2023湘教版新教材高中数学必修第二册同步练习5 . 2 概率及运算

5.2概率及运算

5.2.1古典概型

基础过关练

题组一古典概型的特征

L（多选）下列关于古典概型的说法正确的是

A.试验中所有可能出现的样本点只有有限个

B.每个事件出现的可能性相等

C.每个样本点出现的可能性相等

D.样本点的总数为n,若随机事件4包含在个样本点，则P（A）上

n

2.下列概率模型中，是古典概型的个数为（）

①从区间［1,10］内任取一个数,求取到1的概率；

②从1,2,3,…，10中任取一个数,求取至打的概率；

③在正方形46切内画一点P,求点〃恰好为正方形中心的概率；

④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.

A.1B.2C.3D.4

题组二古典概型的概率

3.（2022陕西西安阎良关山中学月考）小林打算从冰壶、短道速滑、花样滑冰、

冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率

为（）

A.-B.-C.—D.—

4.（2021四川遂宁期末）某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，该同学决定从妈

妈喜欢的白色、黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由

白色、紫色两种颜色的毛线编织的概率是

A.-B.-C.-D.—

5.（2022江西芦溪中学期末）等可能地从集合｛1,2,3｝的所有子集中任选一个，选

到非空真子集的概率为（）

A.-B.-C.—D-

84164

6.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,若第一次向上的点数小于第二次向上的点数，

则称其为正试验;若第二次向上的点数小于第一次向上的点数,则称其为负试验；

若两次向上的点数相等,则称其为无效试验.一个人抛掷该骰子两次，出现无效试

验的概率是（）

A.—11B1.—1C.-D.1

361262

7.（2020安徽安庆一中月考）在我国70周年国庆阅兵中，某兵种A,氏。三个方阵

按一定次序通过主席台,若先后次序是随机排定的,则方先于A,。通过的概率

为.

8.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女，乙校1男2女.

（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果,并求选出的

2名教师性别相同的概率；

⑵若从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果,并求选出

的2名教师来自同一所学校的概率.

能力提升练

题组古典概型概率的求法及应用

1.（2020湖南常德期末）已知一个不透明的袋子中装有3个白球,2个黑球,这些

球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球,则“取到的两个球颜色不相

同”的概率是（）

A.—B.-C.-D.-

105105

2.（2020福建师大附中期末）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,

放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概

率为（）

A.—13B.-C.—3D.-2

105105

3.（2022河北模拟）围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱

善之”，围棋至今已有四千多年历史,蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比

赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛,他们分成两个小组,其中一

个小组有3位，另外一个小组有2位,则甲和乙不在同一个小组的概率为（）

4.（2020湖北武汉二中期末）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，

劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的

下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田

忌的马获胜的概率为（）

A.-B.-C.-D-

3456

5.（2022河南模拟）踢健子是中国民间传统的运动项目之一,是一项简便易行的健

身活动.某单位组织踢建子比赛,有4名男员工和6名女员工参加.其中男员工每

人1分钟内踢毯子的数目为21,30,51,53;女员工每人1分钟内踢毯子的数目为

31,38,46,52,57,65,则从1分钟内踢键子的数目大于50的员工中随机抽取2名,

恰有1人是男员工的概率是)

3237

C

一

--一

55D.

1010

6.（2021安徽芜湖期末）甲、乙两名党员报名参加进社区服务活动，他们分别从

“帮扶困难家庭”“关怀老人”“参加社区义务劳动”“宣传科学文化法律知

识”这四个项目中随机选择一个项目报名，则这两名党员所报项目不同的概率为

（）

X.-B-C.-D.-

4334

7.（2021湖南郴州第二次质检）河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,

蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”.河图的排列结构如图所示，一

与六共宗居下,二与七为朋居上,三与八同道居左，四与九为友居右,五与十相守

居中，其中白圈数为阳数,黑点数为阴数,若从阳数和阴数中各取一数,则其差的

绝对值大于5的概率为（）

8.一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当有两个数字

的和等于第三个数字时,称其为“有缘数”（如213,134等），若

a,b,2（1,2,3,4},且a",c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率

是.

