八年级初二数学 平行四边形单元测试及解析

八年级初二数学平行四边形单元测试及解析

一、选择题

1.如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD,小明从顶点A沿着花坛间小路直到走

到长边中点。，再从中点。走到正方形OCDF的中心,再从中心。走到正方形。1GFH

的中点。2,又从中心Q走到正方形。21川的中心。3,再从中心。3走到正方形。3KJP的

中心。4,一共走了310m,则长方形花坛ABCD的周长是（）

A.36mB.48mC.96mD.60m

2.如图，"BCi中，Ag=4,4G=5,B,C,=7.点儿、B］、C2分别是边

4G、AG、44的中点；点A3、4、C3分别是边区G、4G、4鸟的中点;

3.如图，依次连结第一个菱形各边的中点得到一个矩形，再依次连结矩形各边的中点得到

第二个菱形，按此方法继续下去.已知第一个菱形的面积为1，则第4个菱形的面积是

（）

<^l>o=<Q|>Q……

1111

A.-B.—C.—D.--

4163264

4.如图，平行四边形A8CO中，4E平分㈤。，交.BC于点、E，且AB=A£,延长

AB与。E的延长线交于点F,连接AC,CF.下列结论：①八43c=AE4D；

②AA6E是等边三角形；③AD=BF；®S&BEF=S^CD⑤=5以跖中正确的有

C.3个D.4个

5.已知：如图，在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE

于点P.若AE=AP=1,PD=2,下列结论：①EB_LED；②/AEB=135°；③S正方形ABCD=

5+20；④PB=2；其中正确结论的序号是（）

C.①②④D.①②③

6.如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长

）

C.72D.144

7.如图，矩形AB8中，AD=5,AB=7,点E为。C上一个动点，把A4DE沿AE

DE的长为（）

D.|或2

32325

8.如图，矩形ABCD中，。为AC的中点，过点。的直线分别与AB,CD交于点E,F,连

接BF交AC于点M,连接口£,80.若/88=60。产0=5口则下列结论：

①FBJLOC,0M=CM；②△EOB丝Z\CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：0E=3：2.其中

正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

9.将矩形纸片4比》按如图所示的方式折叠，AE,好'为折痕，/胡田30°,AB=6,折

叠后，点C落在段边上的G处，并且点8落在比边上的A处.则成的长为（）

ACiD

A.73B.3C.2D.2百

10.如图，正方形ABCD的边长为2,Q为CD边上（异于C,D）的一个动点，AQ交BD

于点M.过M作MNJ_AQ交BC于点N,作NP_LBD于点P,连接NQ,下面结论：

①AM=MN；②MP=&；③ACNQ的周长为3；④BD+2BP=2BM,其中一定成立的是（）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.①④

二、填空题

11.如图，在△ABC中，NBAC=90°,点D是BC的中点，点E、F分别是直线AB、AC上

的动点，ZEDF=90",M、N分别是EF、AC的中点，连结AM、MN,若AC=6,AB=5,

则AM-MN的最大值为.

12.如图，在矩形ABCD中，/BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,点G

是EF的中点，连接CG,BG,BD,DG,下列结论：①BC=DF；②ZDGR=135°;

325

@BG.LDG；@——AD,则SBDC―SFDC,正确的有.

13.在A6c1中，AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC边上的高.将ABC按如图所示的方

式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF,则。防的周长为.

14.菱形A8CD的周长为24,ZABC=60°,以A8为腰在菱形外作底角为45。的等腰AABE,

连结AC,CE,贝SACE的面积为.

15.如图，已知在aABC中，AB=AC=13,BC=10,点M是AC边上任意一点，连接MB,以

MB、MC为邻边作平行四边形MCNB,连接MN,则MN的最小值是

16.已知：如图，在长方形A8CD中，A3=4，AD=6.延长6c到点E，使

CE=2,连接动点P从点8出发，以每秒2个单位的速度沿3C—CD—D4向终

点A运动，设点P的运动时间为f秒，当f的值为秒时，AA8P和ACCE全等.

