2021届广东省汕头市高考数学三模试卷(含答案解析)

2021届广东省汕头市高考数学三模试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.设复数z的共扼复数为"若z=1-爪为虚数单位)，则复数:+z2+|z|在复平面内对应的点位

于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合豳?=蒯如:凝士嘘谶=斛*;=魏为：1.改色就，则图中阴影部分表示的集合是()

3.哈六中高二学年的A,B,C,D,E五位同学准备从四门选修课中各选一门，若已知每门选修课

至少有一人选修的前提下，则A,B不选修同一门课的概率()

A.B.4C.4D.吃

12101012

4.6=0是函数〃>)=/+以+©为偶函数的()条件.

A.充分而不必要B.必要而不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

5.记max{%y}=旨：三，min{x,y}=三，已知/'(%),g(x)分别是奇函数和偶函数，且在

[0,+8)上单调递减，设函数F(x)=max{/'(x),g(x)}+min(/(x),g(x)},若a20,则()

A.F(a)+F(—a)>0B.F(a)+F(-a)<0

C.F(a)-F(-a)>0D.F(a)-F(-a)<0

6.光线通过一块玻璃，强度要损失10%,那么若光线强度要减弱到原来的看以下，要通过这样的玻

璃的块数至少为()(句3〜0.477,⑷2=0.3)

A.14B.15C.16D.18

7.双曲线?一?=1的渐近线方程为()

A.y=±—xB.y=±2%C.y=±；xD.y=±—x

2/3

8.已知定义在R上的函数/(%)的导函数为/'(x),若f(x)—/(—%)=0,且当％>0时，f(x)<0,

则满足不等式/O)</(2m-1)的实数m的取值范围是()

A.[1,3]B.g,l]

C.(-°°,|]U[l,+oo)D.(-00,1]U[3,+oo)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统

计表，其中表示购买，“X”表示未购买.

商品

甲乙内T

顾客人数

100VXVV

217XVXV

200VVX

3007X7X

85XXX

98XVXX

根据表中数据，下列结论正确的是()

A.顾客购买乙商品的概率最大

B.顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2

C.顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3

D.顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3

10.下列各式中值为抽是()

A.2sin750cos75°B.1—2sin2-

12

tan770-tan320

C.cos450cosl50-sin45°sinl5°D.

2(l+tan770tan32°)

11.如图，正方体ADCD—4B1G4的棱长为1,则下列四个命题正确的是()

A.直线BC与平面4BGD1所成的角等于:

B.点C到面力BC/i的距离为当

C.两条异面直线。传和BQ所成的角为?

D.二面角C-BG—。的平面角的余弦值为一直

3

12.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点尸

变轨进入以月球球心尸为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二

次变轨进入仍以尸为一个焦点的椭圆轨道口绕月飞行，最终卫星在尸点第三次变(

轨进入以F为圆心的圆形轨道HI绕月飞行，若用2cl和2c2分别表示椭圆轨道I和

n的焦距，用2al和2a2分别表示椭圆轨道I和D的长轴的长，下列式子中正确的

是()

A.%+C[=做+B.%—C]=。2-C2

C.C1a2>a,c2D.

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.不等式。+丫)(：+三)225对任意正实数》，丫恒成立，则正实数。的最小值为____.

xy

14.已知向量五=(1,2),方=(2,—3)若向量下满足迹+砂〃石，cl(a+K)>则工=

15.用半径为弱题1的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为&醐.

16.数列｛斯｝满足Jcin+1=病+7^7+7«3+…«1=4,贝!|即=.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知函数/(%)=^/3sinxcosx+cos2x.

(1)若％€[0,柒，求/(%)的最大值及相应的x；

DO

(2)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若/(&)=1a=5,b=573.求△ABC的面

积.

18.已知数列｛a"中，%=1,an+1=2an+3,数列｛bn｝中，b】=1,且点(%+1，垢)在直线y=x-1

上.