9.无土栽培的类型主要有水培、岩棉培和基质培三大类.某农科院为了研究某种

草莓最适合的无土栽培方式,种植了400株这种草莓进行试验,其中水培、岩棉

培、基质培的株数分别为200,100,100.草莓成熟后,按照栽培方式用分层抽样的

方法抽取了40株作为样本,统计其单株产量,数据如下表：

方式

单株产量（g）

水培岩棉培基质培

(50,100)X43

[100,150)53Z

[150,200)421

[200,+8)1y0

(1)求x,y,z的值;

（2）从表中单株产量在［150,200）内的草莓中随机抽取2株,求这2株草莓中恰有

1株草莓采用了岩棉培的概率.

10.（2022贵州模拟）北京冬奥会期间，志愿者从所有参加冬奥会的运动健儿中分

别抽取男女运动员各100人的年龄（单位:周岁）进行统计分析（抽取的运动员年

龄均在区间［16,40］内），经统计得出女运动员的年龄频率分布直方图（图1）和男

运动员的年龄扇形分布图（图2）.回答下列问题：

图1

□[16,20]

因[20,24)

□[24.28]

0[28,32)

□[32,36)

目[36,40]

（1）求图1中a的值;

⑵利用图2,估计参赛男运动员的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点

值作代表）；

⑶用分层抽样方法在年龄区间为［16,24）周岁的女运动员中抽取5人，男运动员

中抽取4人.记这9人中年龄区间在［20,24）周岁的运动员有力人,再从这勿人中

抽取2人，求这2人是异性的概率.

答案全解全析

基础过关练

1.ACD根据古典概型的特征知,A,C,D中说法正确,B中每个样本点出现的可能

性相等,但每个事件中包含几个样本点不确定,所以B中说法不正确.

2.A古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本点发

生的可能性相等，故②是古典概型;①和③中的样本空间中的样本点个数不是有

限的，故不是古典概型;④由于硬币质地不均匀，因此样本点发生的可能性不相等,

故④不是古典概型.故选A.

3.C记冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项分别为4〃则从这四个项目

中任意选两项的情况有AB,AC,AD,BC,BD,M共6种,其中没有选择冰壶的有

BC,BD,CD,共3种,所以所求概率为.故选C.

62

4.B由题意知，该同学选择的两种颜色的基本情况有(白，黄)，(白，紫)，(黄,紫),

共3种,其中满足要求的基本情况有1种,故所求概率尸点故选B.

5.B集合{1,2,3}的所有子集有:。，{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},

共8个,记选到非空真子集为事件A,则A的情况有

{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共6个,

所以P(A)=~~~-故选B.

84

6.C用(/,j)表示第一次向上的点数为i,第二次向上的点数为j,则样本空间

0={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5)

,(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4

,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)

,(6,5),(6,6)},共36个样本点.设“出现无效试验”为事件A,则

4={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},共6个样本点,所以户3=最々

366

7.答案|

解析用（X,y,z）表示A,4。三个方阵通过主席台的次序,则试验的样本空间

。=｛（440,（4C③，（氏4。，（&C4）,（C4③，（C64）｝，共6个样本点，其

中〃先于4C通过的有（44。和（B,C4）,共2个样本点，故所求概率产

8.解析甲校的2名男教师分别用句,a2表示,1名女教师用。表示；乙校的1名

男教师用A表示,2名女教师分别用B、,氏表示.

⑴从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果

有:（a,A）,（a,Bi）,（＜3i,有,（a,A）,（&、B\）,（52,盼）（b,A）,（Z?,5）,（6,有，共9种.

从中选出的2名教师性别相同的结果有：（&"）,⑸机（6,笈），（6,民），共4种.

