2023年高平市高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

r2v2

1.已知双曲线C:彳―方=1(4>0力>0)的一条渐近线经过圆E:2X+丁+2%一4)，=0的圆心，则双曲线C的离

心率为()

A.与B.75C.V2D.2

2.复数z=(a2_l)+(q_l)i(awR)为纯虚数，则z=()

A.iB.-2iC.2iD.-i

3.已知a,bGR,3+ai=b—(2a—l)i,则()

A.b=3aB.b=6aC.b=9aD.b=12a

4.已知。£(0,7)，且iana=2,贝！Jcos2a+cosa=()

A275-3R75-3„V5+3D26+3

555'5-

5.设复数2满足(l+i)z=l-7i,贝！)z在复平面内的对应点位于)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X近似服从正态分布N(85,b?),且。(60<X<85)=03.从

中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为()

A.40B.6()C.80D.100

7.直线y=^+l与抛物线C：/=4)，交于4,B两点,直线〃/AB,且/与C相切，切点为P,记ARAB的面积

为5,则的最小值为()

64

D.

27

8.下列函数中，既是奇函数，又是R上的单调函数的是()

A./(x)=ln(|x|+l)B./(x)=x

2X,(x<0)

C-〃"）=｛：优瑞D-〃x）=,。，，=。）

-（£|，（x＞。）

9.如图，正方体ABC。-A中，E,F,G,"分别为棱AA、CC,,B©、4片的中点，则下列各直线

中，不与平面AC2平行的是（）

A.直线EFB,直线G"C.直线EHD.直线A不

10.已知公差不为0的等差数列｛%｝的前〃项的和为S“，%=2,且成等比数列，则58=（）

A.56B.72C.88D.40

11.下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是

（）.

金牌银牌铜牌奖牌

（块）（块）（块）总数

245111228

2516221254

2616221250

2728161559

2832171463

29512128100

3038272388

A.中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势

B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义

C.第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降

D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5

12.一个四面体所有棱长都是4,四个顶点在同一个球上，则球的表面积为()

A.24乃B.8瓜兀C.D.12乃

3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若点N为点M在平面a上的正投影，则记N=£,(M).如图，在棱长为1的正方体A5CO-AgGR中，记平

面A5Q为夕，平面ABCD为点P是线段CG上一动点，0=6[%=%[£(「)].给出下列四个结论:

①。2为△A8Q的重心；

②QQ_L3。；

4

③当CP=W时，PQJI平面夕；

④当三棱锥D,-APB,的体积最大时，三棱锥£>,-APB｝外接球的表面积为2兀.

其中，所有正确结论的序号是.

x>0

14.已知X,y满足约束条件，x+,则z=3x+2)，的最小值为.

2x+y<2

15.设复数二满足z(z+l)=-3+2z•，则7=.

"y2_A_1

16.已知函数/(x)=，—一，一’是偶函数，直线y=，与函数y=/(x)的图象自左向右依次交于四个不同

2x+〃x+c,Xr0

点A,B,C,D.若AB=BC,则实数r的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=|2x-l|+|2x+l|,记不等式/(x)<4的解集为

⑴求M；

(2)设证明：|闻一同一回+1>0.

18.(12分)某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会(即满200元可以抽奖一次，满400

元可以抽奖两次，依次类推).抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的5个完全相同

的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次

大(如1,2,5),则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小(如5,3,1),则获得二等奖，奖金

20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.

(1)某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望；

(2)赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.

19.(12分)已知/(x)=Asin(s:+。)(A>0,0<。<4,解<$)过点(0,g),且当x=£时，函数人幻取得最

大值1.

(1)将函数f(x)的图象向右平移?个单位得到函数g(x),求函数g(x)的表达式；

6

■JT

(2)在(1)的条件下，函数/z(x)=/(x)+g(x)+2cos2x-l,求/z(x)在［0,5］上的值域.

20.(12分)已知等比数列｛6,｝,其公比">1,且满足%+%=12,%和%的等差中项是

(I)求数列｛%｝的通项公式；

n+,

(II)若a=nan,T“是数列也｝的前〃项和，求使Tn-n-2+14=0成立的正整数〃的值.

21.(12分)已知函数/(x)=|x+l|—|4一2x|.