17.在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段

AB的中点.点D、E分别在X轴、y轴的负半轴上运动，且DE=AB=10.以DE为边在第

三象限内作正方形DGFE,则线段MG长度的最大值为.

18.如图，矩形ABCO的面积为36,防平分NABD,交AOFE，沿踮将A43石折

叠，点A的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点尸处.则AA8E的面积为.

19.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1,在R5ABC中，ZACB

=90。，若点。是斜边A8的中点，IJIIJCD=-4B,运用：如图2,ZsA8c中，/8AC=90。，

2

48=2,AC=3,点D是BC的中点，将△A8D沿AD翻折得到MED连接8£,CE,DE,则

CE的长为.

20.如图，有一张长方形纸片ABC。，AB=4，4)=3.先将长方形纸片ABC。折

叠，使边AO落在边A3上，点。落在点E处，折痕为AE；再将AAE/沿瓦"翻折，

AF与相交于点G,则FG的长为.

三、解答题

21.在四边形ABCD中，/A=/8=/C=/Z)=90，AB=CD=10,

BC=AD=8.

（l）P为边BC上一点，将A3P沿直线AP翻折至AEP的位置（点B落在点E处）

①如图1,当点E落在CD边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形（不写

作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑）.并直接写出此时。E=；

②如图2,若点P为BC边的中点，连接CE,则CE与AP有何位置关系？请说明理由；

（2）点Q为射线DC上的一个动点，将沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点

。处，则;

22.综合与探究

如图1,在AABC中,ZACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AO,以为一边且在AD

的右侧作正方形ADEr,解答下列问题：

（1）研究发现:如果AB=AC,4区4C=90°

①如图2,当点。在线段BC上时（与点8不重合），线段CF、8。之间的数量关系为

，位置关系为.

②如图3,当点。在线段的延长线上时，①中的结论是否仍成立并说明理由.

（2）拓展发现:如果ABHAC,点D在线段BC上，点F在MBC的外部，则当

ZACB=时,CF，6。.

图1图2图3

23.如图，点A、F、C、。在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且A8=DE,

Z4=ZD,AF=DC.

（1）求证：四边形8CEF是平行四边形；

（2）若/DEF=90°,DE=8,EF=6,当AF为时，四边形8CEF是菱形.

E

24.已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转々（0°<«<90°）,得到

线段CE,联结BE、CE、DE.过点B作BF,DE交线段DE的延长线于F.

（1）如图，当BE=CE时，求旋转角a的度数；

（2）当旋转角a的大小发生变化时，NB防的度数是否发生变化?如果变化，请用含a的

代数式表示；如果不变，请求出N8防的度数；

25.在平面直角坐标中，四边形OCNM为矩形，如图1,M点坐标为（m,0）,C点坐标

（2）①如图1,P,Q分别为OM,MN上一点，若NPCQ=45。，求证：PQ=OP+NQ；

②如图2,S,G,R,H分别为OC,OM,MN,NC上一点，SR,HG交于点D.若/SDG=

135°,HG=%叵，则RS=:

2

（3）如图3,在矩形OABC中，OA=5,OC=3,点F在边BC上且OF=OA,连接AF,动

点P在线段OF是（动点P与0,F不重合），动点Q在线段0A的延长线上，且AQ=

FP,连接PQ交AF于点N,作PM_LAF于M.试问：当P,Q在移动过程中，线段MN的

长度是否发生变化？若不变求出线段MN的长度；若变化，请说明理由.

26.如图，点A的坐标为（-6,6）,A8_Lx轴，垂足为B,AC_Ly轴，垂足为C,点

2E分别是射线B。、0C上的动点，且点。不与点6、。重合，ZDAE=45°.

（图1）（图2）

（1）如图1,当点。在线段8。上时，求ADOE的周长；

（2）如图2,当点。在线段8。的延长线上时，设AADE的面积为耳，ADOE的面积为

S1,请猜想5与，之间的等量关系，并证明你的猜想.

