2021年自招模拟卷（四）（教师版）

自招模拟卷（四）

1.已知X=―--=---=―--,则X=.

b+ca+ca+b

【答案】,或一1.

2

〃=(Z?+c)x

【解析】由题意</2=(〃+C)X=〃+0+C=2(4+/?+C)X,

c=(a+b)x

若Q+/7+C=O,则工=---==—1,

b+c-a

若a+Z?+cwO,则x=2.综上x=1或一1.

22

6x4+6...在

2.已知f+V—df+x+lnO,求「~~K----的值.

7X3-36XI2-37X

42(36+7石)、42(36-7石)

【答案】-1或-

310511051

【解析】将f+d-4f+x+l=O两边同除产,贝ij：

(1)x+2=2时,

(2)x+L-3时,

X

I42卜6+7石)42(36-775)

—―〜或——y--

310511051

3.已知函数丫=-2/+（“-5）》+3（264彳46+3）图像关于〉轴对称,

则q+6=.

【答案】4.

【解析】由题意二次函数对称轴x=0,定义域关于原点对称na-5=0,

2b+b+3=0=a+b=5-l=4.

4.已知函数>=小-2）丁-2日+（火+1）的图象与工轴只有一个交点，

则人=.

【答案】±2.

【解析】若原函数不为二次函数，则无=2ny=-4x+3与x轴只有一个交点成立;

若原函数为二次函数，贝|JA=4/-4仅一2）伍+1）=0=-&-2=0=%=-2,

综上k=+2.

2x-8,x23

5.在同一个直角坐标系中，已知直线y=fcc与函数y=,-2,-3cx<3图象恰好有三个

公共点，则上的取值范围是

【答案】-<k<2.

3

【解析】原函数图象大致如图，

当％<0,y=日过二四象限不满足题意,

显然kwO,当丁二日过（一3,-2）则，恰有两交点,

7

当k=2,三条直线平行，于是士〈攵<2.

3

6.已知矩形ABC。中，AB=\,BC=a,若在边BC上存在点0,满足AQJ.QE）,

则«的取值范围是

【答案】a>2.

【解析】以4）中点为圆心处为半径作圆应与8c有交点,

2

7.己知锐角AA3C的三边长恰为三个连续正整数，AB>3C>C4,若BC边上取高

为AO,则如一£>C=./\

【答案】4./\

【解析】设A3、BC、C4分别为〃+1、〃、n-\,则⑶。,

BD2-DC2AB2-AC2(n+1)2-(n-1)2

-----------------=-----------------=--------------------------=4

BD+DC

8.己知实数也，〃（其中"•”片1）分别满足：19小+99加+1=0,n2+99n+19=0,

【答案】-5.

【解析】由。9机）2+99（19〃?）+19=0=19机、”均为寸+99犬+19=0的解,

若它们为不同解，则19力〃=19矛盾=>19/n=/i

9.若关于x的方程（％-2乂/-4犬+加）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三

角形的三边长，则m的取值范围是.

【答案】3</77<4.

【解析】显然x=2是原方程的根，设另两个根分别为。、b,。+，=4>2,

△20,|。叫<2且心0,n[16-4m=(a叫2<4=3<〃/4.

A=16—4/7?>0

10.已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等，若将全等的三

角形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是个.

【答案】2.

="2

【解析】设直角三角形三边分别为"、，

ab=2[a+h+c)

有c?=a2+b2<2b2=c<E=ab<2(b+b+&b)=2[a+4b<[bna<7,

而油=2(a+i>+c)>2(0+6+b)na25,

若。=5,25=(c,-b)(c+b)=c+b=25,c-〃=l=c=13,6=12代入两式验证

成立；

若a=6,36=(e-i>)(c+t>)^>c+£>=18,c-6=2=c=10,。=8代入两式验证

成立；

综上(",仇,)=(6,8,10)或(5,12,13),满足条件的三角形有2个.

11.设个机场，每一机场起飞一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落，

且任何两机场之间的距离都不相等，则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为

【解析】首先有五架飞机在O降落是可以构造的，

只需O为正五边形MCDE的中心，其他飞机场在较远处即可.

