地震波运动学地震波传播理论和概念及地震信号的频谱分析(几何地震学)课件

第二章地震波运动学理论

地震波传播理论和概念2地震波传播理论和概念主要内容振动与波的一般概念地震波的产生和传播地震波的波动理论地震波的类型和特征地震波的传播规律3什么是波？波（wave）就是振动在介质中的传播。地震波传播理论和概念4地震波传播理论和概念5地震波传播理论和概念地震勘探是研究波在地下介质传播规律的一种方法。有波的传播就有振动，有振动不一定就有波，振动在介质中的传播，振动与波构成了地震勘探的基础。从振动给出振幅、频率、周期概念，由波动引出波长、波数等常用的物理名词。振动与力都有一个承受物—弹性介质。在弹性介质中传播的波称弹性波，与电磁波一样弹性波也具有运动学和动力学特征。波在有限介质和界面上传播特性。6地震波运动学（Kinematicsofseismicwave)研究波前的空间位置与其传播时间的关系，即研究波的传播规律。

与几何光学的一些原理相似，用波前射线等几何图形描述波的运动（传播）过程和规律。所以也称为几何地震学。波的运动学地震波传播理论和概念7波的动力学研究介质中质点振动与力的关系，地震波动力学是从介质运动的基本方程

波动方程出发来研究地震波的传播特点的。从能量的角度来研究波的特征，如波的振幅、波形和吸收。本章主要内容为有关地震波传播的基本概念和一些基本理论。它们是地震勘探最基础的内容。地震波传播理论和概念8振动与波的一般概念1、振动振动－－某质点在其平衡位置附近做来回往返的运动。通常以周期性为其特征，用振幅、频率来描述。振幅（A）--质点离开平衡点的距离(位移)；频率（f）—每秒钟内振动的次数称频率，周期（T）—质点从某位置振动后再回到该位置所需的时间称周期，与频率互为倒数。f＝1/T地震波传播理论和概念9波动波动－－就是振动在介质中的传播，振动是波动的源。介质内某质点的振动，通过介质质点的相互作用传递相邻质点的振动，如此传递下去就形成了波动。注意：波动仅是质点振动能量的传播，质点本身只在其附近位置振动。质点振动的传播，是能量的传播。波动是能量传播的重要方式之一。特点：当能量在介质中通过波动从一个地方传到另一个地方时，介质本身并不传播。问题：振动与波动的区别？地震波传播理论和概念10质点振动速度－－质点在其附近位置振动的速度。波速－－质点振动能量传播的速度。质点振动速度与波动的传播速度不同，其振动方向与传播方向也不一定相同波是在介质内部或表面传播的一种振动，也就是介质中质点振动的传播过程。它不包括介质本身的纯运动。波动也以周期性为其特征。用波振幅、波长、频率及速度等几个参数来描述。波动的参数描述地震波传播理论和概念11波振幅（A）--质点离开平衡点的距离(位移)。波长（λ）—在单频波中两个相邻周期(T)上各相似点的距离(注意：应在垂直于波前的方向上对它们测定)。频率（f）—每秒钟内波振动的次数。波的传播速度（V）每秒钟波前进的距离,

与波长、频率和周期的关系为：

V=λf=λ/T

或λ=V/f

波动的参数描述地震波传播理论和概念12必须强调，质点的振动和波动的关系就是部分和整体的关系。

波动是一种不断变化、不断推移的运动过程，而不是任何固定的、僵化的东西。介质中有无数个质点，在波的传播过程中，每个质点都会或早或晚地受到牵动而振动起来。单独考虑每一个点，它的运动只是在平衡位置附近进行振动。把介质中的无限多个点当作一个整体来看，它的运动就是波动。波动的参数描述地震波传播理论和概念13简谐波(正弦波)波随时间的变化，一种最简单的形式是简谐波(正弦波)，用正弦的形式表示：

U(x)=Asin(ωt+φ)A-振幅，ω=2πf为圆频率，φ-初相位。简谐波为单频波，是一种理想的振动，但在理论分析上有十分重要的意义。大多数形式较复杂的波，可以用简谐波的叠加来表示，方法是付氏(频谱)分析。地震波传播理论和概念14简谐波的表示形式简谐波既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示，常见：

y=Acosω(t-x/u)

