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光学几何光学波动光学量子光学

第十八章波动光学

光的干涉

光的衍射

光的偏振基本内容§18.1光的相干性

一、光的频率第一部分光的干涉相干波条件：频率相同、振动方向相同、恒定的位相差

原子中一次量子跃迁的持续发光时间的数量级为10-8s，是一个有限长的正弦波列，波列长度为0.03~3m不是严格的单色光。

单色光：频率恒定的一列无限长正弦（或余弦）光波。

钠光灯的黄色光的波长为5893埃，但它也不是严格的单色光。

两个独立的光源由于原子发光是随机的，间歇性的，两列光波的振动方向不可能一致，位相差不可能恒定，不可能成为一对相干光源。钠光灯A钠光灯B两束光不相干！二、光的振动方向与位相差

光波是电磁波。光波中参与与物质相互作用（感光作用、生理作用）的是E

矢量，称为光矢量。

E

矢量的振动称为光振动。怎样获得相干光呢？三、相干光的获得1、分波阵面法2、分振幅法§18.2分波阵面法产生的光的干涉

把同一光源发出的光波分成两个光波，使它们经过不同的路程后相遇，获得相干光。

让点光源发出的光波通过两个并排的小孔或利用反射和折射把光波的波阵面分为两部分，获得相干光。杨氏双缝菲涅耳双镜洛埃镜xk=+1k=-2k=+2k=0k=-1S1S2S***I

一、杨氏双缝实验1、实验示意图：δ=2axDk=0,1,2,...()k=0,1,2,...()={明纹暗纹明条纹的位置：Kλ+kλD2ax=++()k12λ2+Dx=2atg~~2aφr12sinφr2δ==axDS1S2rr12φφDa<x<D<<2aP2、明暗条纹条件（2）、各级明条纹的光强相等。（3）、通过D

及a的测量可以间接测得光的波长。（4）、用白光照射，在屏幕上可以得到彩色干涉条纹。（1）、相邻两明纹的间距：讨论：kλD2ax=+杨氏干涉条纹是明暗相间的等间隔条纹。二、菲涅耳双镜实验ABCM1s1s2M2***sα虚光源点光源屏镜子1122

三、洛埃镜实验s1s2*MAB屏P.虚光源点光源反射镜*BA

当屏移到如图位置时，P点出现暗条纹。这一结论证实，光在镜子表面反射时有相位突变π，这种现象称为半波损失。若n1

<n2称媒质1为光疏媒质，媒质2为光密媒质。

光在垂直入射情况下，如果光是从光疏媒质传向光密媒质并在其分界面上反射时将发生半波损失。折射波无半波损失。n1n2折射波反射波入射波真空中介质中§18.3光程光程差

经过相同的几何路程D，发生的相位改变分别为：DDλλ真空介质0一、光程光程差真空中介质中即：光程=折射率

几何路程=nD光程差=n2D2-n1D1

此式表明，经过相同的几何路程，经过介质所发生的相位改变是真空中的n

倍。

从相位改变这一角度考虑，在介质中光线经过D

距离所发生的相位改变，等于真空中经过n

D

所发生的相位改变。adeg与bh几何路程不等，但光程是相等的。abc三点在同一波阵面上，相位相等，到达F

点相位相等，形成亮点，所以透镜的引入不会引起附加的光程差。agcbh.....eF屏.d.二、透镜的等光程性F屏acb...

斜入射时，abc三点在同一波阵面上，相位相等，到达F

点相位相等，形成亮点，透镜的引入同样不会引起附加的光程差。§18.4由分振幅法产生的光的干涉

利用透明薄膜的两个表面对入射光的反射，把入射光的振幅分解为两部分，获得相干光。这两部分光相遇产生的干涉也叫薄膜干涉。平行平面膜干涉劈形膜干涉一、平行平面膜干涉光程差：CDABrii12n12nerP明暗条纹条件k=0,1,2,...()

={明纹暗纹Kλ++()k12λ2+***S1S2S3单色光源en1n2n1n2n1>屏薄膜透镜1、对于透射光：2、垂直入射：3、δ=δ（i），光程差是入射角的函数，对于同一级条纹具有相同的倾角。讨论：

二、平行平面膜干涉的应用（增透膜）解一：使反射绿光干涉相消取k=1MgF2玻璃1.38=n21.50=n1n0=112n2n1n0=1[例]

在玻璃表面镀上一层MgF2薄膜，使波长为λ=5500A0的绿光全部通过。求：膜的厚度。解二:使透射绿光干涉相长12n2n1n0=1问题：此时反射光呈什么颜色？取k=1取k=1取k=2反射光呈现紫蓝色ek+1ekθl光程差：1212n2n1n1二、劈形膜干涉（等厚干涉）

={明纹暗纹Kλ++()k12λ2+明暗条纹条件：1、劈尖干涉l=λn22sinθ相邻两暗纹的间距：（暗纹条件）ek+1ekθl讨论：

（3）、条纹的变化

（1）、利用劈尖可以测量微小角度θ，微小厚度及照射光的波长。

（2）、δ=δ（e），光程差是介质厚度的函数，对于同一级条纹，具有相同的介质厚度。夹角变小，条纹变宽，条纹向右移动夹角变大，条纹变密，条纹向左移动应该出现

暗纹的位置实际的暗纹位置试件标准件（4）、劈尖干涉的应用—检验平面的平整度erR2、牛顿环

={明纹暗纹Kλ++()k12λ2+讨论：（1）、从反射光中观测，中心点是暗点还是亮点？

（2）、属于等厚干涉；

工件标准件=k12,,...k=12,,0,...暗环明环

（3）、牛顿环的应用：可以用来测量光波波长可用于检验透镜质量透镜曲率半径变小时干涉条纹变密（4）、干涉条纹变化M2M1M1GG12半透明镀银层单色光源反射镜

1反射镜2补偿玻璃板§18.5迈克耳逊干涉仪一、实验装置二、迈克耳逊干涉仪的干涉条纹M2M1M2M1M2M1M2M1M2M1M2M1等厚干涉条纹等倾干涉条纹M2M1与重合M1M2M2M1M2M1Δn—干涉条纹移动数目Δd—M2移动距离三、干涉条纹的移动MM12当M2与M1´之间距离变大时，圆形干涉条纹向外扩张,干涉条纹变密。