27.如图，A3CZ）中，Z4BC=60°,连结80，E是BC边上一点,连结AE交8。

于点F.

（1）如图1,连结AC，若AB=AE=6,BC:CE=5:2,求△ACE的面积；

（2）如图2,延长AE至点G,连结AG、DG,点H在BD上,且BF=DH,

AF^AH，过A作AM_LQG于点M.若/486+/包6=180°,求证：

BG+GD=6AG.

28.阅读下列材料，并解决问题：

如图1,在RtMBC中，ZC=90°,AC=8,8C=6,点。为AC边上的动点（不与

An

A、。重合），以AO，BO为边构造ADBE，求对角线OE的最小值及此时——的值

AC

在解决这个问题时，小红画出了一个以AO，BO为边的ADBE（如图2）,设平行四

边形对角线的交点为。，则有AO=BO.于是得出当QDLAC时，最短，此时

取最小值，得出。E的最小值为6.

A

图2

参考小红的做法，解决以下问题:

An

(1)继续完成阅读材料中的问题：当OE的长度最小时，——=；

AC

(2)如图3,延长到点尸，使A尸=以。/，为边作FDBE，求对角线

An

的最小值及此时的值.

AC

图3备用由

29.如图，在长方形ABCD中，A8=CD=6cm,8c=10cm,点P从点B出发，以2cm/秒的

速度沿8c向点C运动，设点P的运动时间为t秒：

(1)PC=cm.(用t的代数式表示)

(2)当t为何值时，AABP注ADCP?

(3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点。运

动，是否存在这样v的值，使得AABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存

在，请说明理由.

(1)若c=l,AF1DE.

①如图1,求证:AE=BF；

②如图2,点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H,若AH=AD,求证：AE+BG

=AG；

CF

（2）如图3,若E为4B的中点，NADE=NEDF.则——的值是（结果用

BF

含”的式子表示）.

【参考答案】***试卷处理标记，请不耍删除

一、选择题

1.C

解析：c

【解析】

设正方形03KJP的边长为a,根据正方形的性质知：O3O4=XVa,

2

正方形的边长为。2。3=0

O2IHJ2a,a,

正方形OiGFH的边长为4a,01。2=20a,

正方形OCDF的边长为8a,OOi=40a,

AO=2OOi=85/2am,

—a+V2a+2正a+4正a+80a=31正,

2

解得：a=2m,

FD=8a=16m,

长方形花坛ABCD的周长是2x（2FD+CD）=6FD=96m,

故选C.

【点睛】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线与边长的关系，正方形的

中心到顶点的距离等于到边的距离的血倍，熟记性质是解题的关键.

2.A

解析：A

【分析】

根据三角形的中位线可得，B2c2,A2B2,A2c2分别等于一BiCi,—AiBi,—AiCi,所以

222

△A2B2c2的周长等于△A1B1C1周长的一半.进而推出第n个三角形的周长

【详解】

解：A旦=4,A£=5,B[G=7,

A1B1C1的周长是16,

•.•点A?、层、分别是边用G、4G、4国的中点，

；.B2c2,A2B2,A2c2分别等于7B1C1,—AiBi,—AiCi,

222

以此类推，贝必A4B4c4的周长是』X16=2,

23

24

的周长是--,

...△A.B„G,2『i

24

...当n=2019时,第2019个三角形的周长是=氤

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了三角形的中位线，解题的关键是找出题目的规律.

3.D

解析：D

【分析】

易得第二个菱形的面积为（！）2,第三个菱形的面积为（L）3依此类推，第n个菱形

22

的面积为（L）2n-2,把n=4代入即可.

2

【详解】

解：已知第一个菱形的面积为1;

则第二个菱形的面积为原来的（L）2,

2

第三个菱形的面积为（！）3

2

依此类推，第n个菱形的面积为（-）2储，

2

当n=4时，

则第4个菱形的面积为（L2X4-2=（1）6=±.

2264

故选：D.

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在

中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变

化的.