其次证明不可能有六架飞机在O降落，

如图，对于任意一个飞机场O考虑它60。夹角方向，若区域内有4、3两飞机场,

则NAO3460。，若A、8同时飞往O,则AO<AB,BO<AB,

nAB为AAO3最大边，nNAOB为最大角矛盾；

于是对飞机场O,在夹角为60。的区域内最多有一架飞机.

若存在六架A、B、C、D、E、F飞机飞到点O,

以。4为边界将点O的圆周角6等分，

则形成如图五块区域，每块区域内最多一架飞机，与六架飞机飞到点O矛盾.

12.关于x的方程丁-(2机-l)x+2/+m=0的两个根分别为可，x2.

(1)若归-引=6，求机的值；

(2)若不，%均为整数，求机的值.

31

【答案】(1)/%=—!；(2)m——2,——,—,0.

22

【解析】(1)5=(2"z—1)~—4(2〃/+加)=-4m2—8m+1=>m=—l；

(2)由大+/=26一1=2机为整数设为攵，

△=(I)2_4+1=(%-1)2_(2%2+2%)=5-(4+2)2为完全平方数，

A31

=>左="4、—3、—1»验证成立，于是，〃=—2、—、—、0.

22

,2)2

+tz2-b1

13.已知实数人b、c满足“+"一，之和恰好等于1,

2bc2ac2ab

求证：这三个分数的值有两个为1,一个为一1.

【答案】略.

b,"2+c~>>-a"22c~+a"2-bi2a~2+bi~2-c~2,

【解析】由条件得，----------+----------+----------=1,

2bc2ac2ab

…-匕。+2-f=0,

2bc)2acJ2ab}

从+d-八2%h,『一入2%/+”C2+2"=O,

2bc2ac2ab

仅一C)2—『f(-小〃+,+小/=0,

2bclac2ab

(b-c^a)[b-c-ci)(c-a+Z?)(c-a-b)(«+Z?+c)(a+/?-c)

-------------------------------------1------------------=0,

2bc2aclab

a(b-c+a](b-c-a}b(c-a+b](c-a-b]cia+b-\-c\(a+b-c\

-------------------H--------------------H--------------------=0，

2abc2abc2abc

[b-c+a^ab-ac-a2+ab-bc-b2+ac+be+c2^

--------------------------------------------=0,

2abc

伍-c+a)[c2—(a-O)1_0Q

-C+a)(C+Q-b)(C-4+。)0

2abc2abc

S-c+a)(c+a—Z?)(c—a+b)=0,

..Z?-c+a=O或c+a-/?=O或c—a+/?=0,

b2+c2-a2_b2-Vc2-(Z?-c)2

若b-c+4=0,则=1»

2bc2bc

c2+cr-b2c2+a2-(c-tz)2

——1,

2ac2ac

2222

a+/_c_a+b_(a+61_

—二­]

lablab

,2t22

c2+a~2-bi-2[a~+h--c~i

若c+a-/7=0,同理得一一“一=1,----------——1,=1,

2bclaclab

jo->222i>>。，22

1c~+a--b~Ia~+b-c"t

若c—a+6=0,同理得"+‘一"—1r-------------------------=1,--------------------------=1.

2bclaclab

14.如图，AABC中，AB=BC=5,AC=6,过点A作4）/ABC,点P、。分别是射

线AD、线段BA上的动点，且4P=8Q,过点P作PE//AC交线段4。于点0.联

结PQ,记"=x,APOQ面积为y.

（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围;

（2）联结0E,若APQE与APOQ相似，求AP的长.

【答案】(1)y=--x2+—x,0<x<-；(2)5.

2552

52+52-627

【解析】(1)cosZDAB=cosZB=

2.5225

nsinZ.DAQ=,

则POPE=PQ2=PH2+HQ2=PH2+(AQ-AH)2

=64x2-500%+625=0=>(4x-25)(16%-25)=0

nx=生或生（舍），综上A尸二生

16416

15.一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第

2层到第33层中的某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分

不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意.现在有32个人在第一层，并且他们分

别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意

的总分达到最小？最小值是多少？(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)

【答案】316.