U(x)=Acos[(2π/λ)(x-Vt)]=Acosk(x-Vt)=Acos(kx-ωt)k=2π/λ波数

ω=2πf圆频率地震波传播理论和概念15波的干涉两列波叠合在一起会发生相互干涉，出现两种现象：加强和相消。形成一个新的波。具有相同振幅和频率时，形成同类型的波。具有不同振幅和频率时，形成复杂波。对波的振幅、频率、相位等分析，用付立叶分析方法地震波传播理论和概念16波谱的概念所有复杂的波动都可由不同频率、振幅和不同初相位的简谐波合成。频谱

一个复杂的波动信号可以看成由许多简谐分量叠加而成要，这些简谐分量及各自的振幅、频率和相位，就称这复杂波动的频谱。脉冲波地震波传播理论和概念17地震波的产生和传播地震波一种在地层中传播的，频率较低(与天然地震的频率相近)的波，是弹性波在岩层中传播的一种通俗说法。地震波由一个震源激发。波的特征：振动和传播，形象表示为波动。波动只是质点振动能量的传播，质点本身仅在其附近位置振动。质点振动有速度，质点振动的能量传播的速度称波速，即地震波的速度，波传播需要时间。注意：介质质点的振动速度与地震波的传播速度不同，且它们的振动方向和传播方向也不一定相同。18波源介质中产生振动的地方就是波动的波源或称震源。

地震勘探中地震波的产生是用人工的方法，如炸药爆炸等。引起地层振动的位置为波源原点。波源向四周传播。相对于地层的空间尺度可以把震源作为一个点源。爆炸源对岩石影响有三个区：破坏圈、塑性带弹性形变区。地震波的产生和传播19地震子波把点源刚进入弹性区传播的地震波作为地震子波。特征：具有多个相位、延续60－100ms波形状基本稳定；幅度会因种种原因而衰减地震子波看作组成一道地震记录的基本元素。反射子波的变化，带来了地下岩石的信息。几种子波的表示方法。地震波的产生和传播20地震波传播的形象表征振动在介质中传播的过程就是波，也称波动波是不断变化、推移的运动过程。在考虑质点的振动的同时，还要考虑介质中质点的连续性。质点的振动是局部的，无限个质点连续振动是整体。振动在介质中传播是需要时间的。振动是以有限的速度传播，波速的有限性是形成波动的必要条件。波动是一种能量传播的重要方式，能量从一个地方传播到另一个地方时介质本身并不传播。21波阵面(波前、波后)波阵面—波从震源出发向四周传播，在某一时刻，把波到达时间各点所连成的面，简称波面。波前—振动刚开始与静止时的分界面，即刚要开始扰动的那一时刻。同样，振动刚停止时刻有分界面为波后。波前或波后是用面表示的，不是曲线。特征：在波面上各质点的振动相位相同。当振动在各向同性介质中传播时，波前的运动方向与波前本身垂直。地震波传播的形象表征22声波正演模拟波场快照数值模拟地震波传播的形象表征23平面波、球面波波阵面的形状决定波的类型，可分为球面、平面和柱面波等。平面波--波前是平面(无曲率)，象是一种在极远的震源产生的。这是地震波解析中的一种常用的假设。球面波--由点源产生的波，向四周传播，波面是球面。在均匀各向同性介质中，同一个震源，在近距离的波为球面波，在远距离的地方可看成平面波。必须记住：波是不断前进的，从而波前和波后这两个曲面也在随着时间不断然地推进。不指明哪一个时刻来谈论波前和波后是没有明确意义的。

地震波传播的形象表征24波线(射线)射线—是用来描述波的传播路线的一种表示。

认为波及其能量是沿着一条“路径”从波源传到所观测的一点P，然后又沿着那条“路径”从P点传向别处。这是一条假想的路径也叫波线。射线的特征：

1)总是与波阵面垂直。

2)波动经过每一点都可以设想有这么一条波线。

3)仅在各向同性介质内地震波传播的形象表征25引入射线的意义在条件适当时，利用射线可大大简化地震波的传播问题，即可用几何的方法来研究波的传播。已发展为一个学科--几何地震学。思考题：几何地震学近似成立的条件

