初中数学图像探究题

图像探究题补充

解答题(共12小题)

1.在RtZ\A8C中，ZA=90°,AB=6,AC=9.

问题提出

(1)如图①，D、E是分别是AB、AC两边上中点，则改=

CE

问题探究

(2)若在AB上找一点M使得在AC上找一点N使得CN=」AC,点。是直线MN上的一个动

33

点，过A作AE_LAO.使A。：AE=1：3,求BE的最小值.

问题解决

(3)如图③，某地有一块足够大的空地，现想在这片空地上修建一个四边形广场A2CZ),其中AB=300〃3

BC-.CD=3：5,BC±CD,BC//AD,且N84D<90°.其中△ABC将划分为老年人休闲活动区，规划人员

希望这片区域面积尽可能大，试求AABC的最大面积.

2.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结

合已有的学习经验，请画出函数y=-上一的图象并探究该函数的性质.

X2+2

X•・・-4-3-2-101234•••

y・・・__2a-2-4b-4-2.12_2•••

~311~3

(1)列表，写出表中m。的值：。=,b=；

描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象.

(2)观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确(在答题卡相应位置正确的用“作答，错误

的用“X”作答)：

①函数y=-2一的图象关于y轴对称；

X2+2

②当x=0时，函数y=--当一有最小值，最小值为-6；

x+2

③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小.

(3)已知函数)，=-多-」旦的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式-W—V

3323

X+2

蛇的解集.

3

X2+2X+1(X:C1)

3.参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y=lq,、、的图象与性质，探究过程如下，请补充完

-(x>l)

x

整.

⑴歹1表：

X・・・-4-3-2-101234…

•・・

y•••9m10143,n3,

77

其中，m=_______,n-_______.

(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象.

(3)观察函数图象，写出一条该函数的性质.

(4)进一步探究函数图象发现：

①当y=l时，X—，当y=3时，X—；

②若直线y=b与该函数图象有且只有一个交点，则h的取值范围是

4.在函数的学习中，我们经历“确定函数表达式--画函数图象--利用函数图象研究函数性质--利用图象

解决问题”的学习过程，画函数图象时，我们常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象，请根据你学到的

'2-|x|（x<2）

函数知识探究函数x-2、的图象与性质并利用图象解决如下问题：

列出与x的几组对应的值如表:

X・・・-3-2-1012345•••

.・・

ym01210n23,•・・

~3W

（1）根据表格中x、y的对应关系可得，”=,n—；

（2）用你喜欢的方式画出该函数图象：根据函数图象，写出该函数的一条性质：

（3）直接写出当函数的图象与直线”=履+1有三个交点时，々的取值范围是.

5.在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式一画函数图象一利用函数图象研究函数性质—利用图象解决

问题”的学习过程.在画函数图象时，我们常常通过描点，或平移，或翻折的方法画函数图象.小明根据学

'|2x+4|（x<0）

到的函数知识探究函数yi=|b、的图象与性质，并利用图象解决问题.小明列出了与x的几

--7F（x>0）

x+1

组对应的值如表:

X.・・-4-3-2-101234・・・

yi.・・42m242n・・・

~3

（1）根据表格中X,yi的对应关系可得切=,n=；

（2）在平面直角坐标系中，根据表格中的对应值描各个点，画出该函数图象；根据函数图象，写出该函数的

一条性质.

（3）当函数》的图象与直线”=/nx+l有三个交点时.，直接写出，"的取值范围.

6.某班“数学兴趣小组”对函数＞=7-2仅|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整(1)自变量

x的取值范围是全体实数，x与)，的几组对应值列表如下：

X…-3-2.5-2-10122.53

y…31.25tn-10-101.253

其中，m=.

(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象

的另一部分.

(3)观察函数图象，写出1条函数的性质.

(4)进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程7-2仅|=0有个实数根：

②方程?-2k|=2有个实数根.

