初中数学同角三角函数关系强化练习3

初中数学同角三角函数关系强化练习3

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.已知a+/=90。，且sina+cos〃-0=0,则锐角a等于（）

A.30。B.45°C.60;D.无法求

2.已知在RIAABC中，4C=9O,sinB=—,则cosA的值为()

2

n>/3

A-IB.—

223

3.如图，在MAABC中，/847=90。,4。_18。于点。，若BD:CD=3:2,则

tanND4c的值为（）

瓜

A.|B.国rD

v_/.----半

332

4.已知：sin232°+cos2a=l,则锐角a等于()

A.32B.58"C.6sD.以上结论都不

对

5.在AA6C中，ZC=90°,tanA=2,则cosA的值为()

A-TB.半c.1

D.2

7

6.在RtZkABC中，ZC=90°,若sinA=：,则cosA=()

A.叵B.恒D.6

L.----

3232

3DE

7.如图，在ZkABC中，A8=18,BC=15,(2sB=二，DE//AB,EFLAB,若一=

5AF

3，则BE长为（）

B

A.7.5B.9C.10D.5

4

8.在RtAABC中，ZC=90°,cosA=~,则sinA=()

A.24

B.一C.-D.-

4355

二、填空题

9.如图，在矩形ABC。中，AB=14,E是3c边上一点，月.5E=6,连接AE.若

ZC4£=45°,则CE的长为.

L

10.在中，NA,N3均为锐角，且有卜an8—制+sinA-4-J=0,则AABC

的形状是一

4

11.如图，在中，NAC3=9（）o,cosA=w，C。为AB边上的中线，8=5,以

点8为圆心，/•为半径作。8.如果。8与中线CD有且只有一个公共点，那么。8的半

12.已知Ne为锐角，且sina=卷，则cosa=.

13.如图（1）所示，E为矩形ABC。的边A£＞上一点，动点P、Q同时从点B出发，

点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-OC运动到点C时停止，点。以2cm/秒的速度

沿3c运动到点C时停止.设P、。同时出发/秒时，VBPQ的面积为），cm2.已知y与

f的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线

43

段），则下列结论：®AD=BE=5；②当（XY5时，y=~t\③cos/A8E=j；④

29

当t=］秒时，AABES.QBP；⑤当V8PQ的面积为4cm2时，时间f的值是J而或

y;其中正确的结论是（填写序号）.

14.如图，在边长为4的正方形ABC。内有一动点P,且BP=亚.连接CP,将线段

PC绕点尸逆时针旋转90。得到线段PQ.连接CQ、DQ,则goQ+CQ的最小值为

15.已知：sinl5cosl5=—sin30,sin20-cos20=—sin40,

22

sin30-cos30=1sin60%请你根据上式写出你发现的规律.

16.现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部

分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为

叵口；（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰

2

三角形；（3）有一个内角为36。的等腰三角形为黄金三角形.由上述信息可求得

sin126。=.

三、解答题

17.如图，在RSABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c,则sinA=^,

c

Cd

cosA=—,tanA=一.我们不难发现:sin260°+cos260°=1.........试探求sinA、cosA、

bb

tanA之间存在的一般关系，并说明理由.

18.如图，AB为。0的直径，点C在。。上，点P是直径AB上的一点，（不与A,B

重合），过点P作AB的垂线交8c的延长线于点Q,与4c相交于点M,C£＞是。。的

切线.

B

3

(2)若sinNQ=g,AP=4,MC=6,求P8的长.

19.如图，在RtZXAfiC中，ZA=90°,AB=4,AC=3,D,E分别是AB,8c边上

的动点，以8。为直径的交BC于点凡

(2)当ACED是等腰三角形且ADEB是直角三角形时，求A。的长.

20.如图，在OO中，直径A3与弦C£＞互相垂直，垂足为H,点E是弧BD上一点，

连接AC,过点E作直线目0交A8的延长线于点交C。的延长线于点G,连接

AE交CD于点、F,且EG=FG.