应用：测量光的波长直线传播阴影屏幕一、衍射现象第二部分光的衍射§18.6光的衍射惠更斯—费涅耳原理衍射现象屏幕

若取t=0时刻波阵面上各点发出的子波初相为零，则面元ds在P点引起的光振动就为：dSθrP.S二、惠更斯—费涅耳原理

原理从同一波阵面上各点所发出的子波，经传播而在空间某点相遇时，也可相互叠加产生干涉现象。

其中C为比例常数，K(θ)为倾斜因子，随θ

的增加而减小。K(θ)=0dE=0

利用惠更斯—费涅耳原理原理可以解释光衍射中出现明暗条纹的现象。整个面在P点引起的合光振动就为：此即为惠更斯原理的定量表示式。三、两类衍射费涅耳衍射衍射屏离光源的距离或接受屏离衍射屏的距离中有一个为有限远时的衍射。夫朗和费衍射衍射屏离光源和接受屏距离都为无限远时的衍射。即照射在衍射屏上的光和离开衍射屏的光都为平行光。S*费涅耳衍射夫朗和费衍射S*衍射屏接受屏§18.7单缝及圆孔衍射

光学仪器的分辨率单缝衍射圆孔的夫朗和费衍射衍射光栅

一、单缝衍射1、单缝衍射的实验装置2、用费涅耳半波带法解释单缝衍射现象屏幕屏幕S*λ2三个半波带AAABCaxfφ12φλ2λ2.....P..亮纹四个半波带φ.AAABCaxfφ12λ2.....A3P...暗纹结论分成偶数半波带为暗纹，分成奇数半波带为明纹。aλ+()sinφk12λ2=kasinφ=asinφλλ2=k1，...()暗纹明纹中央明纹，2=k1，...()，++讨论：

（1）、光强分布

当φ角增加时，半波带数增加，未被抵消的半波带面积减少，所以光强变小；另外，当φ角增加时，K(θ)减小，光强变小。aλ52aλ32aλ32aλ520Isinφ当φ增加时光强的极大值迅速衰减的原因是什么？（2）、中央亮纹宽度axφf（一级暗纹条件）（一级暗纹坐标）（中央亮纹宽度）Ix相邻两干涉条纹间距是中央亮纹宽度的一半（3）、相邻两衍射条纹间距二、圆孔的夫朗和费衍射1、实验装置S*由第一暗环围成的光斑称为爱里斑。爱里斑2、圆孔衍射光强分布第一级暗环的衍射角满足：sinθ1=1.22Dλ0.61rλ=λλλ0IRRR0.6101.6191.116sinθ爱里斑占整个入射光束总光强的84%

点光源经过光学仪器的小圆孔后，由于衍射的影响，所成的象不是一个点而是一个明暗相间的圆形光斑。中央最亮的亮斑即为爱里斑。s1s2φδφδD**爱里斑三、光学仪器的分辨率瑞利判据：如果一个点光源的衍射图象的中央最亮处刚好与另一个点光源的衍射图象第一个最暗处相重合，认为这两个点光源恰好能为这一光学仪器所分辨。φδ恰能分辨不能分辨能分辨s1s2φδφδD**圆孔衍射的第一级极小值由下式给出：Dsinθ1=1.22λ最小分辨角为：sinθ11.22Dλθ1=~~φδ=

在恰能分辨时，两个点光源在透镜前所张的角度，称为最小分辨角δφ。1.22Dλθ1==R1D为物镜的直径2、显微镜的最小分辨距离uysinΔ=λ0.61nU为孔径对物点的半张角n物镜的折射率Nsinu称为光学仪器的数值孔径讨论：1、望远镜的分辨本领显微镜的分辨本领：=RuysinΔ=n1λ0.61增大数值孔径可提高分辨本领。§18.8衍射光栅a为缝宽，b为不透光部分宽度，（a+b）称为光栅常数，约为10-4~10-6m。()ab+sinφ—相邻两缝光线的光程差xf0()ab+sinφabφab+φ屏

光栅衍射是单缝衍射和缝间光线干涉两种效应的叠加，亮纹的位置决定于缝间光线干涉的结果。缝数N=4

时光栅衍射的光强分布图主极大亮纹次极大极小值包络线为单缝衍射的光强分布图k=1k=2k=0k=4k=5k=-1k=-2k=-4k=-5k=3k=-3中央亮纹k=6k=-6k12...=0，，+()ab+sinφλk=当满足下列条件时相邻两缝光线的光程差等于波长的整数倍，干涉加强，形成亮纹。此式称为光栅公式。主极大的条件可用用光矢量A

的叠加来解释。

当相邻两缝光束的光程差为（a+b）Sinφ=kλ时第一个与第二个缝光束的相位差为2π

一、主极大的位置—（亮纹的位置）N个缝光矢量叠加A1A2A3ANA光栅相邻两缝两束光线的光程差。合振幅A=0设与之对应的相邻两缝光束的相位差为由多边形的性质可知：1、极小值

二、暗区（a+b）Sinφ若N（a+b）Sinφ=λ若N（a+b）Sinφ=2λNAA1δθA1NAA2A3δθδθδθ合振幅A=0满足下列条件为极小值N（a+b）Sinφ=mλ讨论：为何暗区很宽，亮纹很窄？1m=1，2，3，...N()1N()+N1N()2N()+,,,,,N...,,221N()+2,...k=1k=21N()个极小1N()个极小一级极大二级极大