③函数y=7-2㈤的图象与y=a有至少有3个交点时，a的取值范围是.

7.在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式--画函数图象--利用函数图象研究函数性质--利用图

象解决问题”的学习过程.我们可以借鉴这种方法探究函数y=_E的图象性质.

x-1

(1)补充表格，并画出函数的图象.

①列表:

X.・・-3-10235

y…-1-2-441

②描点并连线，画图.

(2)观察图象，写出该函数图象的一个增减性特征：；

(3)函数y=_虹的图象是由函数)，=冬的图象如何平移得到的？其对称中心的坐标为；

X-1X

(4)根据上述经验，猜一猜函数y=_E+2的图象大致位置，结合图象直接写出y23时，x的取值范围

X-1

8.数学兴趣小组对函数y=\^-Ar-2|的图象和性质进行了研究，探究过程如下.

(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下.

X.・・-3-2-1012345・・・

・・

y.8m02n20108•••

T

其中，m=，n=.

(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请补全函数图象的

剩余部分.

(3)观察函数图象，写出两条函数的性质.

(4)进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴有个交点；

②方程|27-lx-2\=\有个实数根；

33

9.某班数学兴趣小组对函数1r的图象和性质将进行了探究，探究过程如下，请补充完整.

1x1

(1)自变量x的取值范围是除0外的全体实数，x与y的几组对应值列表如下：

X.・・-6-3-2-11236・・・

y•••12m66321・・・

其中，m=.

(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的

另一部分.

(3)观察函数图象，写出一条函数性质.

(4)进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴交点情况是，所以对应方程工=0的实数根的情况是

1x1

②方程工=通_______个实数根;

1x1

小华根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，下面是小华的探究过程，请补充完整:

(3)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象;

并结合图象研究函数性质的过程.小

|2x+4|(x<0)

明根据已学的函数知识对函数)[=<的图象与性质进行了探究,其探究过程中的列表如下:

ax2+b(x)0)

X・・・-4-3-2-101234・・・

y・・・420247_2-1-4…

~22

(1)请写出。，6的值；

(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该函数的图象;

(3)直线”=工+1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，当时，直接写出x的取值范围.

2

12.有这样一个问题：探究函数》=，的图象与性质，通过列表、描点、连线，画出函数的部分图象如图所示,

1-x

探究过程如下：

(1)函数」的自变量x的取值范围是.

l-x

(2)对于函数y,y与x的几组对应值如表:

X・・・-1-0.500.51.522.53・・・

・・・・・・

y0.5m12-2-1n-0.5

在同一直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(X，y)，并补全函数的图象(画出方格内部分

函数图象即可).其中，m+n=；

(3)观察图象，写出函数的一条性质：.

(4)结合图象填空：当关于x的方程一」_=a(x-1)有两不相等的实数根时，实数a的取值范围是;

l-x

当关于X的方程」一=a(X-1)无实数根时，实数a的取值范围是.

l-x

图像探究题补充

参考答案与试题解析

一.解答题(共12小题)

1.在Rtz^ABC中，ZA=90°,AB=6,AC=9.

问题提出

(1)如图①，D、E是分别是AB、AC两边上中点，则段=_2一

CE3

问题探究

(2)若在A8上找一点M使得在AC上找一点N使得CN=」AC,点。是直线MN上的一个动

33

点，过A作4E_LA。.使AQ：AE=1：3,求8E的最小值.

问题解决

(3)如图③，某地有一块足够大的空地，现想在这片空地上修建一个四边形广场ABCQ,其中A8=300m,

BC：CD=3：5,BCVCD,BC//AD,且/BAD<90°.其中△ABC将划分为老年人休闲活动区，规划人员

希望这片区域面积尽可能大，试求AABC的最大面积.

图①图②图③

【解答】解：(1),：D,E是AB,AC的中点，

：.BD=3,CE=2

2

.BD_3=2

•京西而；

~2

故答案为：2.