【解析】设电梯在层第X层，有y个人不坐电梯，则总分

S=3x[l+2+…+(33—x)]+3x[l+2+…+y]+lx[l+2+…+(x—y—2)]

(33-x)(34-x)(y+l)y(x-y-l)(x-y-2)

-DXhDXI

222

=2》2-肛+2/-102苫+3>+1684

=+*)」6y+316

于是当x=27,y=6时，S取最小值316.

16.一辆计程车的速度为55Am//z,出发时，它的里程表上的里程为诙，行程结束时

过了正整数个小时且里程表上的路程为砺，其中。21,a+b+c47,则

a2+/+/=.

【答案】37.

【解析】由题可得，55卜拉z-次?c),/.55|99(c-«),/.5|9(c-«),

丁5与9互质，「.5卜一〃)，:.c-a=0,5,

若c♦-々=0,则仍。=He,不满足条件，舍去；

若c-a=5,\-a>l,:.c>6,<a+b-^-c<l,

a=1

:<b=0,.0.a2+b2+c2=37.

c=6

17.不超过1000的正整数x,使得尢和x+1两者的数字和都是奇数，则满足条件正整

数尤有多少个？

【答案】46.

【解析】由题设这个正整数是x=N,ceZ，a,A,c49)

它的数字之和是S(x),

若"9:.5(力+5(》+1)=2(4+6+C)+1是奇数，

・•.这两个数是一奇一偶，不满足条件；

若‘=9力49;.55)+5(X+1)=2.+6+9)—8是偶数，

故只需x的数字和都是奇数即可，

这样的x共：9x5=45个.

若c=b=9,a-(》)+5"+1)=24+29是奇数，

••.这两个数是一奇一偶，不满足条件；

若c=6=a=9,x和x+1两者的数字和都是奇数，满足条件.

・••共46个.

18.设x是实数，不大于x的最大整数叫做x的整数部分，记作卜］,如［1.2］=1,［3］=3,

[-1.3]=-2,

11

(1)S—F-:---------+…+F----------------~-，求［90S］；

(lOxll-1)2(11x12-1)-(2016x2017-1)

10x1111x122016x2017

(2)解关于x的方程：X2-2^-3=12

【答案】(1)9；(2)2碗+1或24+1

]

【解析】(1)/+2+=n2+n-2=^n-1)(/?+2)

n(n+1)〃("+1)

----+------F,,•+=3x

9x1210x13-----2015x2018[畀卜儒4卜…薪-募I]

5=六十焉1

+・•.-)-=---—--x----------

2015x20183

111111

=—x---1--

31011201620172018

303030c63030

90s=史+3+型-----=9+=>9051=9

911201620172018----99201620172018L」

(2)设F=n(22)2-4=12冈,=>2—1=3囚,03"3c产一143A,

左边可得A<1或2”,右边有人2-3k41<4=>—1<4,

也即一1<々<1或2<%<4,=>因=-1,0,2或3,

代入42-1=3因验证得々=万或后，nx=2夕+1或2加+1.

【课后作业】

1.（15分）矩形MCD边A3经过圆O的圆心点O,E、尸分别为43、DC与圆O

2.（15分）实数x、y满足/-2X-4），=5,则x—2y的取值范围是.

【答案】x-2y<~.

-2

【解析】设x-2y=A,X2-4X+2*-5=0,A=16-8JI+20>0=>jt.

3.（15分）二次函数y=加（而工0）,当x取大、工2（工尸工2）时，函数值相等.当

工取玉+/时，函数值y=.

【答案】0.

【解析】对称轴一一.=—+*2=x+x=,y=a（一2]--=0.

2a2a\ci）a

/2\2016

4.（15分）若/+2a—l=0,/一2/一1=0,1-ab2^Q,求心.

【答案】1.

【解析】由-。、/均为『一2一1=0的根，若这两根不同，则-a•从=一1矛盾;

20162016