(1)求证：EG是的切线；

(2)若EM〃AC,求证：AFFG=EFCF；

1FH

⑶在(2)的条件下，若A"=4,tanG=-,求0的值.

3EM

21.如图，在AABC中，BA=BC,BC平分/ABC交AC于点，点E在线段上,

点尸在8。的延长线上，JiDE=DF,连接AE,CE,AF,CF.

A

(1)求证：四边形AECb是菱形；

(2)若84_LARAO=4,BC=4逐,求8。和AE的长.

22.求值：

(1)cos600+sin245-tan34•tan5s;

2sinA-cosA

(2)已知/Q〃A=2,求的值.

4sinA+ScosA

参考答案:

I.c

【解析】

【分析】

根据互余两角的三角函数的关系得出cos|3=sina,求出sina=孝，即可得出答案.

【详解】

解：Va+p=90°,

/.cosp=sina,

,.•sina+cosp-若=0,

2sina-6=0，

g

sina=——,

2

锐角a=60°.

故选C.

【点睛】

本题考查了互余两角的三角函数的关系，特殊角的三角函数值的应用，解此题的关键是求

出sina的值.

2.C

【解析】

【分析】

先根据sinB=也得到NB的度数，即可得到NA的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值

2

即可得到结果.

【详解】

解：VsinB=,

2

,ZB=60°,

*.•ZC=90°,

，ZA=30°,

••cosA------

2

故选C.

答案第1页，共20页

【点睛】

本题是特殊角的锐角三角函数值的基础应用题.

3.B

【解析】

【分析】

先根据题目已知条件推出△MDs“CAO,则可得ND4C=NB,然后根据

BD:CD=3:2,设8O=3x,CD=2x,利用对应边成比例表示出的值，进而得出

tanNZMC的值，

【详解】

.在RAABC中，ABAC=90°,

：./3+NC=90。，

；4O_L8c于点。，

/.ZB+ABAD=90°,ZC+ADAC=90°

，ZSW=NC,ZB=Z/MC,

RtZ\AB£)sAC4£),

.BDAD,,

••-=---,即ar，AD"=BD-CD,

ADCD

'：BD:CD=3:2,

.,.设BD=3x,CD=2x,

AD-~j3x-2x=y/6x,

•.小.A。底xx/6

,•tanNB=tanNZX4C==----=—,

BD3x3

故选:B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、相似比、锐角三角函数的定义、直角三角形的性

质，解题的关键是根据垂直证明三角形相似，根据对应边成比例求边长.

4.A

【解析】

【详解】

Vsin2a+cos2a=1,a是锐角,

a-32°.

答案第2页，共20页

故选A.

5.A

【解析】

【分析】

根据tanA=g=2,于是设BC=2k,Adk,由勾股定理得到

AC

AB=\lBC2+AC2=4(2k,+k?=亚k于是得到结论.

【详解】

解：:△ABC中，ZC=90°,

/.tanA==2,

AC

・,•设5c=2Z,AC=A,

，AB={BC?+AC?=,(21)2+:2=疯,

ACk_5/5

/.cosA

~AB夜一"T

故选：A.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

6.C

【解析】

【分析】

根据si/A+cos2A=1,进行计算即可解答.

【详解】

解：由题意得：sin2A+cos2A=l,

/.cos2A=1—=—,

99

•.•cos,A4=—亚，

3

故选C.

【点睛】

本题考查了同角三角函数值的关系.解题的关键在于熟练掌握sin2A+cos24=l.

7.C

答案第3页，共20页

【解析】

【分析】

先设力E=尤，然后根据已知条件分别用x表示AF、BF、BE的长，由。E〃AB可知

隼DF=妥CF，进而可求出x的值和BE的长.

ABCo

【详解】

解：设。石=羽则Ab=2x,BF=18-2x,

：.ZEFB=90°,

：.BE=-(18-2x),

3

,:DE〃AB,

.DECE

**AB-CB，

...x15-|(18-2x)

18-15

；・x=6,

ABE=-x(18-12)=10,

3

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了三角形的综合应用，根据平行线得到相关线段比例是解题关键.