在k=1,k=2两级极大值之间，布满了N-1条暗纹，所以暗区很宽。缝数N

越多，暗区越宽，亮纹越窄。（a+b）Sinφ=+

kλ2、次极大NAA1A满足下列条件为次极大则有：Σδθ=πA1NAA2A3A若N（a+b）Sinφ=λ/2若N（a+b）Sinφ=3λ/2则有：Σδθ=3πN（a+b）Sinφ=nλ/2

由于单缝衍射的影响，在应该出现干涉极大（亮纹）的地方，不再出现亮纹，称为缺级。出现缺级必须满足下面两个条件：()ab+sinφλ=k缝间光束干涉极大条件asinφλ=n单缝衍射极小条件缺级条件为：()ab+kan=

三、缺级k=缺级：3,6,9,...()ab+kan==31若：，k=1k=2k=0k=4k=5k=-1k=-2k=-4k=-5k=3k=-3k=6缺级单缝衍射第一级极小值位置光栅衍射第三级极大值位置k=-6

如果有几种单色光同时投射在光栅上，在屏上将出现光栅光谱。二级光谱一级光谱三级光谱xf0φ屏复色光四、光栅光谱()ab+sinφλ=k=当sinφ1时，ab+=1+1025000=2+106m5.89310λ+sinφ()ab+k==2+1067~~3

[例1]

用每厘米有5000条的光栅，观察钠光谱线，

=5890Å。问：（1）、光线垂直入射时；（2）、光线以30度角倾斜入射时，最多能看到几级条纹？k有最大值。最多能看到3级条纹。据光栅公式解：（1）λ=kθ()ab+sin+()sinφ

=30º在进入光栅之前有一附加光程差AB，所以：光栅公式变为：=kθ()ab+sin+()sinφλ~~5θABBC+=()ab+sinφ()ab+sin+=θ()ab+sin+()sinφδ=

（2）、倾斜入射φxf0屏A.BC..θ1895年伦琴（W.C.Rontgen）发现X

射线。X射线是波长很短的电磁波。X射线的波长：0.001~0.01nmX射线管阳极阴极104~105V+§18.9晶体对X

射线的衍射X射线衍射-----劳厄实验劳厄斑点

晶体可看作三维立体光栅。根据劳厄斑点的分布可算出晶面间距，掌握晶体点阵结构。晶体底片铅屏X射线管

布喇格父子（W.H.Bragg,W.L.Bragg）对伦琴射线衍射的研究：d为晶格常数（晶面间距），φ为掠射角光程差：ACCBd2sinφδ==+干涉加强条件（布喇格公式）：λkd2sinφ=k=0,1,2,...AφφO...C.Bdφλkd2sinφ=k=0,1,2,...应用：1、如果晶格常数已知，可以测定X射线的波长，进行伦琴射线的光谱分析。

2、如果X

射线的波长已知，可以测定晶体的晶格常数，进行晶体的结构分析。符合上述条件，各层晶面的反射线干涉后相互加强。Ev0H光矢量振动面偏振面

若光矢量保持在一定平面内振动，称此平面为光矢量的振动面，这种振动状态称平面偏振态。若所有光矢量都在一个平面内振动称这种光线为线偏振光或平面偏振光。第三部分光的偏振§18.10自然光和偏振光一、偏振光线偏振光的表示法：.........光矢量在屏平面内光矢量与屏平面垂直光矢量与屏平面斜交二、自然光：

原子发光是随机的，在普通光源中不同原子发出的光波列，它们的频率、初相位、振动面、传播方向及波列长度都可能不同。所以，各种振动面的光出现机会相等，沿同一振动面的原子光波列的强度与振动面方向无关，称这种光为自然光。

自然光可以分解为两束相互独立的、等振幅的、振动方向相互垂直的线偏振光，这两线偏振光的光强等于自然光光强的一半。自然光的表示法：.............三、部分偏振光：

如果将自然光中的两个垂直分量中的其中一个分量部分地削弱，所得的光线称为部分偏振光。部分偏振光表示法：........

偏振片：有些薄膜材料能吸收某一方向的光振动，而只让与这个方向垂直的光振动通过，这个方向称为偏振化方向。称这些薄膜为偏振片。

自然光通过偏振片后变为线偏振光，称为起偏。偏振化方向自然光线偏振光偏振片

偏振片又可用来检验光线的偏振化程度，称为检偏。一、起偏与检偏§18.11起偏与检偏马吕斯定律.....起偏器检偏器自然光线偏振光偏振光通过旋转的检偏器，光强发生变化二、马吕斯定律.....两偏振片的偏振化方向相互垂直光强为零检偏器自然光通过旋转的检偏器，光强不变.....自然光.....a为检偏器前偏振光振动方向与检偏器偏振化方向之间的夹角马吕斯定律I0I=AA022=cosA02A022a..起偏器检偏器自然光线偏振光AA0AA0I0I检偏器偏振化方向acosAA0=aI0I=cos2a讨论：2、此定律只适用于没有光吸收的理想偏振片。马吕斯定律I0I=cos2aI0=I=0，当aπ2=0=I，a1、当..........in1n2r以任意角度入射

以任意角度入射时，反射光和折射光都为部分偏振光。实验和理论都表明：

反射光中垂直于入射面振动的光的强度比较大，折射光中在入射面内振动的光的强度比较大。§18.12反射和折射时光的偏振

以布儒斯特角入射时，反射光为线偏振光，折射光为部分偏振光。且：..........i0i0n1n2900r以布儒斯特角入射90r0+=i0nsinisinr1n20==n21tgisinisinr0=sinisin0()90i00=0tgi0n1n2==n21由折射定律：布儒斯特定律玻璃对空气的折射率为：=n211.50tgi=01.50=i0560...利用玻璃堆获得偏振光.......................线偏振光自然光入射第八章

真空中的静电场基本内容电荷库仑定律电场电场强度电通量高斯定理静电场力的功电势§8.1电荷库仑定律一、电荷(charge)1、电荷与电性自然界只存在两种电荷,同性相斥、异性相吸。规定:用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电荷；用毛皮摩擦过的橡胶棒带负电荷。2、电荷守恒定律使物体带电的方法有以下几种：①、接触起电（电荷的转移，电子的转移）++AB++AB++AB

③、摩擦起电电荷既不能创造也不能被消灭，只能从一个物体转移到另外一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分。也就是说，在任何物理过程中，电荷的代数和都是守恒的。3、电荷的量子化

e=1.6021892±0.0000046×10-19C

密里根油滴实验AB②、感应起电+AB-+C-+AB+C

世界最高建筑哈利法塔遭闪电击中时的场面.

