空间几何体的表面积与体积检测题与详解答案

空间几何体的表面积与体积检测题与详解答案1．(2019·深圳摸底)过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比值为()A.eq\f(9,32) B.eq\f(9,16)C.eq\f(3,8) D.eq\f(3,16)解析：选A由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为r，则22＝12＋r2，所以r2＝3，所以所得截面的面积与球的体积的比值为eq\f(π×3,\f(4,3)π×23)＝eq\f(9,32)，故选A.2．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为()A．4 B．8C．16 D．20解析：选B由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为6，高为2的三角形，三棱锥的高为4，所以体积为V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×2×4＝8.故选B.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛解析：选B设米堆的底面半径为r尺，则eq\f(π,2)r＝8，所以r＝eq\f(16,π)，所以米堆的体积为V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)π×r2×5＝eq\f(π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,π)))2×5≈eq\f(320,9)(立方尺)．故堆放的米约有eq\f(320,9)÷1.62≈22(斛)．4．(2018·贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1cm的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．35cm3 B．40cm3C．70cm3 D．75cm3解析：选A结合题中三视图可得，该几何体是个组合体，该组合体从下到上依次为长、宽、高分别为5cm,5cm,1cm的长方体，长、宽、高分别为3cm,3cm,1cm的长方体，棱长为1cm的正方体，故该组合体的体积V＝5×5×1＋3×3×1＋1×1×1＝35(cm3)．故选A.5．(2019·安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)解析：选C法一：该几何体的直观图为四棱锥S­ABCD，如图，SD⊥平面ABCD，且SD＝1，四边形ABCD是平行四边形，且AB＝DC＝1，连接BD，由题意知BD⊥DC，BD⊥AB，且BD＝1，所以S四边形ABCD＝1，所以VS­ABCD＝eq\f(1,3)S四边形ABCD·SD＝eq\f(1,3)，故选C.法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以V＝eq\f(1,3)Sh，其中S指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知S＝1，h指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h＝1，所以V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)，故选C.6．(2019·重庆调研)某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为()A．eq\f(8\r(3)π,3)＋eq\f(8\r(3),3) B．eq\f(4\r(3)π,3)＋eq\f(8\r(3),3)C．eq\f(4\r(3)π,3)＋eq\f(4\r(3),3) D．eq\f(8\r(3)π,3)＋eq\f(4\r(3),3)解析：选B由三视图知，该组合体是由一个半圆锥与一个三棱锥组合而成的，其中圆锥的底面半径为2、高为eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，三棱锥的底面是斜边为4、高为2的等腰直角三角形，三棱锥的高为2eq\r(3)，所以该组合体的体积V＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)π×22×2eq\r(3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×2×2eq\r(3)＝eq\f(4\r(3)π,3)＋eq\f(8\r(3),3)，故选B.7．(2019·湖北八校联考)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为()A．16＋12π B．32＋12πC．24＋12π D．32＋20π解析：选A由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为eq\r(2)，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为2eq\r(2)，该几何体的表面积S＝eq\f(1,2)×4π×22＋π×22＋2eq\r(2)×eq\r(2)×4＝12π＋16，故选A.8．(2019·福州质检)已知正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面积为eq\f(3\r(3),4)，一个侧面的周长为6eq\r(3)，则正三棱柱ABC­A1B1C1外接球的表面积为()A．4π B．8πC．16π D．32π解析：选C如图所示，设底面边长为a，则底面面积为eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(3\r(3),4)，所以a＝eq\r(3).又一个侧面的周长为6eq\r(3)，所以AA1＝2eq\r(3).设E，D分别为上、下底面的中心，连接DE，设DE的中点为O，则点O即为正三棱柱ABC­A1B1C1的外接球的球心，连接OA1，A1E，则OE＝eq\r(3)，A1E＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)＝1.在直角三角形OEA1中，OA1＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，即外接球的半径R＝2，所以外接球的表面积S＝4πR2＝16π，故选C.9．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为eq\r(3).设该正方体外接球的半径为R，则2R＝3，R＝eq\f(3,2)，所以这个球的体积为eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×eq\f(27,8)＝eq\f(9π,2).答案：eq\f(9π,2)10．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V＝eq\f(1＋2×1,2)×1＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)11．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为eq\f(2π,3)的扇形，则该圆锥的高为________．解析：设圆锥底面半径是r，母线长为l，所以πr2＋πrl＝π，即r2＋rl＝1，根据圆心角公式eq\f(2π,3)＝eq\f(2πr,l)，即l＝3r，所以解得r＝eq\f(1,2)，l＝eq\f(3,2)，那么高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)12．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．解析：如图，连接AO，OB，∵SC为球O的直径，∴点O为SC的中点，∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，BO⊥SC，∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，∴AO⊥平面SCB，设球O的半径为R，则OA＝OB＝R，SC＝2R.∴VS­ABC＝VA­SBC＝eq\f(1,3)×S△SBC×AO＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×SC×OB))×AO，即9＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2R×R))×R，解得R＝3，∴球O的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.答案：36π13.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：(1)该几何体的体积；(2)截面ABC的面积．解：(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，则该几何体的体积V＝VA1B1C1­A2B2C＋VC­ABB2A2＝eq\f(1,2)×2×2×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×2×2＝6.(2)在△ABC中，AB＝eq\r(22＋4－32)＝eq\r(5)，BC＝eq\r(22＋3－22)＝eq\r(5)，AC＝eq\r(2\r(2)2＋4－22)＝2eq\r(3).则S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(\r(5)2－\r(3)2)＝eq\r(6).14.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E­ACD的体积eq\f(\r(6),3)，求该三棱锥E­ACD的侧面积．解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC.因为BD∩BE＝B，BD⊂平面BED，BE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq\f(x,2).因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝eq\f(\r(3),2)x.由BE