8.C

【解析】

【分析】

由同一锐角的正弦与余弦的平方和是1、结合正弦的定义解题.

【详解】

4

解：Vsin2i4+cos2A=1,B|JsinM+(=)2=1,

9

/.sin2A=—,

25

33

.•・sinA=《或sinA=-g(舍去)，

答案第4页，共20页

/.sinA=—,

5

故选：C.

【点睛】

本题考查同角三角函数的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

9.29

【解析】

【分析】

过点E作EFLAC于点F,在RtZiA8E中由勾股定理可求得AE的长，在RsAEF中，根

据45。余弦的三角函数定义可求得EF,设CE=x,在EFC、RtZiABC中，根据同一个

角的正切相等，可求得CE在配AEFC中利用勾股定理建立方程即可解决.

【详解】

解：过点E作EFLAC于点F,

在新△ABE中，AB=14,BE=6,

由勾股定理得：AE=y/AB2+BE2=V142+62=2758>

在尸中，NC4£=45°,

cosZC/lE=—=—,AE=EF,

AE2

解得：AE=EF=2则,

设CE=x,

在RtAABC中,

AR14

tanZACB=—

BC6+x

在改△中,

pp2729

tanZACB=—

CFCF

答案第5页，共20页

屈（6+x）

•*Cr-----------------，

7

在R於EFC中，CF?+EF2=EC2,

即回,+x）一+0网才,

解得：*=29或*=-11.6（舍去）

二口的长为29

故答案为：29.

【点睛】

本题主要考查了锐角三角函数的定义、矩形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握各

性质定理.

10.等边三角形

【解析】

【分析】

根据非负数的性质求出lanB和sinA的值，然后求出乙4、的度数，即可判断AABC的

形状.

【详解】

解：由题意得，tanB=V3,sin4=—,

2

则NA=60°,ZB=60°,

ZC=180o-60°-60o=60°.

故AABC为等边三角形.

故答案为：等边三角形.

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及非

负数的性质.

11.5＜厂£6或入冷##r=g或5＜厂46

【解析】

【分析】

根据直线与圆的位置关系，判断出符合题意的。8的半径，•的取值范围的临界值并求解即

可;

答案第6页，共20页

【详解】

解：在R/AABC中，ZACB=90°,8为AB边上的中线，CD=5,

：.AB=10,CD=BD=5,

...AC4

.cosA==—,

AB5

・・・AC=8,

・•・BC=JAB2-AC2=A/102-82=6,

,24

CD边的同=6x8+2+2x2+5=,

,/与中线CD有且只有一个公共点，

二。8的半径〃的取值范围为5<r46或r=费.

故答案为：5<厂46或r=弓.

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的面积、直角三角形斜边上的中线、解直角三角

形等知识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由三角函数求出BC是解决问题的关键.

12.乜

13

【解析】

【分析】

根据sina=得，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可

推出cosa的值.

【详解】

Vsina2+cosa2=1,sina=2,

13

・-・cosa=±J一,

13

又丁Na为锐角，

.°12

.・cosa=—.

13

故答案为：

【点睛】

此题考查了同角三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定

答案第7页，共20页

义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角

函数值.

13.①②④

【解析】

【详解】

由图2知，点尸到达点E时所用的时间是10秒，点Q到达点C时所用的时间是5秒.

因为点P、Q的运动速度分别是1cm/秒、

所以8c=BE=10,所以A£>=3C=10.所以①错误:

又因为从“到N的变化是4,所以EE>=4,所以AE==-4=6.