离地面2至3英里（约3至5公里）的闪电平均可以产生超过1亿伏的电压。照片的拍摄者是一位23岁名叫穆罕默德·哈姆丹的学生，来自巴基斯坦，目前在阿联酋攻读建筑工程学。当时，迪拜正遭受暴风雨的袭击。雷电中，高达828米的哈利法塔在紫色的天空映衬下轮廓清晰。

二、库仑定律（Coulomb’sLaw)1、库仑定律

Qqr其中2、矢量性：与电荷电性无关（指研究对象）的方向与电荷电性及有关3、适用范围①、真空②、点电荷4、库仑力符合矢量叠加性①、点电荷系------矢量和(平行四边形法则)

•Pq0q1•••q2qN•Qq0dq•P②、带电体------矢量积分§8.2

电场电场强度一、电场（ElectricField）

电场是一种特殊的物质，与其它实物一样具有能量、动量和质量。与其它实物不同的是，它具有空间叠加性（矢量叠加）。静电场的对外表现：

1、静电场对处于场中的带电体有力的作用→2、当带电体在场中移动时电场力对带电体作功→U3、静电场能使场中的导体或介质产生静电感应或极化现象

q0为试验电荷（带电量充分小，几何线度充分小）。注意：①、矢量性（大小和方向）；②、给定电荷分布的电场，某点的场强大小和方向与试验电荷所带电量无关；③、试验电荷在电场中所受的电场力的方向与实验电荷所带电量的正负有关。

2、单位：牛顿/库仑（N/C）

1、定义：电场中某点的电场强度等于位于该点的单位正电荷所受的电场力。二、电场强度（ElectricFieldIntensity）三、电场强度的叠加原理

由q1、q2、…qNN个点电荷组成的点电荷系，其在空间某点产生的电场的场强等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。即

•q1••••q2qNPq0四、电场强度的计算1、点电荷电场的场强2、点电荷系电场中的场强Pq1qi如图,电荷元dq在P点产生电场的电场强度为:

3、连续带电体电场中的场强则带电体在P点产生电场的电场强度为:注：此式为矢量式，其标量分量式为:则：dq•P

面分布:体分布:Pl(

)dl线分布:对于不同分布的带电体上述公式可分别写作:电场强度的计算[例1]电偶极子的电场

电偶极距pe+l-q+q+l22lPr+q-qE+EEaqe=lp若r>>l，则有：

写成矢量形式即为：

+L/2P'r+q-qE+EL/2若r>>l，则有：写成矢量形式即为：

电偶极子在电场中所受的力+epθffEl如图所示

M=flSin

=qElSin

=PeESin

则[例2]如图示，求一均匀带电直线在O点的电场。

解题步骤：E的大小d3.确定πE=rε2410ddλlqθaθ120的方向确定Ed2.q、θθ1已知：2。a、、4.建立坐标，将dE投影到坐标轴上1.选电荷元dq=λdlEd

ldl

XYdEX=dECosdEY=dESinr5、选择积分变量

选作为积分变量，则

l=atga=atg(-/2)=-aCtg

dl=aCsc2dr2=a2+l2=a2+a2Ctg2

=a2Csc2

所以有：qθaθ210Ed

ldl

XYaar同理可得：

讨论：当带电直线长度→时，1→

，

2→0此时即有：因此无限长均匀带电直线在其周围产生的电场的场强就为：[例3]

求一均匀带电圆环轴线上任一点x处的电场。

axpxEdqxa、已知：、当dq

位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。所以，由对称性知dqr

选电荷元dq，确定dEazxEdy

axpxEddqr

Cos=x/r讨论：（1）、若x=0（即P位于圆环中心）时，E=0（2）、若x>>a时，[例4]

求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场

已知：求：qxR，，EPRPxqrdrdEdq=

ds=

2rdr

讨论：（1）、当R>>x时，（2）、当R<<x时，五、电场的几何描述-------电力线描述：①、线上某点的切线方向代表此点的场强方向。②、电力线的疏密程度代表场强的大小。EEdS

规定：在电场中任一点，垂直通过单位面积电力线的条数等于该点电场强度的值。即：性质：①、起于正电荷，止于负电荷，不形成闭合线。②、在没有电荷处，电力线不相交。点电荷的电力线负电荷正电荷+

+一对等量异号电荷的电力线

一对等量正点电荷的电力线++

一对异号不等量点电荷的电力线2qq+§8.3电通量高斯定理一、电场强度通量—电通量

定义：通过电场中任何一个给定曲面的电力线的条数称为该面的电场强度通量或电通量。用符号“

e”表示。

1、匀强电场的情况Dθθ

二、高斯定理（Gauss’sLaw）1、特例引证：+rq

（1）、q若为负值，则有因此当式中的q理解为代数值时有：讨论：（2）、若封闭面不是球面，则积分值不变。+qq

（3）、若电荷在面外，有几条电力线进面内必然有同样数目的电力线从面内出来，则此积分值为零。（4）、若面内有若干个电荷，则积分值为：

2、定理：通过静电场中任一闭合曲面的电通量

e

等于包围在该封闭曲面内所有电荷的代数和的1/

0倍，而与封闭面外的电荷无关。即：

3、说明：①、静电场是一个有源场②、

e

只是由曲面内部的电荷产生与外部电荷无关，它是标量；公式中的电场强度指面上某点的场强，是由曲面内外所有的电荷产生，是矢量。4、应用：求一些具有特殊对称性的电场的场强