所以选出的2名教师性别相同的概率乃今

⑵从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果

有：（31,3,2）,（3],ij）,（3i,A）,（＜3i,B\）,（31,B）,（期6）,（132,4），（及,年），（期B）,（Z?,A）

,（b,£）,（&氏），（45）,（45）,（5,5）,共15种.

从中选出的2名教师来自同一所学校的结果

有：E,&2）,（a"）,（a"）,（46）,（4区），（凡区），共6种.所以选出的2名教师

来自同一所学校的概率片

155

能力提升练

1.B3个白球分别记为1,2,3;2个黑球分别记为4H

从袋子中一次取出两个球的所有情况有

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,而，（2,3）,（2,0），（2,（，⑶力），（3,0,（40,共10种.

取到的两个球颜色不相同的情况有（1,⑷，（1,夕），（2,⑷，（2,夕），（3,⑷，（3,6）,共6

种.故取到的两个球颜色不相同的概率P=^-=l故选B.

105

2.D从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1

张,样本点总数为5义5=25,

抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的样本点有

（2,1）,（3,1）,（3,2）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,共10个，

抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率产祗故选D.

3.C另3位棋手分别记为丙、丁、戊，这5位棋手的分组情况有（甲乙丙，丁

戊），（甲乙丁，丙戊），（甲乙戊,丙丁），（甲丙丁，乙戊），（甲丙戊，乙丁），（甲丁戊，

乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲丁），（乙丁戊，甲丙），（丙丁戊，甲乙），共10种,

其中甲和乙不在同一个小组的情况有6种，分别为（甲丙丁，乙戊），（甲丙戊，乙

丁），（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲丁），（乙丁戊，甲丙），

所以甲和乙不在同一个小组的概率

105

故选C.

4.A分别用44。表示齐王的上、中、下等马，用a,6,c表示田忌的上、中、

下等马,现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛,有

Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Be,Ca,Cb,Cc,共9种可能的结果，田忌的马获胜包含的样本点

有Ba,Ca,Cb,共3个,所以田忌的马获胜的概率为土

5.C1分钟内踢健子的数目大于50的男员工有2名，分别记为a,b,

1分钟内踢键子的数目大于50的女员工有3名，分别记为4B,C,

从上述5人中随机抽取2人,所有的情况有ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC,共

10种，

其中，事件“恰有1人是男员工”包含的情况有aA,aB,aC,bA,bB,bC,共6种，故

所求概率片H

105

故选C.

6.D由题意知样本点总数〃=4*4=16,

这两名党员所报项目不同包含的样本点个数炉4X3=12,

则这两名党员所报项目不同的概率户”三故选D.

n164

7.A由题图知阳数为1,3,5,7,9,阴数为2,4,6,8,10,

所以从阳数和阴数中各取一数的所有情况共有5义5=25(种)，

满足差的绝对值大于5的情况有4种,分别为(1,8),(1,10),(3,10),(9,2).

则所求概率出/.故选A.

8.答案|

解析由1,2,3组成的三位数有123,132,213,231,312,321,共6个；同理，由

1,2,4组成的三位数有6个，由1,3,4组成的三位数有6个，由2,3,4组成的三位

数有6个,所以样本空间中的样本点共有24个,这24个数出现的可能性是相等

的.由1,2,3和1,3,4组成的三位数为“有缘数”，共12个,所以这个三位数为

“有缘数”的概率为詈;.

242

9.解析(1)根据分层抽样可知,水培、岩棉培、基质培分别抽取的株数为

20,10,10,

'%+5+4+1=20,(x=10,

所以4+3+2+y=10,解得y=1,

、3+z+l+0=10,(z=6.

(2)单株产量在［150,200)内的草莓中,记水培的4株草莓分别为a,b,c,&岩棉培

的2株草莓分别为e,f,基质培的1株草莓为g,

则随机抽取2株草莓的情况有

ab,ac,ad,ae,af,ag,be,bd,be,bf,bg,cd,ce,cf,eg,de,df,dg,ef,eg,•，共21

种，

其中恰有1株草莓采用了岩棉培的情况有ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,eg,fg,共

10种,故所求概率