3

(2)'：AM^1AB=2,BM=4,CN=AAC=3,AN=6,

33

AMN=V22+62=2V10,

,

当。在M上时,BE1=BE2=6V2

当。在MN上时，BE\<BEi，2WAOW6,

当点D在点N时，BE=AB+AE=AB+3AN=6+\S=24,

由图可知，当。由〃到N时，AZ)变大，则AE的长度变大,

:.BE变大,

当BE垂直于NE时最短，BN=6圾，

5

BE最小值为=在/-^2=-1

封0可

(3)当/84。=90°时，

'."BC//AD,

...四边形ABC。是矩形，

.•.BC3>

CD5

ABC=180(zn),

•■­SAABC卷X300X180=2700C(扇),

..1

.SAABC"7'BC'CD，

过点B作BE上AD于E,

图③

,・S/kABC至S矩形BCDE，

当S矩形BCDE最大时，S^ABC最大，

在RtzMBE中，BE&AB,

.'BE最大时,BE=AB,即/D48=90°,

S/kAK最大=yX300x180=2700C（川），

故AABC的面积最大是27000〃，.

2.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结

合已有的学习经验，请画出函数y=-」一的图象并探究该函数的性质.

X2+2

X・・・-4-3-2-10I234・・・

・・・•・・

y.2a-2-4b-4-2.12.2

1五~3

（1）列表，写出表中“，6的值：a=,分=-6；

一II-

描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象.

（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“作答，错误

的用“X”作答）:

①函数y=-/一的图象关于y轴对称；

X2+2

②当x=0时，函数y=--当一有最小值，最小值为-6；

x+2

③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小.

（3）已知函数y=-多-」与的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式-2一＜-21-

2

33X+23

【解答】解：(1)》=-3、0分别代入得。=-显=-11,/,=--6,

9+2110+2

X2+2

画出函数的图象如图：

故答案为：-6；

11

(2)根据函数图象：

①函数y=一的图象关于y轴对称，说法正确；

X2+2

②当X=0时，函数丫=-^一有最小值，最小值为-6,说法正确；

x+2

③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小，说法错误.

(3)由图象可知：不等式--—<-Zr-坦•的解集为x<-4或

2

X+233

x2+2x+l(x<l)

3.参照学习函数的过程与方法，探究分段函数)，=,R、的图象与性质，探究过程如下，请补充完

X

整.

(1)歹表:

X・・・-4-3-2-101234・・・

・・・・・

y•9m10143,n3,

~27

其中，m=4,n=1.

（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象.

y,i卜

r~T—।—।-----1JO---7--|一「一1-一1

III!111

1--4---1--•-—4—1-—1-------------►—1

lit!111(ti

L_,_-L-1_」__L，一I

1111-11I11

11111111

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1111111i11

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->T-3-2T。1?)5

।----r-1--r-1_卜—十一-1-一L一1—1

1___L__1一-」一>L一」一1

（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质.

（4）进一步探究函数图象发现：__

①当时，x=-2,0,3,当y=3时，x=-1+退，-1-遍；

②若直线y^b与该函数图象有且只有一个交点，则b的取值范围是6>0或1=4

【解答】解：(1)将x=-3代入y=/+2x+l(xWl)中得:

y=(-3)2+2*(-3)+1=4,

/.m=4,

将x=3代入y=3(x>l)中得：

x

・・・〃=1,

故答案为：4；1；

(2)如图即为所求，

(3)由图可知：当工＞1时，y随x的增大而减小；

(4)①当y=l时，将y=l代入y=»+2jr+l或y=2•中得,

x

1=X2+2X+1①

’1卫②，

Lx

由①得：x=0或x=-2；

由②得：x=3,

故答案为：-2,0,3；

当y=3时，将y=3代入代入y=/+2x+l或y=3中得，

x

f2

3=x"+2x+l

解得，x=-1+«或彳=-1-«或》=1(舍去),

故答案为：-i+J^,■1•Vs；

②•.•直线y=b与图象有且只有一个交点

4.在函数的学习中，我们经历“确定函数表达式--画函数图象--利用函数图象研究函数性质--利用图象

解决问题”的学习过程，画函数图象时，我们常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象，请根据你学到的