(I)求数列｛a“｝的通项公式；

(n)求数列｛%｝的通项公式；

3)求数列也｝的前n项和Sn.

19.如图，已知4B_L平面ACQ,0E1平面AC。，△ACD是等边三角形，AD=DE=2AB=2,F,

G分别为A。，OC的中点.

(1)求证：CFiTffiABED；

(2)求四棱锥C—4BED的体积；

(3)判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明.

20.已知点尸是OM：。+1)2+、2=16上的任意一点，点7(1,0),线段PN的垂直平分线/和半

径MP相交于点。

(1)当点P在圆上运动时，求点。的轨迹方程；

(2)已知直线厂与点Q的轨迹交于点A,B,且直线1'的方程为丫=/^+旧(卜＞0),若。为坐标原点，

求^。力8面积的最大值.

21.在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了48两个问题，规定：被抽签

抽到的答题同学，答对问题A可获得100分，答对问题8可获得200分，答题结果相互独立互

不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否

则终止答题.答题终止后，获得的总分决定获奖的等次.若甲是被抽到的答题同学，且假设甲

答对问题的概率分别为

A,B24

(I)记甲先回答问题A再回答问题B得分为随机变量f,求f的分布列和数学期望；

(n)你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由.

22.已知函数/'(x)=/nx-ax,

(1)当a=1时，求函数fQ)在久=e处的切线方程；

(2)当a=2时，求函数f(%)的极值;

(3)求函数/(x)在上的最大值.

【答案与解析】

1.答案:D

解析：解：复数2+z2+团=笠+(1-i)2+|1-i|=(1：？：-2i+/=T+VI

Z1—111-1以1+1)

在复平面内对应的点(注,-1)位于第四象限.

故选：D.

利用复数的运算法则、几何意义即可得出.

本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

2.答案：C

解析：试题分析：阴影部分表示的是翻转酒，因为麟产「腐=

考点：集合的运算；集合的表示方法。

点评：直接考查集合的运算，属于基础题型。

3.答案：C

解析：解：哈六中高二学年的A,B,C,D,E五位同学准备从四门选修课中各选一门，

每门选修课至少有一人选修，

基本事件总数n==240,

A,8不选修同一门课的对立事件是A,8选修同一门课，

则A,8不选修同一门课的概率p=l-笔惮=也

故选：C.

每门选修课至少有一人选修，基本事件总数n=ClA\=240,A,8不选修同一门课的对立事件是A,

B选修同一门课，利用对立事件概率计算公式能求出A,B不选修同一门课的概率.

本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

4.答案：C

解析：解：£>=0时，f(x)=+bx+c=+c为偶函数.

若/(x)=x2+bx+c为偶函数，则/(—x)=x2—bx+c=x2+bx+c,

即—bx=bx,

■■—b=b,解得b=0.

b=0是函数f(x)=x2+bx+c为偶函数的充分必要条件.

故选：C.

根据函数奇偶性的定义和性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用偶函数的定义是解决本题的关键.

5.答案：D

解析:解:由己知可得:即)北部盟嚷晨黑，

所以F(x)=g(x)+f(x),

因为/(x)，g(x)分别是奇函数和偶函数，

所以尸(a)+F(-a)=g(d)+f(a)+g(-a)+/(-a)=2g(a),显然无法判断g(a)的符号,

F(a)-F(-a)=g(a)+/(a)-[5(-a)+/(-a)]=2/(a),

因为函数f(x)为奇函数，在[0,+8)上单调递减，所以当a20时，/(a)<0,

即尸(a)一尸(一a)<0,

故选：D.

由已知函数的定义即可求出函数尸(x)的解析式，然后根据函数的奇偶性以及选项判断即可.

本题考查了函数的性质以及函数的奇偶性，考查了学生对奇函数的性质的理解能力，属于中档题.