关键：选取高斯面，一般原则是：①、封闭面要通过所求场强的点②、③、封闭面的形状必须简单（便于积分）为定值,使积分简化为:封闭面上(或封闭面的一部分上)的场强大小E为常量，且方向与曲面处处成一定的角度，即高斯定理的应用[例1]求一半径为R的均匀带电球面的电场分布R++++++++Q①、分析对称性解题步骤：②、选取适当的高斯面③、利用高斯定理求场强（1）r<RE=0r

（2）r>RR++++++++Qr高斯面Err210R

RrxEoxo'•Pdx[例2]求一半径为R的均匀带电球体的电场分布

（1）r<RRrEQ与到球心的距离成正比ERr0

（2）r>RRrE高斯面Err210R

[例3]求均匀带电无限大平面的电场分布

σEEσS高斯面E左=E右=E

[例4]求均匀带电圆柱面的电场分布（沿轴线方向单位长度带电量为λ，忽略边缘效应）

（1）r<RλRhlr高斯面Er=0

（2）r>RE高斯面lrrE0R§8.4静电场力的功

电势一、电场力的功

1、单个点电荷产生的电场rrdrdl

ra0abqrbqEdl

可见，在点电荷产生的电场中，电场力对试验电荷作的功与路径无关，只与始末位置有关，并与试验电荷的带电量q0有关。

2、点电荷系产生的电场由q1、q2、…qNN个点电荷组成点电荷系3、任意带电体产生的电场

任意带电体可以划分成许多电荷元，每个电荷元可以看成是一个点电荷，这样任意带电体就可以看成是一个点电荷系。

结论：试验电荷在任何静电场中移动时，电场力所作的功只与试验电荷电量的大小及其始末位置有关，与路径无关。说明静电场力是保守力，静电场是保守场。

4、静电场中的环流定律二、电势能

与重力场类似，带电体在电场中处于一定位置时所具有的势能称之为电势能。电场力所作的功就等于该势能的减少量。

电势能是一个相对量，要计算静电场中某点的电势能，必须首先选择参考点（即电势能的零点）。对有限的带电体，通常选无穷远处为静电势能的零点，在实际问题中有时选择地球表面为零势能点。三、电势（ElectricPotential）

1、定义：①、电势②、电势差物理意义：a

点的电势在数值上等于将单位正电荷从a

点移到无穷远处静电场力对它所作的功。

电势也是一个相对量,对于有限的带电体,常取无穷远处的电势为零,无限的带电体,取有限空间中某点为电势零点,在实际应用中，常取地球为电势零点。

2、静电场力的功和电势差的关系：

Aab=q0(Ua-Ub)3、电势的计算：①、点电荷电场中电势②、点电荷系电场中的电势由q1、q2、…qNN个点电荷组成的点电荷系产生的电场在P点的电场强度为：

则P点的电势为:

此即为电势的叠加原理（标量叠加）③、连续带电体电场中的电势取电荷元dq，其在P点产生的电势为整个带电体在P点所产生的电势为q2q1Pr1r24、电势的图示法—等势面

定义：静电场中电势相同的点构成的曲面叫等势面。重力场中，等势面为一水平面。地形图即为等势线图。++++++++++

电偶极子的等势面+

特点：

①、沿等势面移动的电荷，电场力所作的功为零；

②、等势面永不相交；

③、电力线与等势面处处正交，电场的方向指向电势降低的方向。

θABEdloq等势面画法规定：相邻两等势面间的电势间隔相等四、电场强度与电势的关系2、微分关系式：1、积分关系式：

电场强度大小等于在法线方向的电势变化率，其方向和电势梯度的方向相反。等势面越密的地方电场强度越大电势的计算[例1]已知：q1=-q2=410-8Cq0=1.010-8Cr=0.10m求：把电荷q0从a点移到

b点过程中，静电场力所作的功

Aab=q0(Ua-Ub)Ua=Uq1+Uq2=0abq12q0qrrrUb=-2.46103(V)Aab=q0(Ua-Ub)=2.4610-5(J)[例2]求一均匀带电圆环轴线上一点的电势。

已知：q、R、X方法1：叠加法解题步骤：

①、分析电场分布选择适当模型②、建立坐标系确定零势点③、写出积分元，积分求解以无穷远处作为电势零点，取电荷元dq如图RxPdqr方法2、定义法

解题步骤：

①、分析电场分布确定零电势点②、建立坐标系求出电场中的电场分布③、确定积分路径，积分求解

以无穷远处作为电势零点，轴线上的场强为RxPx[例3]求一均匀带电球面的电势。已知：q、R

空间中的电场分布为：R++++++++qP.r（1）r<R

（2）r>R电势分布曲线场强分布曲线ERrOURrO小结一、基本概念：二、基本规律：库仑定律高斯定理环流定律三、电场强度的求解方法：

1、积分法（选模型）

2、微分法（求解U）

3、高斯定理（选高斯面）四、电势的求解方法：

1、定义法2、叠加法（选模型）五、举例说明：（一）、电场强度的求解方法：

1、积分法[例1]

有一半径为R的半球面，均匀带有电荷，电荷密度为，求其球心处的场强。解题步骤：①、分析电场分布，选择适当模型②、建立坐标系，确定积分元③、统一变量，积分求解

解：选圆环作为模型，建立如图坐标系，确定积分元：Rr

xExoo'环宽Rd

面积2rRdr=RCoS

dq=2R2Cosd

积分求解而r2=R2-x2x=RSin

Rr

xExoo'

