2n2九+14九一1包412

2〃个2〃个

」-+」一+…+」—>」-+…+」-=」，再求和即证不等式

4/24〃+18/2-18n87?2

\\_

4〃个4〃个

解：所证不等式--1------------1------------1--------1---------->一由(1)可得：

hn%2+2鼠_\2

工+,+，+・・・+，〉3只需证：0+,+，+-+，]

nn+1〃+2nk-\2\nn+l〃+2nk-\Jmin2

设£=，+，+・・・+]

n〃+lnk-1

=0+，+.••+1

••1+1-/

〃+ln(k+Y)—\)\nn+1nk-\)

11

一++•­•+--------->0

nknk+\nk+n-1

.,.｛1｝为递增数列Z:>8

••・只需证工+113

・•♦(4)min=n=7+----+・・・+-----+…+

几+1------8〃-1n〃+18n-l2

I+，+...+1

*H------------

4〃一1(4〃8〃一1

111>—

+---+­■•+

nn+18n-l2222

例10：数列｛2｝是公差不为零的等差数列,%=6,数列｛〃｝满足:

4=3,%+1=4自…〃+1

b“+i—1

(1)当"22时,求证:bn

(2)当〃3>1且。3£N*时，。3M5,徇，气，…，气，…为等比数列

①求％

、

\11

②当小取最小值时,求证：—+—-+—H---F—>4-------------1---------+---・-・--!------

a1

b《I一1k~0k-1

瓦仇仇n2Kn

解：⑴由2+1=4打…%+1可得：&„+)-1=btb2■--bn

:也-l=b也…b“_in>2,〃GN*

%一1

两式相除可得:b.

b,「l

(2)①思路：本题的突破口在于《“既在等差数列｛«„｝中，又在等比数列

七,见，4,，4,，…，气,，…中，从而在两个不同风格的数列中4“均能够用巴进行表示，然后便

得到k〃与。3的关系式,抓住左〃,〃3GN*的特点即可求出的的值

•.•{%}为等差数列.•,。=%二生="^

ak„=4+(£,-3)4=%+((-3).生学

a.6

另一方面，•・・。3，〃5,%，处2,……为等比数列:,q=—=一

。3。3

（乙yi+,

A-i

------^可视为以1为首项，一为公比的等比数列前（〃+1）项和

---1。3

〃3

:.kn^3+21+—+---+f—=5+2—+-­•+

aa

3\3J。3

6(6)

,:knGN"V〃eN*,2—H---F—eN,：a3GN'

%

%能够被6整除；4>1且。3H%=6

。3=2或。3=3

经检脸：4=2或。3=3均符合题意

②思路：所证不等式两侧均为数列求和的形式，所以先观察两侧是否有能直接求和的式子，

b-1

从而化简一侧的表达式，由（1）和（2）①可知，上一=b,,a.=2x3"+i,所以对于右

a-1人”

侧，一1—=———显然无法直接找到求和方法。而对于」虽然没有通项公式，但可

n+,

%T2.3-1bn

Mb"+'"1=b向可求和的方式进行变形，得到'--------1一（〃22）,从而可想到

b„~1bnbn-\bH+i-1）

利用裂项相消的方式进行求和，得到---1----1----F,••H---=------------o对于右侧

仇仇&b„3贴2…么

—+—―+…+——只能考虑进行放缩，针对」一=——J--的特点可向等

n+1

a,-1a,-1a.K-1a,K-12-3-1

人IK2nit

比数列靠拢，结合不等号方向可得：一'—=——-＜」。所以

a-12-3,,+I-13n+,

Kk”

III1F.fiY'

于是所证的不等式就变为只需证明

a1a1

Tk2~k„~61〈3)_

2122„,„12：,考虑对一1—进行放缩，抓住仇=3

>[，即证明<

3结2…233Hbh…b.3"+1她…2

221

这个特点，由已知可得｛〃｝为递增数列，则"23但右侧为——r=-----,无法直接放缩证

3〃+133”

明，所以要对--------的放缩进行调整，计算出仇也也可得——,进而

她…db、b2b33

111212

，但此时只能证明〃24时，不等式成立。对于

她2••仇她么么…2343-3-3向'

n=1,2,3有限的项，逐次验证即可。

b-1

由(1)可得：*—=bn

2T

b”也1)=2+|z、=

么(2-1)%T

1_____1___1_

b“-1b„bn+x-\

111八

/.—=----------------n>2

b“bn-\bn+[-\

1111

+—+—+•••+—

b\仇仇bn

111)11)111

-——I-++•,,+

44T4—工、4-12—工bn—lb“+i-1,

111

=—+

b\人2Tb“+i-1

4=3也+1=地…"+1

•,也+「T=b电…b1t

111111121