地震波传播的形象表征26描述波形的概念波形图—用图示来描述与振动有关的一种方式。波动是一种很复杂的运动过程，不能用单独一条曲线来描述其全过程。用一种曲线方式表示波形—波形曲线。把介质中某点在不同时刻的位移画在同一图上(某点振动位移与时间的关系)；或在同一时刻把各点的位移画在同一图上(各点振动位置与各点位置的关系)。一条曲线反映某一个点或某一时刻的振动。波形曲线是波动的一种表象描述，并不代表波的真实形态。27振动曲线(振动图)某点的振动随时间变化，用振动曲线表示也称振动图。介质中每个质点都有自己的振动曲线。振动图以不同时刻为横坐标，以质点离开平衡位置的距离为纵坐标，画出某点的振动情况。

两个不同点的振动曲线(时间表示)描述波形的概念28

波剖面(波形曲线)反映各点振动之间的关系，常用所谓波形曲线的描绘方法。把在同一时刻各点的位移画在同一个图上。这种振动曲线只反映某一时刻直线上点的振动位置。观察介质中某条直线上各个点在某一时刻的振动，下图。两个不同时刻的波形曲线(位置表示)描述波形的概念29地震勘探中，沿测线画出的波形曲线，也称波剖面。描述波形的概念30地震波的特征参数

地震波一般描述：在地震波中同样用振幅、频率、周期和波长等概念这些量来描述。地震波的振动周期、波长和频率一般以相邻波峰(或波谷)来计算的。波的振幅一般以最大值来描述，最好讨论它的振幅谱。波长是描述波的空间分布的一个特征量，对于谐波（正弦波），当质点从平衡位置又回到平衡位置的最小距离，称为波长λ。波长的倒数称波数k，表示在单位距离上波的个数。波源每振动一次，波就前进一个等于波长的距离，而每振动的次数就是频率f，即每秒前进的速度是v=λf。31主波长、主周期和主频地震波是一种复杂的波，不能笼统地讨论周期或频率，而是用视周期或视频率，最好讨论它们的频谱。一般用主波长、主频率和主周期来表征地震波。简单地确定地震波主频、主波长和主周期的方法：以主振动相邻两个波峰(或波谷)为一个主周期。主波长（）是在一个振动主周期时间内波前进的距离，它是波的空间分布特征量，即它与介质的大小尺度同单位。主波长由主频率分量确定，主频可由频谱分析得到地震波的特征参数

32视速度、视波长视速度和视波长—当波的传播方向与观测方向不一致(夹角θ)时，观测到的速度并不是波前的真速度V，而是视速度Va,

Va

=

V/sinθ。同样此时的波长为视波长λa，

λa=λ/sinθ。因为sinθ≤1，所以Va和λa一般大于它们的真实值V和λ。地震波的特征参数

33地震波的波动理论

弹性波在弹性介质中传播的波称为弹性波。它的形成条件是：要有能传播弹性波的介质—弹性介质，以及在弹性介质中有振动。地震波实质上是在地层中传播的弹性波。在小应力状态时把岩石看作为弹性介质。弹性波理论--研究外力和它引起物体形变和体变的关系，即介质内应力与应变(形变和体变)关系。34弹性波传播的基本规律是由弹性波的波动方程反映的。利用牛顿第二定律将力与形变(或体变)引起质点振动的加速度联系起来，可推导出弹性波的波动方程。当波传播到弹性突变的界面时，需满足一定能量分配关系。在解波动方程中，不同的边界条件，可得到不同的解。地震波的波动理论弹性波35弹性介质、应力和应变固体受外力作用时其大小和形态会发生变化，固体内部产生应力抵抗这种变化。在内应力的作用下，固体恢复原有状态。弹性介质--当使介质产生形变的外力撤消后，介质能立即并完全恢复到原始状态。只有在小应力状态时才能把岩石看作为弹性介质。应力—是指单位面积上所受的力，垂直于面积的力称法应力，位于面积上的力称切应力应变—由应力所产生的体积和形态变化，应变一般都用无量纲单位表示。地震波的波动理论

36胡克定律在一定条件下，岩石可以近似看成进弹性体，这种弹性体的本构关系最简单，应力分量与应变分量呈现一一对应的线性关系，胡克(Hooke)定律。弹性与线性是不同的概念，两者之间不能混淆。弹性是指应力分量与应变分量存在着一一对应的函数关系，但这种关系不一定是线性关系，少数情况下可能是非线性的。当应力和应变很小(无限小)时，应力与应变之间存在着一一对应的线性关系。地震波的波动理论