'2-|x|(x<2)

函数知识探究函数x-2、的图象与性质并利用图象解决如下问题：

列出与X的几组对应的值如表:

X・・・-3-2-1012345…

・・・・・

ym01210n23,•

~3W

(1)根据表格中X、y的对应关系可得m=-1,”=；

-2一

(2)用你喜欢的方式画出该函数图象：根据函数图象，写出该函数的一条性质：当xWO或x22时，y随

x增大而增大，当0<x<2时，y随x增大而减小：

(3)直接写出当函数》的图象与直线”="+1有三个交点时，k的取值范围是」VkVO.

【解答】解：(1)当x=-3时，m=y=2-\-3|=-1,

当x=3时，/»—y-A；

-3-12

故答案为：-1,

2

(2)当0Wx<2时，y=2-x.

当％VO时，y=2+x.

当x22时，y=X-2=]—1

x-1x-l

如图，可得当xWO或x与2时，y随x增大而增大，当0<xV2时，y随x增大而减小.

故答案为：当xWO或苫》2时・，y随x增大而增大，当0<x<2时，y随x增大而减小.

(3)如图，「直线”=履+1经过定点(0,1),

当直线”=区+1与x轴交点在点(2,0)右侧时满足条件，

即-_1>2,_A<jt<0.

2

5.在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式一画函数图象一利用函数图象研究函数性质一利用图象解决

问题”的学习过程.在画函数图象时，我们常常通过描点，或平移，或翻折的方法画函数图象.小明根据学

'|2x+4|(x<0)

到的函数知识探究函数川=|b_的图象与性质，并利用图象解决问题.小明列出了勿与x的儿

-7F(x>0)

x+1

组对应的值如表:

X...-4-3-2-101234•••

yi・・・42m242n・・・

~3~5

(1)根据表格中x,VI的对应关系可得加=0，n=\

(2)在平面直角坐标系中，根据表格中的对应值描各个点，画出该函数图象；根据函数图象，写出该函数的

一条性质当x<-2时，y随x的增加而减小.或当-2<x<0时，y随x的增加而增大.或当x>0时，y随

x的增加而减小..

（3）当函数yi的图象与直线”=/nx+l有三个交点时.，直接写出机的取值范围.

・・*=-2时，m=|2X(-2)+4|=0.

,.”=0时，y1=4,

：.b=4f

***x=3时,〃=1,

故答案为：0,1.

（2）函数图象如图所示（图中实线）.

性质：①当xV-2时,），随x的增加而减小.

②当-2<x<0E）寸，y随x的增加而增大.

③当x>0时，y随x的增加而减小.

故答案为：当x<-2时，随x的增加而减小.或当-2<x<0时，y随x的增加而增大.或当x>0时，y随

x的增加而减小.

y=mx+l

（3）由<4,消去y得到：（?M+1）x-3=0,

当△=0时、"P+]4/7?+1=0,

解得m=-7+4加或-7-4近（舍弃）,

当直线y=»ir+l经过（-2,0）时，m=A,

观察图象可知，函数）1的图象与直线”=机+1有三个交点时，〃，的取值范围0W机•或-7+4四.

（3）观察函数图象，写出1条函数的性质.

（4）进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴有3个交点,所以对应的方程?-2凶=0有3个实数根;

②方程/-2k|=2有2个实数根.

③函数y=7-2枕|的图象与y—a有至少有3个交点时，a的取值范围是-IVaWO.