另选点电荷作为模型

建立如图坐标系，确定积分元

dq=Rd

rd(其中r=RCos)Rr

xE1d

d

E电荷元的场强沿如图方向，合场强方向沿方向。2、高斯定理解题步骤：

①、分析电场分布，看是否具有特殊对称性②、建立坐标系，选取适当的高斯面③、利用高斯定理求得场强特殊对称性：面对称（无限大平面、忽略边缘效应的有限大平面）轴对称（长直导线、圆柱、圆筒等）球对称（球体、球壳等）[例2]（8-16）一厚度为d的均匀带电无限大平板，体电荷密度为，求平面板内、外各点的场强。

分析电场分布，面对称

EEd

S建立坐标系，选高斯面利用高斯定理列方程求场强xox内部：选另一高斯面

讨论：当x>d/2时

[例3]

有一带电球壳，内、外半径分别为a和b，电荷体密度为

=A/r，在球心处有一点电荷Q。证明：当A=Q/(2a2)时，球壳区域内场强的大小与r无关。当x<d/2时Qabr3、微分法

利用场强与电势的关系求解

解题步骤：

分析电场分布，写出电势分布方程建立坐标系，在各个方向上分别求电势的梯度写出场强的矢量式

关键：求电势分布化矢量运算为标量运算

（二）、电势的求解方法1、定义法解题步骤：

①、确定零电势的位置，建立坐标系②、求出电场中的电场分布③、据场强分布确定积分路径，并积分求解零电势的选取：“有限大”的带电体选无穷远处为电势零点，“无限大”带电体选空间有限区域内某一点为电势零点。[例4]（8-23）无限长均匀带电圆柱面，半径为R，单位长度上的电量为。计算此圆柱面内、外任一点的场强和电势。

λRlr高斯面Elrr<R:E=0U=0r>R:2、叠加法解题步骤：

①、分析电场分布,选适当的模型②、建立坐标系,确定零电势的位置③、确定积分元,积分求解六、高斯定理与环流定律的应用[例5]（8-28）试用高斯定理和环流定律证明：静电场中，在电力线为平行直线的无电荷的区域，电场强度的大小必定处处相等。E

先证明同一条电力线上各点的电场强度数值相等

E作如图高斯面SE1E2-E1S+E2S=0E1=E2

再证明垂直于电力线方向任意两条电力线上的任意两点其电场强度数值相等作如图环路CDBA00基本内容

静电场中的导体电容和电容器电介质中的电场、高斯定理、电位移矢量电场的能量第九章

静电场中的导体和电介质§9.1静电场中的导体一、导体的静电平衡

1、静电感应在静电场力作用下，导体中电荷重新分布的现象。导体的静电感应过程无外电场时E外加上外电场后E外加上外电场后+E外加上外电场后++加上外电场后E外+++加上外电场后E外++++++++++2、静电平衡：

导体中的电荷宏观定向移动终止，电荷分布不随时间变化，此时其即达到静电平衡。

3、导体的静电平衡条件：用场强描述①、导体内部任何一点场强为零（E=0)②、导体表面任何一点场强方向垂直于导体表面

用电势描述①、导体是等势体②、导体表面为等势面

二、静电平衡时导体上的电荷分布

1、实心导体带有净电荷q，那么这些电荷如何分布？SSS

净电荷分布在导体的表面表面附近的电场强度与电荷密度成正比qE=0导体内：导体外：

RQqr

定性规律：孤立导体表面上的面电荷密度

e的大小与表面的曲率半径

有关。导体表面

小的地方，电荷较密集，

e较大；大的地方，

e较小。2、若导体为导体壳时，电荷又是如何分布的呢？

（1）、腔内无带电体的情形+Q+++++++++

静电平衡时，导体内表面没有电荷，电荷只能分布在外表面。空腔内电场强度为零，电势处处相等，但不一定为零。S（2）、腔内有带电体的情形

静电平衡时，导体内表面分布的电荷与腔内电荷的代数和为零，净电荷分布在外表面，其数值为导体所带电荷与腔内电荷的代数和。QqSQ+qq-q[例1]已知两金属板带电量分别为q1、q2，求其表面的电荷面密度1、2、3、4。

一个接地的空心导体可以隔绝放在它的空腔内的带电体和外界带电体之间的静电作用，这就是静电屏蔽原理。+++---q1+

2qq1σσσσ2143•ab•a点:b点:联立可解得：§9.2电容、电容器一、孤立导体的电容

1、定义使一孤立导体带电q，它将具有一定的电位U，理论与实验表明，随着q的增加，U将按比例增加，但它们的比值为一定值，即：

式中的C是一个与导体的尺寸和形状有关，而与q、U无关的常数，称之为该孤立导体的电容。物理意义：使导体每升高单位电位所需的电量。2、单位F（法）FPF（106进位）二、电容器及其电容1、电容器电容器是用于存储电荷或电能的装置如果两个导体的布置能使它们带电时所带电荷总是等值异号，那么这样的导体组合就称为电容器。每一个导体称为电容器的一个极板，每一个极板上的电荷的绝对值称为电容器的电量。常见的电容器有：平行板电容器（忽略边缘效应）、圆柱形电容器（同轴柱形）、球面电容器等电容器的符号：2、电容器的电容

式中C是只与两个极板的尺寸、形状及其相对位置有关，而与q、

U无关的常数，称之为电容器的电容。计算：①、求电场的分布（求E）②、求两极板间的电势差（求

U）③、利用电容的定义式求电容（求C）

定义：理论与实验表明，使电容器的电量q增加，电容器两个极板上的电势差

U按比例增加，但其比值为一定值，即：[例1]已知平行板电容器的极板面积为S，板间距离为d，求此平行板电容器的电容（忽略边缘效应）。解：设电容器的带电量为q，电荷面密度分别为+