4.C

解析：C

【分析】

由平行四边形的性质得出AD〃BC,AD=BC,由AE平分NBAD,可得NBAE=NDAE,可得

ZBAE=ZBEA,得AB=BE,由AB=AE,得到4ABE是等边三角形，②正确；则

NABE=NEAD=60°,由SAS证明△ABC之4EAD,①正确；由aFCD与4ABD等底

（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等）,得出SAFCO=SAABD,由^AEC与△□£（：同底等

高，所以SAAEC=SADEC,得出SAABE=SACEF,⑤正确.

【详解】

解：•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,AD=BC,

，/EAD=/AEB,

又：AE平分NBAD,

AZBAE=ZDAE,

NBAE=NBEA,

；.AB=BE,

：AB=AE,

/.△ABE是等边三角形；

②正确；

，NABE=NEAD=60°,

：AB=AE,BC=AD,

在4ABC和AEAD中，

"AB=AE

<NABE=NEAD,

BC=AD

.•.△ABC^AEAD（SAS）；

①正确；

VAFCD与4ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），

•'•SAFCD=SAABC>

又•.•△AEC与ADEC同底等高，

•'•SAAEC=SADEC»

•"•SAABE=SACEF;

⑤正确；

若AD与AF相等，即NAFD=NADF=/DEC,

即EC=CD=BE,

即BC=2CD,

题中未限定这一条件，

③④不一定正确；

故选C.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质.此

题比较复杂，注意将每个问题仔细分析.

5.D

解析：D

【分析】

先证明△APDgZ\AEB得出BE=PD,/APD=/AEB,由等腰直角三角形的性质得出NAPE

=/AEP=45。，得出NAPD=/AEB=135。，②正确；得出NPEB=NAEB-NAEP=90。，

EB±ED,①正确；作BF_LAE交AE延长线于点F,证出EF=BF=0,得出AF=AE+EF=

1+V2，由勾股定理得出AB=RAF。+BF?=>/5+2A/2，得出S正方形ABCD=AB2=

5+2五,③正确；EP=0AE=0,由勾股定理得出BP=不BE?+EP?=#>，④错

误；即可得出结论.

【详解】

解：VZEAB+ZBAP=90°,ZPAD+ZBAP=90°,

，/EAB=NPAD,

AP=AE

在4APD和4AEB中，<ZPAD=ZEAB,

AD=AB

.".△APD^AAEB(SAS),

；.BE=PD,/APD=NAEB,

：AE=AP,/EAP=90°,

.,.ZAPE=ZAEP=45°,

.,.ZAPD=135°,

.,•ZAEB=135°,②正确；

AZPEB=ZAEB-ZAEP=135°-45°=90°,

AEB±ED,①正确；

作BF_LAE交AE延长线于点F,如图所示：

VZAEB=135°,

/EFB=45。，

；.EF=BF,

VBE=PD=2,

.\EF=BF=V2)

.•.AF=AE+EF=1+V^,

AB=yjAF2+BF2=7(1+V2)2+(A/2)2=J5+2V2,

S正方形ABCD=AB2=(,5+2应)2=5+20，③正确；

EP=V2AE=V2>

22

BP=>JBE2+EP2=72+(V2)=底，④错误;

【点睛】

本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角

形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关

键.

6.C

解析：c

【分析】

根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC_LBD,AO=OC,EO=OF,再求出BO=OD,证明

四边形ABCD是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长AE,根据菱形的对角线互相平分

求出0E,然后利用勾股定理列式求出A0,再求出AC,最后根据四边形的面积等于对角线

乘积的一半列式计算即可得解.

【详解】

.\AC±BD,AO=OC,EO=OF,

又•••点E、F为线段BD的两个三等分点，

；.BE=FD,

.\BO=OD,

VAO=OC,

二四边形ABCD为平行四边形，

VAC1BD,

...四边形ABCD为菱形；

•.•四边形AECF为菱形，且周长为20,

；.AE=5,

；BD=24,点E、F为线段BD的两个三等分点,

1I

；.EF=8,OE=-EF=-x8=4,

22

由勾股定理得，A0=7A£2-OE2-y]52-42=3，

AC=2A0=2x3=6,

.11…

・・S四边形ABCD=-BD・AC=—x24x6=72；

22

故选：c.