(1)求不等式/(x)(x-l)的解集；

21

(2)若函数的最大值为团，且2。+6=m3>0,。〉0),求一+丁的最小值.

ab

22.(10分)已知。也q+b+c=l,求证：

(1)\j~Cl+y［h+<y/3*

(2)-----------1------------1----------2-

3a+13b+13c4-12

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

求出圆心，代入渐近线方程，找到以的关系，即可求解.

【详解】

解：E(T,2),

22»

0：・一点=1(0>0/>())一条渐近线>=一’工

2=——x(—1),2a=h

c2=a2+b2,c2=a2+(2af,e=-j5

故选：B

【点睛】

利用外人的关系求双曲线的离心率，是基础题.

2.B

【解析】

复数z=(储一1)+(〃—l)j(aeR)为纯虚数，则实部为0,虚部不为0,求出。，即得z.

【详解】

Vz=(a2-l)+(«-l)z(«eR)为纯虚数,

/—I=0

，解得4=—1.

。一1W0

z=-2z.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的分类，属于基础题.

3.C

【解析】

两复数相等，实部与虚部对应相等.

【详解】

由3+ai=匕一(2。一1)，,

3=b

得＜即a=Lb=\.

a-\-2a3

.,.b=9a.

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的概念，属于基础题.

4.B

【解析】

分析：首先利用同角三角函数关系式，结合题中所给的角的范围，求得cosa的值，之后借助于倍角公式，将待求的

式子转化为关于cosa的式子，代入从而求得结果.

详解：根据题中的条件，可得a为锐角，

根据iana=2,可求得cosa=g,

5

而cos2a+cosa=2cos2a+cosa-1=—+------1=------,故选B.

555

点睛：该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对已知真切求余弦的方法

要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解.

5.C

【解析】

化简得到z=-3-4i,得到答案.

【详解】

/、1-7/(1-7z)(l-z)-6-8;

(l+i)z=l-7i,故2=-；—="C/=-^=-3-4i,对应点在第三象限.

\'1+z(l+z)(l-z)2

故选：C.

【点睛】

本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.

6.D

【解析】

由正态分布的性质，根据题意，得到P(XN110)=P(XK60),求出概率，再由题中数据，即可求出结果.

【详解】

由题意，成绩X近似服从正态分布N(85,b?),

则正态分布曲线的对称轴为x=85,

根据正态分布曲线的对称性，求得P(X2110)=P(X<60)=0.5-0.3=0.2,

所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为500x0.2=100人，

故选:£).

【点睛】

本题考查正态分布的图象和性质，考查学生分析问题的能力，难度容易.

7.D

【解析】

设出A,6坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得,再由点到直线的距离公式求得P到A8的距离,

得到ARAB的面积为S,作差后利用导数求最值.

【详解】

设8天,％)，联立得fl履-4=0

则占+々=4%,%+%=%(玉+/)+2=4Z?+2

则=y+%+P=4%2+4

、r21

由jr=4y,得,=：=^>y>=­x

设「(为，%)，则;％=>%=2左，%=公

则点P到直线y=^+l的距离4=病石21

从而S=g|A4d=2(如+1).，炉+1

S-|AB|=2（^2+1）-7F+1-4（Z:2+1）=2J3-4J2（J>1）.

4,/(X)=2X3-4X2=>/'(%)=6X2-8X(X>1)

当时，r(x)<o；当x>g时，r(x)>o

故/⑺min=/[g>一算,即S—的最小值为一等

\J乙I乙/

本题正确选项：D

【点睛】

本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题.解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用

构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.

8.C

【解析】

对选项逐个验证即得答案.

【详解】

对于A,/(—x)=lnQ—x|+l)=ln(W+l)=/(x),.•./(X)是偶函数，故选项A错误；

对于3,/(x)=x-'=i,定义域为{x|x7O},在R上不是单调函数，故选项3错误；

对于C,当x>()时，-x<0,/(—X)=—(-x)+2(—x)=-x?-2x=—(x?+2x)=—/(x)；

当x<0时，-x〉0,x)=(-x)+2(-x)=r-2x=-X?+2x)=-/(x)；

又x=0时，/(-0)=-/(0)=0.

综上，对xwR,都有/(—x)=—“力，,•・/(X)是奇函数.

又无20时，/(X)=X2+2X=(X+1)2—1是开口向上的抛物线，对称轴x=-1,•,・/(x)在[0,+8)上单调递增，

•・"(X)是奇函数，・•・/(x)在R上是单调递增函数，故选项C正确；

对于D,“X)在(—8,0)上单调递增，在((),+e)上单调递增，但1)=(>〃1)=一；，.••/(x)在R上不是单

调函数，故选项。错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的基本性质，属于基础题.