6.答案：C

解析：解：设要通过这样的玻璃的块数至少为x,则(1-10%尸<：,

0.9x<

、71吗国2Tlg2-l._Q

x15.2，

..x>loWq0a-=-l—go—.9=-3--9--T-g--i--0=--2-l-g--3---l

又SXWN”,

AX=16,

即要通过这样的玻璃的块数至少为16块.

故选：C.

设要通过这样的玻璃的块数至少为x,则(1-10%尸<再利用对数的运算性质求解即可.

本题主要考查了对数的运算性质，同时考查了学生的计算能力，是基础题.

7.答案：A

解析：解：由双曲线搐—5=1的渐近线方程为'=±家，

双曲线互一丝=1的a=2,b=遮，

43

可得所求渐近线方程为y=±^x.

故选：A.

运用双曲线冬-3=1的渐近线方程为、=±3,求得已知双曲线方程的a,b,即可得到所求渐近

线方程.

本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题.

8.答案：B

解析：

本题主要考查函数奇偶性的的性质，考查导数与函数单调性的关系，属于基础题，根据条件得到函

数的奇偶性，结合函数的单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，利用偶函数的性质进行求解

即可.

解：•••，。)一］(一乃=0,.••函数/(%)为偶函数,

,当x〉0时，/'(%)V0,.,・函数/(%)在(0,+8)递减，

・,・不等式f(m)</(2m-1)等价于|刑>\2m-1|,

即362—4m+1>0,

解得：|m<1,

故选民

9.答案：BCD

解析：解：顾客购买甲商品的概率匕到=幽上需些=0.685,

顾客购买乙商品的概率为Pz==0.515,

P甲,P乙,故A错误：

从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，

故顾客同时购买乙和丙的概率为就=0.2,故8正确；

从统计表可得，在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300(人

)>

故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为就=0.3,故C正确；

从统计表可得，在这1000名顾客中，顾客仅购买1种商品的有85+98=183(人)，

故顾客仅购买1种商品的概率为荒=0.183<0.3,故D正确.

故选：BCD.

根据概率的求法，结合所给数据，逐个选项判断即可得出答案.

本题考查了概率在实际中的应用，解题关键是掌握概率的定义，考查了数据分析和计算能力，属于

基础题.

10.答案：ACD

解析：解：2s讥75%os75。=sinl50。=|,故A满足条件;

1—2sin2—=cos-=—»故8不满足条件；

1262

cos45°cosl5°-sin45°sml5°=cos(45°+15°)=cos60°=%故C满足条件;

一一

tan77°-tan32°1t,an45--1故。满足m条件，

-2-(l-+-t-a-n-7-7-°-t-a-n-3-2-°-)=_2x2乂刀、ii，

故选：ACD.

由题意利用二倍角公式、两角和差的三角公式，计算可得结果.

本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式，属于基础题.

11.答案：AB

解析:解:如图，取BG的中点H,连接CH,易证CH1平面4BGD1，勺______________£1

所以NGBC是直线8c与平面ABGDi所成的角，为j故A正确；

点C到平面4BGD]的距离为C”的长度，为号，故8正确；

易证BCJ/4D],所以异面直线DiC和BG所成的角为N4D1C或其补

角，

因为△AC%为等边三角形，所以两条异面直线。传和DC】所成的角

为全故C错误；

连接由BD=DG，所以DH1BG，又CH1BG，

所以NCHD为二面角C-BG-C的平面角，

易求得在，又CD=1,CH=四,

22

由余弦定理可得cosZCHD=加+加-»=立，故。错误.

2DHCH3

故选：AB.

根据线面角的定义及求法即可判断A；由点到平面的距离的求法即可判断8；由异面直线所成角的

定义及求法即可判断C；由平面角的定义及余弦定理即可判断D.

本题主要考查命题真假的判断，空间角与空间距离的求法，属于中档题.