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理

以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键.

7.B

解析：B

【分析】

连接BD，，过D，作MN_LAB,交AB于点M,CD于点N,作D，P_LBC交BC于点P,先

利用勾股定理求出MD\再分两种情况利用勾股定理求出DE.

【详解】

如图，连接BD',过。作交AB于点M,CD于点N,作DPLBC交BC于点P

•••点D的对应点D落在NABC的角平分线上，

：.MD'=PD',

设，则PD'=BM=x,

：.AM=AB-BM=7-x,

又折叠图形可得4D=A〃=5,

x2+(7-x)2=25,解得43或4,

即MD'=3或4.

在RdEND'中，设ED'=a,

①当MD'=3时,AM=7-3=4Q'N=5-3=2,EN=4-a,

a2=22+(4-a)2，

解得即£>E=2,

22

②当MD'=4时,AM=7-4=3,£W=5-4=1,EN=3-a,

a2-\2+(3~a)2,

解得a=—，即DE=—.

33

故选B.

【点睛】

本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理与折叠问题.解

决本题的关键是依据题意分别表示Rt^AMD'和心△EN。的三边，利用勾股定理解直角三

角形.

8.C

解析：C

【解析】

连接BD,

•.•四边形ABCD是矩形，

AC=BD,AC、BD互相平分，

。为AC中点，

BD也过。点，

OB=OC,

1.,ZCOB=60",OB=OC,

△OBC是等边三角形，

OB=BC=OC,ZOBC=60°,

FO=FC

在△OBF与4CBF中，,8尸=B尸,

OB=BC

R.A(DBF空△CBF(SSS),

:・&OBF与4CBF关于直线BF对称,

FB±OC,OM=CM；

...①正确，

ZOBC=60°,

ZABO=30",

1.,△OBF^△CBF,

ZOBM=ZCBM=30°,

ZABO=ZOBF,

•••ABHCD,

ZOCF=ZOAE,

---OA=OC,

易证AAOE2△COF,

OE=OF,

OB±EF,

...四边形EBFD是菱形,

...③正确,

△EOB合△FOB空△FCB,

/.△EOB2△CMB错误.

...②错误，

•••ZOMB=ZBOF=90",ZOBF=30",

OMQM

MB=i0F=^/3,

T~2

1■•OE=OF,

MB：0E=3:2,

•••④正确；

故选C.

点睛：本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角

形的判定和性质以及三角函数等的知识，会综合运用这些知识点解决问题是解题的关键.

9.B

解析：B

【解析】

试题分析：由三角函数易得BE,AE长，根据翻折和对边平行可得AAECi和AC£Q为等边三

角形，那么就得到EC长，相加即可.

解：连接CCi.

在RtMBE中,/加£=30。/8=6，

BE=ABxtan30°=l,AE=2,Z4£Bi=/AEB=60°,

•.•四边形A8CD是矩形

C.AD//BC,

，NGAE=NAEB=60°,

/.A/AECI为等边三角形，

同理ACGE也为等边三角形，

：.EC=ECi=AE=2,

：.BC=BE+EC=3,

故选B.

10.C

解析：c

【分析】

连接AC交BD于。，作MEJ_AB于E,MF1.BC于F,延长CB到H,使得BH=DQ.

①正确.只要证明△AMEgZXNMF即可；

②正确.只要证明△AOM也△MPN即可；

③错误.只要证明NADQ丝ZiABH,由此推出aANQ丝△ANH即可；

④正确.只要证明AAME空△NMF,证得四边形EMFB是正方形即可解决问题；

【详解】

连接AC交BD于。，作ME_LAB于E,MF_LBC于F,延长CB到H,使得BH=DQ.