37胡克定律在弹性介质中，应力σ与应变ε成正比例(只有在小应力时成立)。比例因子称为介质的弹性因子(或系数)。胡克定律简单表示为σ＝Kε

在各向同性介质中有两独立的弹性常数，常用拉梅常数λ、μ

表示，应力和应变的关系相对简单：其中一般的胡克定律用张量表示，应力和应变都为二阶张量，因而其比例因子是一个四阶张量，所以它的关系式较为复杂。地震波的波动理论

38三维波动方程纵波方程横波方程分别为纵波和横波速度和λ、μ介质(物体)的弹性模量，ρ是介质的密度。地震波的波动理论

39弹性模量(弹性常数)描述介质(物体)的弹性性质时，一般用弹性模量表示。在一般介质中用21个弹性模量就可描述介质的动力学特征。在各向同性介质中，常用五个弹性模量(E、K、λ、μ和

)，但其中只有两个弹性模量是独立的，一般用拉梅常数(λ、μ)表示。不同介质有不同的弹性常数，随着岩性地震学的发展，愈来愈重视弹性常数与岩性的变化。地震波的波动理论

40弹性模量的物理意义E--杨氏模量，在一维情况下，应力和应变之比的比例常数，表示物体对受力作用的阻力(或形变)的度量。K--体积模量，物体在静水压力中，应力与应变的比例常数。是物体的整个体积受力，当静水力为P是，物体发生相对体积变化，则P=-K，负号表示压力增大，体积变小，所以体积模量表示了物体的抗压缩性质。地震波的波动理论

41拉梅常数μ--μ是在剪切应力作用下介质发生切应变的比例常数，F=μ，它的物理意义是阻止切应变，液体没有切应变，μ=0。拉梅常数λ--如果一个立方体介质受向上拉伸应力的作用，产生一个向上的应变ε，而G是阻止介质横向压缩所需的一个横向拉应力，则G=λε

。其物理意义为阻止横向所需的拉应力的一个度量。弹性模量的物理意义地震波的波动理论42地震波的波动理论43泊松比--在拉应力(或压应力)作用下，伴有膨胀(或压缩)的同时，在垂直应力方向产生压缩(或膨胀)，则定义横向压缩(或膨胀)与纵向伸长(或压缩)之比为泊松比。考虑一根直径为d，长为L的棒，在拉应力作用下伸长了⊿L，与此同时，直径变细了⊿d，泊松比定义为式中负号仅表示棒直径与长度的变化是相反的，泊松比的值是正的。物体的泊松比范围在0—0.5之间，大多数弹性体介质为0.25，坚硬岩石约0.05，松软介质约为0.45。地震波的波动理论44速度与弹性常数间的关系地震波的波动理论

45地震波的类型和特征当震源激发时，在固体中会产生各种振动特性的地震波。而当边界条件不同时还会改变这种振动特性。按波传播的范围分：体波和面波。体波--波在无穷大均匀介质(固体)中传播时有两种类型的波，纵波和横波。它们在介质中以整个立体空间传播，合称体波。面波—波在自由表面或岩体分界面上传播的一种类型的波。在地表常见的面波有瑞利波、拉夫波，在井中有斯通利波、和管波等，还有槽波。46体波和振动模式纵波质点振动方向与波的传播方向一致，传播速度最快。又称压缩波(compressional)、膨胀波(dilatational)、纵波(longitudinal)或P-波(P-Wave)。

纵波振动模式--固体内部质点交替压缩或拉伸，小单元体积发生膨胀或收缩。质点的运动方向与波的传播方向平行。地震波的类型和特征47质点振动方向与波的传播方向垂直，速度比纵波慢，也称剪切(shear)波、旋转(rotational)波、横波(transverse)或S-波(S-wave)，速度小于纵波约0.7倍。横波振动模式--小单元体积发生形变，体积不变，质点振动方向与波传播方向垂直。横波体波和振动模式地震波的类型和特征48两种振动方向的横波SV和SH波在三维体介质中，横波的振动与传播方向垂直有两个方向，可把横波分为SV和SH波两种形式：如果振动发生在通过波传播方向的垂直平面内称SV波，在水平面内则称SH波。SV波SH波体波和振动模式地震波的类型和特征49面波和振动模式面波