9.C

【解析】

充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据EFIIAC判断A的正误.根据阳//4，，//AC,

判断B的正误.根据"与相交，判断C的正误.根据AB//。。，判断D的正误.

【详解】

在正方体中，因为EF〃4C,所以防//平面AC。，故A正确.

因为"//4G，4G//4C，所以GH//AC,所以G"//平面AC。故B正确.

因为48//DC，所以48//平面AC。，故D正确.

因为EH//C、D,C\D与2。相交，所以E”与平面AC2相交，故C错误.

故选：C

【点睛】

本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题.

10.B

【解析】

d=6的0（%+2d）2=q（q+8"）,将勾=2代入，求得公差d,再利用等差数列的前〃项和公式计算即可.

【详解】

由已知，a；=%的，4=2,故（《+2d>=%（6+8"）,解得d=2或d=O（舍），

故a,=2+（〃一1）x2=2”，§8=8（囚；%）=4（2+2X8）=72.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列的前〃项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.

11.B

【解析】

根据表格和折线统计图逐一判断即可.

【详解】

A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；

B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；

C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；

D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为一^=56.5,不正确；

2

故选：B

【点睛】

此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.

12.A

【解析】

将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可.

【详解】

解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同,

•••四面体所有棱长都是4,

.•.正方体的棱长为2起，

设球的半径为广，

则2r=J（2五）+4?，解得，=振，

所以S=4万，=24乃，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对

角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（D0③

【解析】

①点P在平面ABC。内的正投影为点C,而正方体的体对角线与和它不相交的的面对角线垂直，所以直线垂直于

平面AAR,而为正三角形，可得&为正三角形A4与。的重心，所以①是正确的；

②取耳。的中点E,连接4E,则点P在平面AAA的正投影在上，记为。，而平面ACC|A，QI，Q2C平

面ACG4,所以所以②正确;

4

③若设AEC1CG=用，则由PQJAE可得RtAMACsRtAMPQ,然后对应边成比例，可解CP=—,所以③正确;

④由于%,.”四=%一"四，而澳4。的面积是定值，所以当点P到平面A耳。的距离最大时，三棱锥。-AP用的

体积最大，而当点。与点。重合时，点P到平面的距离最大，此时P-AB|2为棱长为0的正四面体，其外

接球半径R=3,则5球=3%,所以④错误.

2

【详解】

因为力(P)=c,连接C4,则有。1平面A8Q,CAC平面ABQ=。2,CA=CB,=CD「AABR为正三角形，

所以&为正三角形A44。的中心，也是“耳。的重心，所以①正确；

由CA，平面A8Q,可知平面ACGA，平面A6Q,记力(尸)=。，

由BD，AC,8O_LCG，可得3。，平面平面ACGA，则所以②正确；

若P。II平面夕，则PQJIAE,设"=«噫力l),AEcCG=加由Rt△M4CsRt△MPQ得尸。=易得

「t=2

QC=—(2-/),由PQJAE,则NPQ|C=NMAC,由tanNPQC=tanNMAC得，72近,解得

3§2一’)

4

t=CP=-9所以③正确；

M

当月与。重合时，%_v铝=Vp_ABa最大，P-ABQ为棱长为④的正四面体，其外接球半径R=手，则S*3万,

所以④错误.

故答案为：①②③

【点睛】

此题考查立体几何中的垂直、平行关系，求几何体的体积，考查空间想象能力和推理能力，属于难题.

14.2

【解析】

作出可行域，平移基准直线3x+2y=0至!](0,1)处，求得z的最小值.

【详解】

画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线3x+2y=0至!J(O,l)处时，z取得最小值为2.

故答案为：2

本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

15.l-3z.

【解析】

利用复数的运算法则首先可得出z,再根据共扼复数的概念可得结果.

【详解】

•.•复数二满足i(z+l)=-3+2i,

-3+2z

z+1=------=2+3i,z=1+,

z

故而可得W=l-3i，故答案为l—3i.

【点睛】

本题考查了复数的运算法则，共施复数的概念，属于基础题.

16.——

2

【解析】

由/(x)是偶函数可得x>0时恒有/(-%)=/(%),根据该恒等式即可求得a，b，c的值，从而得到/(x),令f=/(x),

可解得A，B,。三点的横坐标，根据A8=3。可列关于/的方程，解出即可.