•.•四边形ABCD是正方形，

AACIBD,AC=V5AD=2拒，OA=OC=72>ZDBA=ZDBC=45°,

；.ME=MF,

ZMEB=ZMFB=ZEBF=90°,

...四边形EMFB是矩形，

；ME=MF,

四边形EMFB是正方形，

.".ZEMF=ZAMN=90°,

.".ZAME=ZNMF,

VZAEM=ZMFN=90°,

/.△AME^ANMF(ASA),

；.AM=MN,故①正确；

VZOAM+ZAMO=90°,NAMO+/NMP=90°,

，NAMO=/MNP,

•/ZAOM=ZNPM=90o,

.♦.△AOM四△MPN(AAS),

.\PM=0A=V2>故②正确；

：DQ=BH,AD=AB,NADQ=NABH=90°,

AZADQ^AABH(SAS),

；.AQ=AH,ZQAD=ZBAH,

NBAH+NBAQ=/DAQ+NBAQ=90°,

：AM=MN,/AMN=90°,

/MAN=45°,

AZNAQ=ZNAH=45°,

/.△ANQ^AANH(SAS),

?.NQ=NH=BN+BH=BN+DQ,

.,.△CNQ的周长=CN+CQ+BN+DQ=4,故③错误;

:BD+2BP=2BO+2BP=2AO+2BP=2PM+2BP,

；.BD+2BP=2BM,故④正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

二、填空题

【分析】

连接DM,直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM,利用两边之差小于第三边得到

AM-MN<DN,又根据三角形中位线的性质即可求解.

【详解】

连接DM,如下图所示，

,/NBAC=NEDF=90。

又为EF中点

，AM=DM」EF

2

AM-MN=DM-MN<DN（当D、M、N共线时，等号成立）

：D、N分别为BC、AC的中点，即DN是AABC的中位线

15

，DN=-AB=-

22

AM—MN的最大值为二

2

故答案为!■.

2

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM的取

值范围.

12.①③④

【分析】

由矩形的性质可得AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AC=BD,由角平分

线的性质和余角的性质可得NF=/FAD=45。，可得AD=DF=BC,可判断①；通过证明

△DCG^ABEG,可得/BGE=/DGC,BG=DG,即可判断②③；过点G作GHJ_CD于H,设

AD=4X=DF,AB=3X,由勾股定理可求BD=5X,由等腰直角三角形的性质可得

HG=CH=FH=^X,DG=GB=X1X,由三角形面积公式可求解，可判断④.

22

【详解】

解：：四边形ABCD是矩形，

；.AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AC=BD,

VAE平分/BAD,

；./BAE=NDAE=45°,

ZF=ZFAD,

，AD=DF,

，BC=DF,故①正确；

VZEAB=ZBEA=45O,

；.AB=BE=CD,

VZCEF=ZAEB=45°,ZECF=90°,

•••△CEF是等腰直角三角形，

•.•点G为EF的中点，

.,.CG=EG,ZFCG=45°,CG±AG,

.••ZBEG=ZDCG=135°,

在ADCG和aBEG中，

BE=CD

</BEG=NDCG,

CG=EG

.".△DCG^ABEG(SAS).

AZBGE=ZDGC,BG=DG,

VZBGE<ZAEB,

.,.ZDGC=ZBGE<45",

：/CGF=90。，

.••ZDGF<135°,故②错误；

VZBGE=ZDGC,

ZBGE+ZDGA=ZDGC+ZDGA,

NCGA=/DGB=90。，

ABG1DG,故③正确；

过点G作GHXCD于H,

.•.设AD=4x=DF,AB=3x,

CF=CE=x,BD=y/AB2+AD2=5x,

•.,△CFG,AGBD是等腰直角三角形，

；.HG=CH=FH」x,DG=GB=^lx,

22

1i25

SADGF=—XDFXHG=X2,S,ABDG=—DGxGB=—x2,

224

25

SBDC=SFDG,故④正确；

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练

掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键.