一种质点振动沿着或靠近介质表面传播的地震波，振幅随深度以指数规律衰减。其速度可由大约一个波长的深度范围内介质的弹性性质所定，速度约为横波的0.92倍。在地震勘探中，通常指地滚波(groundroll)。包括瑞利波、乐夫波等。其中最重要的面波是瑞利波。在地震勘探中，面波被作为一种干扰波处理，并且发展相应的观测和处理技术。但在一些工程勘探中被作为一种有效的勘探方法。地震波的类型和特征50瑞利波瑞利波是最常见的沿地面传播的面波。瑞利波振动模式-质点的振动轨迹在铅直面内(X-Z平面)是椭圆。波沿椭圆轨迹作逆时针方向运动(与地滚波近似)。瑞利波具有低频特性，在X方向衰减较慢。但在随深度方向衰减很快(约两个波长)。面波和振动模式地震波的类型和特征51斯通利波沿着分界面传播的一种地震波，在固体与流体分界面总有可能产生，在固体-固体分界面上只有在非常严格的条件下才会产生。其振幅在垂直分界面的方向上按指数规律随分界面的距离衰减。速度小于固体介质在自由表面时的瑞利波的速度。在测井中应用较多。面波和振动模式地震波的类型和特征52在管中传播的波，只有一个自由度，其振幅随距离衰减很慢。它产生的机理和特性还不是很清楚，但具有一定的应用能力。在井中勘探中经常出现。管波地震波的类型和特征53VSP记录中的管波地震波的类型和特征54分界面中波的类型与其它形式的波一样，地震波在传播时也会有反射、透射(折射)等规律，地震勘探正是利用这些规律获得地下信息。当一个波从第一个介质入射到第二种介质时，在两种分界面上通常会发生反射和透射，反射波回到第一介质中，而透射波进入第二个介质。由于波经过界面时需满足边界条件，会使反射和透射之间的关系更复杂。一般，P波(或S波)入射到固-固界面时必定会产生反射和透射P波和反射和透射S波地震波的类型和特征55按地震波在传播过程中传播路径(射线)的特点还可以把分为直达、透射、反射和折射波等。水平界面上的各种波地震波的类型和特征56同类波的转换波入射波和反射波、透射波的振动特性一致称同类波，改变了振动特性的反射和透射波称转换波。地震波的类型和特征57各向异性介质中的波—横波分裂地震波的类型和特征58地震波的传播规律不管什么时候，波只要入射到两种介质的分界面时，一部分会反射回来，称反射波，入射和反射波在同一介质中；另一部分则透射到第二介质中，称透射波(或物理学称折射波，与地震勘探中的折射波概念有区别)。地震波的反射和透射是地震勘探的基础。地震波的反射和透射波的反射和透射与介质的弹性性质有关，弹性性质突变时才会发生。地震勘探中弹性性质突变一般以固-固和液-固界面，称这些面为反射界面用弹性理论可严格证明只有当介质的声(波)阻抗突变时才发生反射。59波阻抗波的反射和透射与分界面两边介质的波阻抗有关。介质(地层)的密度和波的速度的乘积(Zi=ρiVi，i为地层)，在声学中称为声阻抗，在地震学中称波阻抗。只有在Z1≠Z2的条件下，地震波才会发生反射，的差别越大，反射也越强。气体和液体的波阻抗较小，与固体形成界面时会有强的反射。岩石名称速度(m/s)密度(g/cm3)波阻抗(g/s·cm2×104)土壤200～8001.1～2.02.2～16砂层300～13001.4～2.04.2～26粘土1800～24001.5～2.227～52.8砂岩2000～40002.1～2.842～112石灰岩3200～55002.3～3.073.6～165岩盐4500～55002.2～2.290～121结晶岩石4500～60002.4～3.4108～204地震波的传播规律60波的反射和透射入射线、反射线和透射线--波的入射、反射和透射用射线表示。法线—在界面上垂直界面且过入射点的直线。入（反）射角α、α’—入（反）射线与界面法线间的夹角。

透射角β—透射线与界面法线间的夹角。入射面—入射线法线确定的平面，垂直于界面。射线平面—入射线、过入射点界面法线和反射线确定的平面。用射线来表示波的反射和透射地震波的传播规律61反射和透射定律反射定律反射线位于入射平面内，反射角α’等于入射角α。透射定律：