、-+

-

++++++------d

SE=0（

）②、求

U③、求C①、求E[例2]如图所示，同轴圆柱形内外半径分别为R1、R2，长度为l，求此电容器的电容（忽略边缘效应）。解：设电容器的带电量为q，线电荷密度为

②、求

UrSh③、求CR2R1

l①、求E[例3]如图所示，同心球面形电容器的内外半径分别为R1、R2，求此电容器的电容解：设电容器的带电量为QrQR1R2②、求

U③、求C①、求E[例4]两根平行“无限长”均匀带电直导线，相距d，导线半径都为R（R<<d），设导线上电荷密度分别为+

和-，试求该导体组单位长度的电容。解：①、求EdR+

-•xxRd-Ro②、求

U

③、求C先设q再求C求U求E先设q再求C求

U求E孤立导体:电容器:

§9.3电介质一、电介质的极化

1、电介质：（没有或有极少量的自由电荷）无极分子：分子正负电荷中心重合（H2、CH4等）+CH+H+H+H甲烷分子正负电荷中心重合HO+H++水分子正电荷中心负电荷中心PePe分子电偶极矩有极分子：分子正负电荷中心不重合（H2O、HCl等）2、电介质的极化机理①、无极分子的位移极化无外电场时，分子正负电荷中心重合，整个介质不带电。++fflpe

加上外电场后，在电场作用下介质分子正负电荷中心不再重合，出现诱导电偶极矩。

E外+++++++++++++++++++++++++

+

由于诱导电偶极矩的出现，在介质左右的两个端面上出现极化电荷层。②、有极分子的旋转极化（取向极化）

无外电场时，有极分子的电偶极矩取向不同，整个介质不带电。++++++++++++++++++++

有外电场时，有极分子的固有电偶极矩要受到一个力矩作用。在此力矩作用下，使电偶极矩方向转向和外电场方向接近。

+peffEMp=e×E

转向后在介质左右两端界面上出现极化电荷。

E外++++++++++++++++++++++++++二、电介质中的电场（以平行板电容器为例）

自由电荷的场强E0E介质中的合场强极化电荷的场强E+++++'E-'0E+

0+++++-

0E实验和理论都可得到：

真空空气1.0001橡胶玻璃纯水变压器油3.56~8803其中

为此介质的相对介电常数，是一个只与介质本身性质有关的无量纲的量。几种介质的相对介电常数（绝对介电常数）

对于各向同性均匀的电介质，各处的相同，为一常数；各向同性不均匀的电介质，各处不相同。

适用的条件：

各向同性的均匀电介质充满电场所在空间

对于各向异性的电介质，不再是为一普通的常数，它是包括9个分量的张量。三、电介质中的高斯定理

以充满介质的平行板电容器为例++++++++σσσσ称为电位移矢量由高斯定理可得：

S

此即为介质场中的高斯定理。它指出，通过闭合曲面的电位移通量，等于此闭合曲面内所含的自由电荷。说明：①、D是一个辅助量，方便应用。②、q0指曲面内所包含的自由电荷，与极化电荷无关，E是由空间所有的电荷产生。四、电位移矢量与电场强度的比较

①、E与D的比较

点电荷的场强真空中介质中

无限长带电直线的场强真空中介质中点电荷的电位移无限长带电直线的电位移真空中介质中介质中真空中

电场强度E在不同的介质分界面上不连续，而电位移矢量在不同的介质分界面上具有连续性。

电力线（E线）：起源于正电荷终止于负电荷②、电力线与电位移矢量线的比较终止于负的自由电荷起源于正的自由电荷电位移线（D线）：电位移通量：通过某一面积的电位移线的条数电通量：通过某一面积的电力线的条数③、电通量与电位移通量的比较[例1]如图所示，无限大平板电容器，极板间充满两层各向同性均匀电介质。电介质的界面都平行于电容器极板，两层电介质的相对介电常数各为r1和r2，厚度分别为d1和d2。求此电容器的电容。解：设极板的自由电荷面密度为

0E1E2D1D2+++++

0-0d1d2ABS2S1①、求E②、求

U

③、求C先设q再求C求

U求E介质存在时电容器电容的求解:

求D[例2]半径分别为R1和R3的同心导体组成的球形电容器，中间充满相对介电常数分别为r1和r2的两层各向同性均匀电介质，它们的分界面为一半径为R2的同心球面。试求此电容器的电容。解：①、求E（先求D）R1R2R3o

r1

r2

设电容器带电量为q（使外球壳带负电）r②、求

U

③、求C§9.4电场的能量

一、带电电容器的能量

t时刻，极板带电量q(t)QQUUA+终了时刻dqAuu+q任一时刻q充电过程中：0—Q过程中：

由于U=Ed

所以二、电场的能量则能量密度

e就为:V指此电场存在的所有空间[例1]有一无限大平板电容器，极板间充满两层各向同性均匀电介质。电介质的界面都平行于电容器极板，两层电介质的相对介电常数各为r1和r2，厚度分别为d1和d2。求此电容器储存的能量。解：两层介质中有+++++

0-0d1d2AB

解：该带电金属球产生的电场具有球对称性，电场强度方向沿径向方向，其大小为：aqrdr

先计算半径为r，厚度为dr的球壳层中储存的电能：[例2]有一半径为a，带电量为q的孤立金属球，试求它产生的电场中储存的能量。

则整个电场中储存的能量为：第九章小结一、静电场中的导体静电感应静电平衡（静电屏蔽）二、静电场中的电介质介质的极化（位移极化、转向极化）电位移矢量介质场中的高斯定理三、电场的能量

四、电容和电容器先设q再求C求U求E先设q再求C求

U求E孤立导体:电容器:

存在介质时先设q再求C求

U求E

求D静电场部分小结一、基本概念：二、基本规律：2、当带电体在场中移动时电场力对带电体作功→U

静电场能使场中的导体或介质产生静电感应或极化现象1、静电场对处于场中的带电体有力的作用→库仑定律高斯定理环流定律三、电场的能量

1、电场强度的求解（1）、积分法（选模型）（2）、微分法（求解U）（3）、高斯定理（选高斯面）2、电势的求解：（1）、定义法（2）、叠加法（选模型）四、计算3、电容的求解4、电场能量的计算介质场中求E先求D第十一章真空中稳恒电流的磁场