13.15.5

【分析】

先根据折叠的性质可得AE=0E,NE4£>=N£：ZM,再根据垂直的定义、直角三角形的性

质可得NB=NBDE,又根据等腰三角形的性质可得=DE,从而可得

DE=AE=BE=6,同理可得出OF=AF=C¥=5,然后根据三角形中位线定理可得

EF^-BC^4.5,最后根据三角形的周长公式即可得.

2

【详解】

由折叠的性质得：AE=DE,ZEAD=ZEDA

AD是BC边上的高，即ADJ_BC

.-.Z5+ZEAD=90°,ZBDE+NEDA=90°

:./B=NBDE

：.BE=DE

:.DE=AE=BEAB=-x\2^6

22

同理可得：DF=AF^CF=-AC=-x10^5

22

又AE=BE,AF=CF

二点E是AB的中点，点F是AC的中点

:.EF是ABC的中位线

.•.EF」5C」X9=4.5

22

则DEF的周长为OE++EE=6+5+4.5=15.5

故答案为：15.5.

【点睛】

本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知

识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE=DE是解题关键.

14.9^9(73+1).

【分析】

分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可.

【详解】

解：①如图1,延长EA交DC于点F,

:菱形ABCD的周长为24,

.\AB=BC=6,

VZABC=60",

...三角形ABC是等边三角形，

/BAC=60°,

当EAJ_BA时，AABE是等腰直角三角形，

；.AE=AB=AC=6,ZEAC=90o+60o=150°,

/FAC=3O°,

•.•/ACD=60°,

NAFC=90。，

.\CF=—AC=3,

2

则AACE的面积为：—AExCF=—x6x3=9；

22

图2

②如图2,过点A作AF_LEC于点F,

由①可知：ZEBC=NEBA+NABC=90°+60°=150。,

VAB=BE=BC=6,

AZBEC=ZBCE=15°,

/AEF=45°-15°=30°,ZACE=60o-15°=45°,

.,.AF=—AE,AF=CF=—AC=3J?>

22

VAB=BE=6,

；.AE=6及，

•*-EF=VA£2-AF2=3A/6-

.••EC=EF+FC=3#+30

则AACE的面积为：—ECxAF=-X(376+3V2)X3V2=9(73+1).

22

故答案为：9或9(省+1).

【点睛】

本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键

是掌握菱形的性质.

【分析】

设MN与8C交于点。，连接A。，过点。作。于“点，根据等腰三角形的性质和勾

股定理可求A。和0H长，若最小，则M。最小即可，而。点到AC的最短距离为0H

长，所以最小值是20H.

【详解】

解：设与8c交于点。，连接A。，过点。作。于"点，

"/四边形MCNB是平行四边形，

二。为BC中点，MN=2M0.

'：AB=AC=13,BC=10,

：.A01BC.

在RtZXAOC中，利用勾股定理可得

AO=AC1-CO'=J132-52=12.

利用面积法：A0XC0=ACX0H,

即12X5=13XOH,解得0H=K.

13

当M0最小时，则MN就最小，。点到AC的最短距离为0H长,

所以当M点与，点重合时，M。最小值为。”长是一.

13

120

所以此时MN最小值为2OH=——.

13

心济心“120

故答案为：.

13

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的

关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静.

16.1或7.

【分析】

存在2种情况满足条件，一种是点P在BC上，只需要BP=CE即可得全等；另一种是点P

在AD上，只需要AP=CE即可得全等

【详解】

设点P的运动时间为f秒，

当点尸在线段6c上时，则BP=2/,

•.•四边形ABCD为长方形，

二AB=CD,NB=NDCE=90。,

此时有AABgADCE,

：.BP=CE,即2/=2,解得f=l；

当点P在线段4)上时，则BC+CZ)+Z)P=2r,

VAB=4,AD=6,

BC=6，CD--4.

/.AP=(BC+CD+DA)-(BC+CD+DP)^6+4+6-2f=16-2f,

AP=16-2t,

此时有AABP会ACOE,

/.AP=CE,即16—2r=2,解得f=7；

综上可知当，为1秒或7秒时，A43P和ACDE全等.