透射线也位于入射面内，入射角的正弦和透射角的正弦之比等于第一和第二两种介质的波速之比,即或此式表示波在两种介质内传播的视速度是相等的。改写地震波的传播规律62反射和透射定律波的反射和透射定律仅给出了波的传播方向，而没有涉及波的强度。可用惠更斯原理证明反射和透射定律。由反射和透射定律还可知，当入射角很小时，转换波也很小。入射角0º时称垂直入射，不产生转换波。地震波的传播规律63波型转换波在非法线入射的情况下，无论是纵波或是横波。在介质的分界面上不仅会改变波的方向，产生反射和透射，而且会发生波的分裂。由一种波分裂为两种不同类型的波，同时会有纵波和横波的反射和透射。同类波和转换波

称与原来入射波类型相同的反射和透射波为同类波，而改变了波型的反射波和透射波为转换波。问题：纵波转换为横波时，是SH小还是SV波地震波的传播规律64纵横波的反射和透射定律(Snell定律)当波通过两个声阻抗不同的均匀介质界面时，波前进的方向就会发生改变，考虑纵波和横波时，这种变化可以表示为：

式中θP1是介质1中纵波的入射角，VP1、VP2、VS1、VS2分别为介质1和2的纵横波速度，其中P为一常数，称射线路径参数。地震波的传播规律65多层水平介质的斯奈尔（Snell）定律

综合反射定律和透射定律的内容，扩展到多层水平层状介质的情况，可以得到斯奈尔定律。它还包括横波和纵波的传播。设各层的纵波、横波速度分别用Vp1,Vs1,Vp2,Vs2,......Vpi,Vsi表示，则斯奈尔定律的形式如下：

P称为射线参数。在水平层状介质中，当波的某条射线以某一角度入射到第一个界面后，再向下透射的方向将由上式决定，这条射线就对应于一个射线参数值Pi

地震波的传播规律66射线路径参数PP＝（1/V）·sinθ1/V为速度的倒数，称慢度。P是平行于界面的慢度分量。在任意射线路径上P是常数。在tau－P变换中常用这个参数。示意图地震波的传播规律67反射和透射波的强度和极性垂直入射时，入射波振幅(A入)与反射振幅(A反)之比可用波阻抗来表示。反射系数透射系数R+T=1垂直入射反射和透射系数地震波的传播规律68极性反射波强度与分界面两边波阻抗之差（Z2－Z1）和之和（Z2＋Z1）有关。当浅层和深层波阻抗差相同时，深层的反射弱。反射极性：当Z2>Z1时，R>0，反射波和入射波的相位相同；当Z2<Z1时，R<0。两个振幅反号，反射波的相位与入射波相反，差180度，称这种现象为“半波损失”。透射系数T＝1－R总是正的，说明透射波的相位与入射波的相位相同；当R为负时，T可以大于1。注意：出现转换横波，反射横波和透射横波的极性也相反。转换横波反射角和透射角不同。地震波的传播规律69斜入射反射和透射系数当入射角有一定角度时，反射系数不遵守上公式，而是随入射角而变的。能量分配关系发生变化。从弹性边界条件求解波动方程，Zoeppritz方程。研究这种变化形成了一种方法，称AVO技术。地震波的传播规律70折射波(首波)和全反射由透射定律可知，如果V2>V1

，即sinθ2>sinθ1

，θ2>θ1。当θ2

到达90º时，θ1还没到90º，此时透射波在第二种介质中沿界面滑行，出现全反射现象。

开始出现全反射时的入射角称反射临界角θc。问题：考虑纵波转换为横波的反射时临界角和它们的关系。地震波的传播规律71折射波(首波)当入射波大于临界角时，出现滑行波和全反射。在分界面上的滑行波有另一种特性，即会影响第一界面，并激发新的波。在地震勘探中，由滑行波引起的波叫折射波(refractions)，也叫做首波(HeadWave)。折射波的特征是以临界角射入或射出高速介质的波。由用斯奈尔定律知道折射波的传播方向，折射角等于临界角，折射波始终以临界角从界面向上射出。地震波的传播规律72反射路径的虚震源作图法如左图入射线OP在分界面P点入射，过P点的法线为NN’，作震源O到分界面的垂线并延长，与反射反方向的延长线相交于O*，把此点作为一个虚震源。虚震源是一个假设的震源，引入它可以简化波的入射和反射路径的计算。波的反射定律波的透射定律地震波的传播规律73波动传播的定理波在各种介质中的传播路线，满足所用时间为最短的条件(旅行时为极小)。如果介于路径中的介质有部分速度不同，则传播不是直线，而通常是旅行时最小的。即最后的射线路径是最小时间路程。Snell定律由费马原理得到。费马原理示意图费马原理(Fermat’sprinciple)地震波的传播规律74惠更斯(huygens)原理在前进的波前面上每一点都可以看作一个二次的震(波)源，且后一时刻的波前面就是切于前一时刻的波前面所激发的所有二次波的包络面。另一种表述：在波前面上的任意一个点，都可以看成是一个新的波(震)源，叫子波源。每个子波源都向各方发出波，叫子波。子波以所处点的速度传播。惠更斯原理是利用波前面的概念来处理问题的。因此可用作图法绘出各种波的波面。作图方法掌握几点：波前，新的点震源，速度相等，包络线。惠更斯原理只给出波相位的信息，不能给出振幅的大小。地震波的传播规律波动传播的定理75惠更斯原理的应用求取新的波前对平面和球面波的波应用地震波的传播规律波动传播的定理76反射定律的惠更斯原理解释地震波的传播规律波动传播的定理第二章地震波运动学理论