12.答案:BC

解析：解：如图可知的>。2，S>C2,

・•・Q1+q>。2+；

・•・4不正确，

・・・&-q=\PF\,a2-c2=\PF\，

JQl-q=02-；B正确.

@1+C2=。2+C1

可得(%+C2y=(a2+C1)2,

a-c

ii+2ale2=Q刍一以+2a2clf

即比+2ale2=状+2a2/，,:瓦>b2

所以Qg>。送2

C正确；

可得?■>£，。不正确.

ala2

故选：BC.

根据图象可知的>。2,C1>C2,进而根据基本不等式的性质可知的+Ci、2+C2；荒〉含进而判

断AQ不正确.C正确；根据的-q=|PF|,a2一。2=固尸1可知的-J=四一C2；

本题主要考查了椭圆的简单性质.考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力.

13.答案：16

解析：解：(%+y)(~+，)=l+a+;+学之l+a+2J,.藁=1+a+2\[a=(^a4-1)2,

即(x+y)G+?)的最小值为(历+1)2,

若不等式(x+y)(i+；)>25对任意正实数X,y恒成立，

xy

(Va+I)2>25,即6+125,

则逐>4,

则a>16,

即正实数a的最小值为16,

故答案为：16.

利用基本不等式进行求解，先求出(x+y)&+9的最小值为(仿+1)2,然后解不等式即可.

xy

本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式先求出(x+y)C+，的最小值为(G+1)2是解决

本题的关键.

14.答案：(_：，_[)

解析：解：设？=(x,y),则不+五=(x+l,y+2),

又仁+砂〃方，

2(y+2)+3(x+1)=0.①

又0+7),

•••(x,y)■(3,-1)=3x-y=0.②

解①②得％=-，y=-p

故应填：(一1一，

由题设条件知，本题是求向量H的坐标的题，题设中已经给出了与向量及有关系的一平行一垂直的条

件.故可设出向量不的坐标，将平行关系与垂直关系转化成关于向量表的坐标的方程求其坐标.

本题考点是向量平行的条件与向量垂直的条件，考查利用向量的平行与垂直转化成相关的方程求解

的能力.

15.答案:赤

解析：本题主要考查了圆锥的几何性质、侧面展开图、轴截面等。

由条件可知圆锥的侧面展开图是半径为2cm的半圆，则可得到半圆的圆弧长为2兀，即圆锥的底面圆

的周长为2兀，所以圆锥的底面半径为1,其轴截面为等腰三角形如图：

圆锥的高h=，22-12=瓜o

故应填：瓜。

16.答案：斯=依?二2

解析：解：,:Jan+i=+…+

•••y/an+2=+V^2+V^3------+y/an+lf

两式相减得Jjn+2-Van+1=jQn+1，

即JQn+2=2Ja九+1，平方得an+2=4aH+1，

当n=1时，o,2—7a1,即a2=a1=4,不满足。丸+24a”+i，

；.数列｛即｝从第三项起是以。2=4为首项，公比q=4的等比数列，

n2

当n>2时，0M=4•4-=4“T,

则"=优]，2-

故答案为:斯=优1：，2・

根据数列的递推关系，构造方程组即可得到结论.

本题主要考查数列通项公式的计算，根据递推数列关系，构造方程组，利用作差法是解决本题的关

键.

17.答案：解：(l)f(%)=\[3sinxcosx+cos2x.

=­sin2x+-cos2x+

222

=sin(2x+g)+3

OL

由于：xe[0,J,

所以：2x+音仁，争，

当x=2时，函数的最大值为生

(2)由于：/■$=1，

所以：&)=sin(B+》+；|,

解得：B=W，

由于Q=5,b=5V3,

所以：h2=a2+c2-2accosB,

整理得：c2-5c-50=0,

解得：c=10.

所以：S&ABC=^acsinB=1-5-10y=号3

解析：(1)直接利用三角函数关系是的恒等变换，再利用正弦型函数的性质求出结果.