故答案为：1或7.

【点睛】

本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到

一条直角边相等即可

17.10+575

【分析】

取DE的中点N,连结。N、NG、0M.根据勾股定理可得NG=5行.在点M与G之间总

有MGWMO+ON+NG(如图1),M、0、N、G四点共线，此时等号成立(如图2).可得

线段MG的最大值.

【详解】

如图1,取DE的中点N,连结ON、NG、OM.

1

.\OM=-AB=5.

2

同理0N=5.

;正方形DGFE,N为DE中点,DE=1O,

7VG=VDA^2+DG2=V102+52=575•

在点M与G之间总有MGWMO+ON+NG（如图1）,

如图2,由于/DNG的大小为定值，只要/DON=L/DNG,且M、N关于点0中心对称时,

2

M、0、N、G四点共线，此时等号成立，

线段MG取最大值10+575.

故答案为：10+5店.

【点睛】

此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、。、N、G四点

共线，则线段MG长度的最大是解题关键.

18.6

【分析】

先证明△AEB合△FEB空△DEF,从而可知SAABE=gS^AB,即可求得△ABE的面积.

【详解】

解：由折叠的性质可知：AAEB2AFEB

/.ZEFB=ZEAB=90°

•••ABCD为矩形

DF=FB

•••EF垂直平分DB

ED=EB

在ADEF和小BEF中

DF=BFEF=EFED=EB

，△DEF"△BEF

△AEB合△FEB合△DEF

^&AEB=S^EB=S^EF=S矩形A8co=义36=6.

故答案为6.

【点睛】

本题主要考查的是折叠的性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质和判定、全等三角形

的判定和性质，证得4AEB之△FEB^^DEF是解题的关键.

19.巫

13

【分析】

根据』-8GAH=L・AB・AC,可得A”=9叵，根据得。8=

221322

小叵，再根据BE=2O8=呸叵，运用勾股定理可得EC.

1313

【详解】

设BE交A。于0,作AH_LBC于H.

在R"8C中，/8AC=90°,A8=2,AC=3,

由勾股定理得：8C=JI5，

•.•点D是BC的中点，

而

：.AD=DC=DB=y-—,

2

11

--BC・AH=-»AB»AC,

22

…一6岳

13

'：AE=AB,DE=DB,

.•.点A在8E的垂直平分线上，点D在BE的垂直平分线上，

：.AD垂直平分线段BE,

I1

-AD»B0=-BD*AH,

22

.・.0B=——,

13

.一…12g

13

\9DE=DB=CD,

AZDBE=ZDEB,ZDEC=ZDCE,

/.ZDEB+ZDEC=-X18O°=90°,即：ZBEC=90°,

2

•••在RtABCE中,EC=^BC2-BE2=J(加了一(1^1)2=^5.

故答案为：生叵.

本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的

中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键.

20.72

【解析】

【分析】

根据折叠的性质可得NDAF=/BAF=45。，再由矩形性质可得FC=ED=1,然后由勾股定理求出

FG即可.

【详解】

由折叠的性质可知，ZDAF=ZBAF=45°,

，AE=AD=3,EB=AB-AD=1,

:四边形EFCB为矩形,

FC=BE=1,

：AB〃FC,

AZGFC=ZDAF=45",

；.GC=FC=1,

FG=^GC-+FC2=VT+T=V2>

故答案为：立.

【点睛】

本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置

变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键.

三、解答题

21.(1)①6；②结论：EC//PA；(2)为4和16.

【分析】

(1)①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E,作ZEAB的平分线交BC于点

P,点P即为所求•理由勾股定理可得DE.

②如图2中，结论：EC//PA.只要证明PA_LBE，EC_LBE即可解决问题.

(2)分两种情形分别求解即可解决问题.

【详解】

解：(1)①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E,作NE45的平分线交BC于

点P,点P即为所求.

AE=AB=10,A£>=8,

:.DE=y/AE2-AD2=V102-82=6,

故答案为6.

②如图2中，结论：EC