地震信号的频谱分析78地震信号的频谱分析频谱分析概述傅立叶展开的重要性质地震波频谱特征及其应用79地震信号的频谱分析频谱分析是地震勘探中一个十分重要的概念。频谱分析的数学基础是付立叶(Fourier)分析。本节重点是地震频谱的基本概念：

1)几个定理

2)线性时不变系统的滤波方程

3)各种地震波的频谱特征80

频谱分析概述

一个复杂的信号可以分解成不同频率的正弦信号，反之亦然。在信号研究和处理中采用分解过程比合成更多一些。所谓频谱分析，就是利用付立叶方法来对振动信号进行分解并进而对它进行研究和处理的一种过程。频谱的概念也可以这样叙述：一个复杂的振动信号，可以看成是由许多简谐分量叠加而成；那许多简谐分量及其各自的振幅、频率和初相，就叫做那复杂振动的频谱81信号的合成和分解82跟踪一个弹簧在时间中的运动产生了一个正弦曲线振幅谱相位谱正弦曲线信号的合成和分解83一组具有不同频率、振幅和相位延迟的正弦运动，可以重叠以合成时间波形时间（s）频率（Hz）信号的合成和分解时间（s）频率（Hz）频率（Hz）84狄利克莱（Dirichlet)条件不是所有的信号都可以分解（哪怕无限多个）简谐振动。数学上确立了确切的条件，狄利克莱（Dirichlet)条件，任意一个区段内，1)信号f(t)除有限个间断点外都连续，2)仅有有限个极大和极小值。这是傅里叶级数展开的充分必要条件。

能分解的振动曲线不能分解的振动曲线85频谱的表示讨论周期函数（设自变量是时间t）的付立叶展开。所谓周期函数，就是满足下列条件的函数：

n=0，士1，士2，……T是常量，单位为秒，是物理量u的振动（视）周期。周期函数是无始无终的，它的变化情况，可以用一个周期内的变化情况来完全地反映。付立叶分析理论，满足狄利克莱条件的任意周期函数，都可以展成付立叶级数，也就是展成许多谐振动函数的和。

86谐振动函数表示同一个谐振动，可以用形式不同的函数来表示。式中A、ω和α分别是振幅、圆频率和初相位。如果按三角学公式将上式展开，又可以写成其中是两个常量。上式实际上是两个初相为零的谐振动的叠加，a、b是它们的振幅。87谐振动函数欧拉表示如果引用复数，用欧拉（Euler）公式得到式中为振动函数u1(t)的基频，基频的倍数nω称泛频88一个复杂信号u（t）的傅立叶级数也有三种表示方法，三种开展式且完全等效。注意系数Cn一般是复数

89频谱的图示

周期函数的分立谱(离散谱)注意：图中横坐标是用基频的整数倍表示。90频谱的图示频谱的再认识：不同乐器发出同一音调时的振动图和频谱91非周期函数的连续谱当周期函数u(t)的周期T越大，基频ω减小，ω趋于零时成为非周期函数，对应的频谱为谱。如果u（t）是一个满足狄利克莱条件的非周期函数，它还是可以表示为许多谐振分量的叠加。这些谐振动分量的频率是连续分布的，得到的展开式不是级数，而是积分，通常写成ω是一个连续变量，而不再是一个固定的基频；分母上的2π只是为了方便才引入的，如果我们引入另一函数，则在上式中也可以不出现2π。92非周期函数的连续谱S（ω）叫做频谱密度，可以利用现成的公式由原有的振动函数u（t）求出；其公式是为互为付立叶变换