【解答】解：(1)根据函数的对称性，机=0,

故答案为：0；

(2)描点画出如下函数图象:

(3)函数的最小值为-1；

x>\时，y随x的增大而增大(答案不唯一)；

(4)①从图象上看函数与x轴有3个交点，故对应方程％2-2因=0有3个根，

故答案为：3,3；

②设y=7-2\x\,从图象看y=2与y-x1-2国有两个交点；

故答案为：2；

③函数y=7-2枕|的图象与y—a有至少有3个交点时，a的取值范围是-1VaWO,

故答案为：-IVaWO.

7.在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式--画函数图象--利用函数图象研究函数性质--利用图

象解决问题”的学习过程.我们可以借鉴这种方法探究函数y=.的图象性质.

x-l

(1)补充表格，并画出函数的图象.

①列表：

X・・・-3_10235・・・

.・・

y-1-2-441•••

②描点并连线，画图.

(2)观察图象，写出该函数图象的一个增减性特征：当x>l时，y随x的增大而减小，当x<l时，y随x

的增大而减小；

(3)函数y=_土的图象是由函数)，=匡的图象如何平移得到的？其对称中心的坐标为(1,由；

X-1X

(4)根据上述经验，猜一猜函数y=2+2的图象大致位置，结合图象直接写出)，》3时，x的取值范围

X-1

1<启5.

【解答】解：（1）①x=3时，y=-^=2.

,3-1

（2）当x>l时，y随x的增大而减小，当x<l时，>随》的增大而减小.

故答案为：当x>l时，y随x的增大而减小，当x<l时•，y随x的增大而减小.

（3）函数y=旦的图象是由函数y=匹的图象向右平移1个单位得到.），=士的对称中心为（1,0）.

X-1XX-1

故答案为（1,0）

（4）数、=一幻+2的图象是由y=一红的图象向上平移2个得到，y\3时，14W5.

X-1X-1

故答案为1VX<5.

8.数学兴趣小组对函数y=l^|幺-寺-2|的图象和性质进行了研究，探究过程如下.

（1）自变量X的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下.

X…-3-2-1012345•••

・・・

y…8tn02n20108

T

其中，m=-A2.,〃=.

-3--3-

（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请补全函数图象的

剩余部分.

(3)观察函数图象，写出两条函数的性质.

(4)进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴有2个交点;

②方程£-2|=1有4个实数根；

33

③当关于x的方程|女-&-2\=p有3个实数根时，p的值是_2_.

33-3-

【解答】解：(1)将x=-2,y=加代入y=-£-2|中，得加=也_,

33

将x=l,y=〃代入一伊■-2|中，得〃=_|_,

故答案为：12；1；

33

(2)用光滑的曲线连接得,

(3)由函数图象可知，y=gd-&-2|的最小值为0；

当-1时，y随x的增大而减小；

(4)①由函数图象可知，函数图象与x轴有两个交点,

故答案为2；

②如图，直线y=l与函数图象有4个交点，

33

故答案为：4；

③当x=l时，

如图，直线y=2•与函数图象有3个交点,

3

当关于X的方程|27-当-2\=P有3个实数根时，0=竺

333

故答案为：区.

3

(3)观察函数图象，写出一条函数性质.

(4)进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴交点情况是无交点，所以对应方程工=0的实数根的情况是无丈数根.

1x1

②方程工=由2个实数根;

1x1

故答案为：3；

(3)性质：该函数图象关于)，轴对称;

(4)进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴交点情况是无交点，所以对应方程金=0的实数根的情况是无.

1x1

②方程£=2有2个实数根；

1x1

③关于X的方程工=@有2个实数根，a的取值范围是«>0,

1x1

故答案为无交点，无实数个；2；a>0.

10.问题：探究函数y=x+2的图象和性质.

x

小华根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，下面是小华的探究过程，请补充完整:

(1)函数的自变量x的取值范围是：“0；

(2)如表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整:

X.・・-3-2,3_-11_113,23・・・

2~2~2

.・・・・・

y-3-?.-3-3-414132旦332

3-42263

故答案为xWO.

(2