AI763

因为所以N1=N2,所以c。sNl=c。sN2=▼=9=z所以③错误；

BE105

如图1,过点P作PF_L3c于点F,

因为AO〃BC,所以N1=N2,所以sin/1=sin/2==二二=，

BE105

41144c

2

所以Pb=P8sin/l=gf,当0VE<5时，y=-BQ-PF=-x2tx-t=-t9所以②正确;

2929291

如图3,当"一秒时，点尸在C。上，此时，PD=--BE-ED=—-10-4=-9

2222

上3小吟多因为亲消瑞冷4所啜盗

又因为NA=NQ=90。，所以AABESAQBP,所以④正确.

由②知，"当y=4时，|r2=4,从而r=石，所以⑤错误，故填①②④.

14.5

【解析】

【分析】

连接AC、AQ,先证明△BCPS^ACQ得登=日即AQ=2,在AO上取4E=1,证明

△QAE^^DAQ得EQ=/QO,故/DQ+CQ=EQ+CQ>CE,求出CE即可.

答案第8页，共20页

【详解】

解：如图，连接AC、AQ,

•••四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90。得到线段PQ,

，NACB=NPCQ=45。,

：.ZBCP=ZACQ,cosZACB=—=—,cosZPCQ=—=—,

AC2QC2

：.ZACB=ZPCO,

:.XBCPSXACQ,

.AQy/2

••----=----

BP2

,:BP=&,

，AQ=2,

•••Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，

在AO上取AE=1,

AE1AQ1

*/—=-,—=ZQAE=ZDAQ,

AQ2AD2

：./\QAE^^DAQ,

•卷EQ=15即Wi。,

：.^DQ+CQ^EQ+CQ>CE,

连接CE,

•*-CE=yjDE2+CD2=5>

...goQ+CQ的最小值为5.

故答案为：5.

答案第9页，共20页

D

BC

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题

的关键在于能够连接AC、AQ,证明两对相似三角形求解.

15.sina-cosa=-sin2a

2

【解析】

【分析】

从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论.

【详解】

根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半，

规律为：sincrcosa=—sin2a.

2

故答案为sina-cosa=；sin2a.

【点睛】

本题考点：同角三角函数的关系.

16.回

4

【解析】

【分析】

如图作三角形，TS.AB=BC=a,AC=b,先求出cos36。=3上L再由

4

sin126°=cos36°,进而求出sin126。=逅土L

4

【详解】

解：如图，等腰三角形AABC,ZABC=36°,AB=BC=a,AC=b,

答案第10页，共20页

a

Ab1)L(

72

取AC中点。，连接30，可得2=在二1,

a2

由题意可得.NA8C2bl>/5-111石-1,

sin---------=—=------=----------

2aa221>-4

所以cos/4BC=l-2sin2=1-2/-]1一百+1

所以cos36。=叵△，

4

所以sin126°=cos36°=.石十].

4

故答案为:早.

【点睛】

本题考查了余弦定理以及诱导公式的应用,读懂题意，熟悉掌握余弦定理和诱导公式是本

题的解题关键.

sinA

17.sin2A+cos2A=1,tanA=-------,理由见解析.

cosA

【解析】

【详解】

当，根据三角函数的定义以及勾股定理通过推导即

试题分析：sin?A+cos2A=1,tanA=

cosA

可得.

sinA,

试题解析：sWA+cos2A=1,tanA=—7,理由如下：

cosA

c人a

ZC=90°,a2+b2=c2,sinA=—,(2sA=—,tanA=—,

chh

；.sin2A+cos2A=(0)+(»

-1.

~c2

答案第11页，共20页

a

asinA

tanA=-=-cr=-------..

b£cosA

c

18.(1)见解析

39

⑵了

【解析】

【分析】

(1)连接OC,根据切线的性质和垂直的定义即可得到结论;

(2)根据圆周角定理和解直角三角形即可得到结论.