与用两种方法来处理振动(信号)，时间域和频率域939495信号的频谱振幅谱的意义：频率成分每个频率分量的幅度大小从振幅谱看的意义96

付立叶展式性质1、唯一性定理

所谓唯一性是说u（t）和S（ω）是一一对应的。给定了u（t），只能求出一种展式，而不可能求出互不相等的两种展式，反过来，给了一个展式，也只能定出一种u（t），而不可能得到两个不同的u（t）。用符号表示出来就是

972、线性叠加定理

设有N个函数以及N个常数（可以是实数，也可以是复数）

则有

的频谱

分别是

98

特例1

当时，这个定理叫做叠加定理。其意义是：合振动的频谱等于分振动频谱之和，逆定理也对。特例2当N=1即只有一项时，

这定理叫做相似性定理。其意义是：两信号成比例时，其频谱也成比例；反过来，两频谱成比例时，其信号也成比例。

2、线性叠加定理993、时标变换定理设则或1003、时标变换定理通过对各种脉冲的延续时间Δt和它的频谱Δω的计算分析，可以得到Δt与Δω成反比的结论。这个结论说明：一个系统的选择性和它的分辨能力这两种性能是矛盾的。如果系统的频率选择性好，既通频带窄，那么信号通过系统后，频谱要变窄，延续时间长，降低了分辨能力。1014、时延定理

设τ是一个实值常量，而

则有

U(t-τ)和u(t)的关系定理的含意：1)在时间曲线上，两者差τ。2)频谱关系上，信号延迟振幅谱不变，相位谱加ωτ项。1024、时延定理实用性计算一个地震道信号的频谱时，时间零选取对计算振幅谱无影响，与相位谱有关。对一个系统，信号通过时波形不畸变，允许有延迟，则要求信号通过这系统后的振幅谱不变，相位谱可变可不变，相位特性是线性的。在进行信号处理时，在时间域和频率域内进行变换处理会更方便。1035、褶积定理褶积定理设τ是一实值变量，而且

则有利用两个函数造出的一个新函数，叫两函数褶积。其频谱等于这两个函数分别频谱的乘积。104地震信号的频谱分析获取频谱的方法1、信号解析式给出，通过Fourier变换求出2、已知图形，但不知具体函数关系f(t)

模拟信号----频谱分析仪数字信号----离散Fourier变换或FFT3、实际应用----根据需要开时窗，做FFT105地震信号的频谱分析频谱分析中的时窗和步长106地震信号的频谱分析实际地震道的波形和对应的频谱107地震信号的频谱分析频谱参数：主频：频谱极大值所对应的频率；频宽（带宽）：振幅谱等于最大值的0.707倍处的两个频率值之间的宽度。频谱的主要参数主频ω0和频宽Δω=ω2-ω1108地震频谱的特征和应用各种地震波的频谱的特征

面波10-30Hz，反射波的主频一般在30～50Hz109地震波频谱特征及其应用各种地震波的频谱特征与地震勘探有关的一些频谱特点：面波频率低（10—30Hz)反射波主频（30—50Hz）深层反射频率更低声波频率较高，大于100Hz工业交流电，50Hz左右窄带110地震波频谱特征及其应用激发条件对地震波频谱有影响药量大，频率向低频方向移动岩石致密，频率向高频方向移动不同类型反射波频谱有差异同一界面的反射纵波比反射横波频率高；其主要原因是横波的高频成分被吸收严重111地震波频谱特征及其应用华北某工区典型的面波频谱华北某工区典型的反射波频谱112地震波频谱特征及其应用相同类型反射波随传播距离增加频率降低113地震波频谱特征及其应用频谱在地震勘探中的应用掌握干扰波的出现规律，在野外采集时选择仪器上合适的滤波档，将其“拒之门外”；在室内处理时，有针对性地设计滤波器，将其滤除，提高资料的信噪比。114地震波频谱特征及其应用地震信号以数字形式记录，按时间间隔∆t取样。即连续信号f(t)用分离序列信号f(n∆t)表示。问题：f(n∆t)能否唯一代表f(t)间隔∆t取多大，即如何取。取样定理和假频115地震波频谱特征及其应用取样定理

若信号满足这样的条件，即当频率f的绝对值大于某一固定的频率fc时，信号x(t)的频谱x(f)为0，则只需要按∆t≤1/(2