(2)利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，主

要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.

18.答案：解：(I)由cin+i=2^+3得an+i+3=2(即+3)

所以｛an+3｝是首项为由+3=4,公比为2的等比数列.

所以即+3=4x271T=2"+1,故an=2n+1-3；

因为在直线上，

(II)(%+i，bn)y=x-1

所以即又瓦=

bn=bn+1—1bn+1-bn=11

故数列｛%｝是首项为1,公差为1的等差数列，

所以

bn=n；

(HI)由(口)知，数列｛%｝是首项为1,公差为1的等差数列，

所以5=1xn+1n(n-1)=|n(n+1).

解析：(I)由即+i=2即+3得即+i+3=2(即+3),由此能求出斯.

因为在直线,上，所以垢=垢+即砥+由此能求出办.

(H)(bn+i，bn)y=x-1i-11-bn=1,

(IH)根据等差数列的前〃项和公式进行解答.

本题考查数列的通项公式的计算和等差数列的前〃项和公式的应用，难度不大，考查计算能力.解

题时要认真审题.

19.答案：证明：(1)：尸为等腰44。。的边4。的中点，/J

■■■CF1AD,H/二

vABACD,ABABED,「'、」

••・平面ZCDJ■平面ABE£>,<.一*/(

•.・平面4CDn平面ABED=AD,CFLAD,.CFu平面ACD,

CF1平面ABED.

(2)•••△任£)是边长为2的等边三角形，；.CF=遮.

vS赭粉BED=：X(1+2)X2=3,

^C-ABEF=j^ABEF，CF=旧.

(3)结论：直线4G〃平面BCE.

证明：取CE的中点H,连结G”，BH,

••・G是CZ)的中点，

1

GH//DE,且(7"=严=1,

•••AB，平面ACD,DE1平面ACD,

：.GH//AB,又GH=AB=1,

•••四边形A8HG为平行四边形，

AG//BH,X/1GC平面BCE,BHu平面BCE,

4G〃平面BCE.

解析：略

20.答案：解：(1)如图，如图，连结QN,

•・・，是线段PN的垂直平分线，|QP|=\QN\,

■■\MP\=\MQ\+\QP\,\MQ\+|NQ|=4,

由椭圆定义知点Q的轨迹是以“(一1,0),N(1,0)为焦点,

长轴长为2a=4,短轴长2b=2百的椭圆，

其方程为土+—=1.

43

y=kx+V3

(II)联立工2y2,整理，得(4/+3)/+8百收=0,

----1-----=1

43

解得打=0,冷=-半，

/4k2+3

vfc>0,

228y/3k

A\AB\=Vl+Zc!%1-x2\=Vl+/c•|-

4H+3

原点。到直线，,的距离为d=熹,

1___8__6_kV312

SAOHB=2JI+妙,

4k2+3,无第4k2+3

=_碍12三南12_…

当且仅当4/c建，即k=当时,

△面积的最大值为2H.

解析：(1)连结QN,由椭圆定义知点。的轨迹是以M(-1,0),N(l,0)为焦点，长轴长为2a=4,短

轴长2b=2四的椭圆，由此能求出点Q的轨迹方程.

y=fcx+V3

（口）联立百艺一，整理，得（纵2+3）/+8g收=0，由此利用椭圆弦长公式、点到直线的

.4+3-

距离公式，结合已知条件能求出AO/IB面积的最大值.

本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦

长公式、点到直线的距离公式的合理运用.

21.答案：（本小题满分13分）

解：（I”的可能取值为0,100,300.（2分）

%=100）=］（1_；）=|,

P（^=300）=1-i=i（5分）

••・f的分布列为:

0100300

P131

288

以=资=75.（7分）

（n）设先回答问题8,再回答问题A得分为随机变量小贝物的可能取值为0,200,300.

•••PS=0）=（1—］）=：,=200）=r（lP（e=300）=z