(1)

(1)证明：连接0C,如图所示：

•••CD是。。的切线，

.♦.NOCO=90。，

：.ZDCQ+ZOCB=90°,

'：OC=OB,

：.ZOCB=ZB,

，NDCQ+NB=90°,

QP1AB,

：.ZB+Ze=90°,

:.NQ=NDCQ；

(2)

：A3为(DO的直径，

，ZACB=90°,

ZA+ZB=90°,

PQ1AB,

答案第12页，共20页

・NQP5=90。,

・N0+N8=9O。,

・NA=N。，

3

VsinZ2=-,

..人加3

AM5

・••设PM=3mAM=5a,

；・AP=《AM?-PM?=4〃，

VAP=4,

；・4a=4,

•\a=1,

，AM=5,

.*.AC=11,

在Rt/kACB中，s\nZA=^-=-,

AB5

，设BC=3&,AB=5k,

.\AC=4k=11,

••K--，

4

.4O_55

4

39

/.PB=AB-AP=—.

4

【点睛】

本题考查了切线的性质，勾股定理、解直角三角形，圆周角定理，正确的识别图形作出辅

助线是解题的关键.

33

19.⑴证明见解析；⑵

【解析】

【分析】

(1)根据3。是圆的直径，可以得到NB")=90。，BPZDFC=90°,然后利用证明

△即可;

(2)因为三角形CED为等腰三角形，故每一条边都可能是底边，可以分三类讨论，由于

答案第13页，共20页

三角形。E8是直角三角形，所以。和厂都可以为直角的顶点，需要分两类讨论：当

/E£>B=90。时，NDEBV9Q。,/CED是钝角，所以此时只能构造EC=E。的等腰三角形，

故取。点使C。平分NACB,作OE_LAB交BC于E,可以证明。E=DC,且。E〃£)C,得

到△即可求解；当NAE£>=90。时，若三角形CE。为等腰三角形，则

ZECD=ZEDC=45°,BPEC=DE,利用三角函数或相似即可求出4D

【详解】

解：(1)；8力是圆的直径，

,ZDFB=90°,

ZDFC=90°,

在RtXCAD和Rt4FCD中，

[CD=CD

\AD=FD'

：./\CAD^/\CFD(HL)；

(2)二•三角形。E8是直角三角形，且N3<90。，

；•直角顶点只能是。点和E点，

若/££>8=90。，如图在AB上取。点使C。平分NACB,作DEYAB交BC于-E,

平分/AC8,

ZACD=ZECD,

'：ZCAB^ZEDB=9Q0,

J.AC//DE,

：.ZACD=ZCDE,

：.NECD=NCDE,

：.CE=DE,

此时三角形ECD为E为顶角顶点的等腰三角形，三角形DEB是E为直角顶点的直角三角

形，

设CE=DE=x,

在直角三角形ABC中BC=\lAC2+AB2=5，

；.BE=5-x,

■：DE//AC,

答案第14页，共20页

:•△BDES^BAC,

,DEBE

^~AC~~BC

.x5-x

••一=----，

35

解得X=），

o

15

.・・CfE=—,

8

*：DE//AC,

.ADCE

'9'AB~~BC

15

丝=互，

45

若/。破二90。，如图所示，ZCED=90°,

•••△CEO为等腰三角形，

AZECD=ZEDC=45°fB|JEC=DC,

设EC=DC=y,

・・ta・n°NB=AJ3——,

AB4

•.・♦tanN“B=DE—_3—,

BE4

4

・・・BE=-y

3f

,:BC=CE+BE=5,

・・>=亍，

CE=CD=—,

7

答案第15页，共20页

AC3

VsinZB=—5

BC

175

DE3-2T5

・・・BD="

sinZB5一

3

:.AD=AB-BD=-

7

.••AO的长为；或。.

27

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的

关键在于能够利用数形结合的思想进行分类讨论求解.

20.⑴见解析

(2)见解析

c、FH3710-9

(3)-----=------------

EM5

【解析】

【分析】

(1)根据圆的切线的性质，证明NOEG=90;即可知EG是。。的切线；

(2)证明AACF~A£GF即可得A尸•日G=£F-CF

FH

(3)证明AAC“〜AMG”〜AMOE,再利用正切值和勾股定理求出一的值.

EM

(1)

解:连接OE；

答案第16页，