【详解】

解：因为/(x)是偶函数，所以x〉0时恒有/(—x)=/(x),即2W—法+'=泼—4x—1,

所以(a-2)x2+(b-4)x-c-1=0,

。-2=0

所以1匕-4=0,解得a=2,b=4,c=-l；

c+1=0

2.x~~4x—1,x.0

所以/(x)=〈

2x2+4x-l,x<0

由r=2d+4x-l,BP2x2+4x-l-r=0,解得x=-l±：，2f+6；

2

—

x.=-1—\12t+6,xB=-1+—J2t+6.

由f=2f_4x-l,即2--4%-1—=0,解得x=l±g,2f+6.

=1——J2r+6,x。=14'—J2t+6.

因为AB=BC,所以4-%-即j2f+6=2-J2f+6，解得，=-g，

故答案为：---

2

【点睛】

本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1){x|-l<X<l}；(2)证明见解析

【解析】

(1)利用零点分段法将/(x)表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集

(2)将不等式坐标因式分解，结合(1)的结论证得不等式成立.

【详解】

-4x,x<--

2

(1)解：=<2,—；<尤<；,

4x,x>-

2

由/(x)<4,解得

故M={x|—1<X<1}.

⑵证明：因为所以同<1,网<1,

所以|弱一(向+川)+1=(同一1乂四—1)>0,

所以画一同一网+1>0.

【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.

5049

18.(1)分布见解析，期望为三；(2)-

3216

【解析】

(1)先明确X的可能取值，分别求解其概率，然后写出分布列，利用期望公式可求期望；

(2)获得的奖金恰好为60元，可能是三次二等奖，也可能是一次一等奖，两次三等奖，然后分别求解概率即可.

【详解】

(1)由题意知，随机变量X的可能取值为10,20,40

c31c31

且P(X=40)=.=7,P(X=20)=备二,

/VO/LO

2

所以产(X=10)=l-P(X=40)-P(X=20)=-,

3

即随机变量X的概率分布为

X102040

2£

P

366

所以随机变量X的数学期望E(X)=10X2+20X」+40XL=W.

3663

(2)由题意知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得60元为事件A,

因为60=20x3=40+10+10,

所以P⑷4+C净X"装.

【点睛】

本题主要考查随机变量的分布列及数学期望，明确随机变量的所有取值是求解的第一步，再求解对应的概率，侧重考

查数学建模的核心素养.

19.⑴g(x)=sin(2x-w)；⑵[-1,2].

6

【解析】

试题分析：

⑴由题意可得函数f(x)的解析式为了(X)=切口8+5]，则g(x)=-

⑵整理函数h(x)的解析式可得：〃(x)=2si〃|2x+2)结合函数的定义域可得函数的值域为[—1,2].

试题解析：

(1)由函数f(x)取得最大值1,可得A=l,函数过(。,£|得s山0=解?

、7Z7T7T

f=1n二刃+二=彳+2%肛左wZ,0<69<4,:•(o=2

V6J662

/⑴=5i〃(2x+高，g(x)=/(X—高=sz力(2x_

(2)h^x)=\l3sin2x-¥cos2x=2sin[2x+?),

八不71冗，c71,7万1

x€0,—,—K2xH—<—,——<sinI2x+—|<1,

26662I6

-l<25zn[^2x+^<2,值域为[—1,2].

20.(I)a„=2".(II)n=3.

【解析】

(I)由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得所求通项公式；(口)a=〃%=小2",

由数列的错位相减法求和可得7“，解方程可得所求值.

【详解】

(I)等比数列{4},其公比4>1，且满足。+芋=12,4和火的等差中项是10

2

即有a}q+ayq-12,20=a2+4=qq+qq、'

解得：%=q=2an=2"

(U)由(I)知:bn=nan=n-T

则7；=1・2+2・22+3-23+―+〃-2"

27；,=l-22+2-23+3-24+•••+«-2n+,

22

相减可得：-T23nn+l),+1

=2+2+2+---+2-n-2=v_)_n，2

"1-2

化简可得：<=2+(“一1)2用

7],-n-2B+1+14=0,即为16—2N=0

解得：n=3

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及方程思想和运算能力，属于中档

题.

21.(1)[1,4](2)3

【解析】

x-5,x<