基本内容

毕奥—沙伐尔定律磁场的高斯定理与安培环路定律磁场对运动电荷和电流的作用磁场的描述§11.1磁场的描述一、磁场

1、基本磁现象①、磁铁具有磁性、磁极，且同号磁极相斥，异号磁极相吸。SNSN②、电流对磁铁有作用力

③、电流与电流之间的相互作用ISNIIFF④、磁场对运动电荷的作用

⑤、运动电荷与运动电荷的相互作用电子束NS+++vvFFFFmmee电力电力磁力磁力2、磁场

磁作用的本质—磁场磁场产生的本质—运动电荷运动电荷AA的磁场B的磁场产生作于用产生作于用运动电荷B

电荷之间的磁相互作用与库仑作用不同，无论静止还是运动的电荷之间都存在库仑相互作用，但只有运动着的电荷之间才存在磁相互作用

磁场是一种物质，具有物质的特性二、磁感应强度

磁感应强度+V+Vqq是描述磁场本身性质的一个物理量1、定义①、用作用在载流小线圈上的磁力矩来定义

（见《普通物理学》第二册，程守洙、江之永编，朱永春等修订，高教出版社，P172-174）②、用磁场对运动电荷作用的磁力来定义2、方向：小磁针N极的指向3、单位：

特斯拉（T）量纲I-1MT-2

1T=1N•S/(C•m)=1N/(A•m)三、磁力线和磁通量

1、磁力线（磁感应线）

描述①、磁力线的疏密程度反映磁感应强度的大小。（规定：

在磁场中每一点上，通过垂直磁感应强度的单位面积的磁力线数目等于该点磁感应强度的值。）②、线上某点的切线方向代表此点的磁感应强度方向。

性质①、闭合线，无头无尾。②、两条磁力线不相交。磁力矩为零时试验线圈磁矩的方向直线电流的磁力线

II圆电流的磁力线通电螺线管的磁力线

II2、磁通量

与静电场类似，引入磁通量的概念

定义：通过磁场中任何一个曲面的磁力线的条数称为该面的磁感应强度通量或磁通量。数学表达式：单位：1T•m2=1Wb（韦伯）§11.2毕奥—沙伐尔定律一、毕奥—沙伐尔定律

1、引言：dq—dEIdl（电流元）—dB

毕奥、沙伐尔（法国）IaNS拉普拉斯的三个实验结果：①、通电导线可看成是由许多电流元Idl所构成，dB

I；②、dB

dlSin

；

③、dBr-2。2、毕奥—沙伐尔定律

rdlI

PB

其中

0=410-7（H•m-1）真空中的磁导率c、任意载流导体在空间某点产生的磁感应强度可用叠加原理求得。注意：3、毕奥—沙伐尔定律的应用步骤：①、选择电流元②、建立坐标系③、统一变量积分求解。例1、求载流长直导线的磁场分布例2、圆电流轴线上的磁场据毕奥—沙伐尔定律写出二、运动电荷的磁场

在载流导体中取一电流元，它的截面积为S，单位体积内有n个带电粒子，每个粒子带有电荷量为q，以平均速率v沿电流流向运动，则单位时间内通过截面S的电荷量为nqvS，即I=nqvS，代入毕—沙定律可得：I++++++v•PdB

dlr其中dN=nSdl为电流元中带电粒子的总数

则有：所以一个电荷在空间P点产生的磁场的磁感应强度为：方向由右手螺旋法则确定，垂直于所组成的平面。§11.3磁场的高斯定理与安培环路定理一、高斯定理穿过任意闭合曲面的磁通量恒等于零。此式说明稳恒磁场是一个无源场二、安培环路定理1、圆形环路

BIrlθ.rBdlIdφdlCos=rd2、平面内任意环路

3、空间中任意环路dlIdldlBBdl⑴由以上各式可得：

讨论：①、若环路绕行方向与磁场方向夹角为钝角，Cos<0则有:I••ABCDl1l2因此⑴式中的I应理解为代数值。②、若环路选在电流外面，即环路中不包含电流，如图示，所以⑴式中的I应理解为环路所包含的电流。则有③、若穿过环路的电流有正、有负（规定流向与环路绕行方向成右手螺旋的电流为正，反之为负）

安培环路定理：磁感应强度沿任一闭合回路的线积分，等于这个闭合回路包围的所有电流的代数和。注意：①、说明稳恒磁场是一个有旋场；②、式中

Ii

是指闭合回路包围的所有电流的代数和；是由空间所有的电流产生；，B并不一定等于零。④、Ii=0时，③、根据叠加的原理，⑴式中的I应写为代数和的形式，即：三、安培环路定理的应用利用安培环路定理求解磁场分布的步骤大致如下：①、根据电流分布分析磁场分布；②、选取适当的闭合环路；③、选择闭合环路绕向，并确定各电流的正负；④、根据安培环路定理列方程求解。例1、均匀通电直长圆柱体的磁场IR圆柱体外距离轴线r的P点①、r>RPr

IRPr圆柱体外距离轴线r的P点②、r<RrRB0思考：电流在截面上分布不均匀的情况

例2、环形螺线管的磁场例3、通电长直螺线管的磁场§11.4磁场对运动电荷和电流的作用一、磁场对运动电荷的作用—洛仑兹力

1、洛仑兹力式中的q为运动电荷的电量，可正可负。只能改变运动电荷的方向2、带电粒子在磁场中的运动形式①、圆周运动②、螺旋线轨道运动二、磁场对载流导线的作用1、安培定律

其中dF为电流元在磁场中所受的力，B为电流元所在处的磁感应强度。根据叠加原理则有：IBαβ一个电子所受的力：电流元所受的总力：由于电流元与磁场方向的夹角为β，而不是α，但sinα=sinβ故dF=BIdlsinβ写成矢量式为：2、例1如图所示，有一刚性闭合线圈，bcd是半径为R的半圆弧，线圈中通有电流