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文档简介
山西省浑源县2024届高三复习月考数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知平面向量,满足,,且,则()A.3 B. C. D.52.已知椭圆(a>b>0)与双曲线(a>0,b>0)的焦点相同,则双曲线渐近线方程为()A. B.C. D.3.已知正方体的棱长为,,,分别是棱,,的中点,给出下列四个命题:①;②直线与直线所成角为;③过,,三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;④三棱锥的体积为.其中,正确命题的个数为()A. B. C. D.4.近年来,随着网络的普及和智能手机的更新换代,各种方便的相继出世,其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用的主要用途,随机抽取了名大学生进行调查,各主要用途与对应人数的结果统计如图所示,现有如下说法:①可以估计使用主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数;②可以估计不足的大学生使用主要玩游戏;③可以估计使用主要找人聊天的大学生超过总数的.其中正确的个数为()A. B. C. D.5.在空间直角坐标系中,四面体各顶点坐标分别为:.假设蚂蚁窝在点,一只蚂蚁从点出发,需要在,上分别任意选择一点留下信息,然后再返回点.那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是()A. B. C. D.6.设,,是非零向量.若,则()A. B. C. D.7.已知为虚数单位,若复数,则A. B.C. D.8.若不等式对恒成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.9.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,它历史悠久,风格独特,神兽人们喜爱.下图即是一副窗花,是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点,则该点不落在任何一个小正方形内的概率是()A. B. C. D.10.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛马羊,要求赔偿五斗粮,三畜户主愿赔偿,牛马羊吃得异样.马吃了牛的一半,羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少?它的大意是放牧人放牧时粗心大意,牛、马、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食(1斗=10升),三畜的主人同意赔偿,但牛、马、羊吃的青苗量各不相同.马吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是马的一半.问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食?()A. B. C. D.11.已知复数z=2i1-i,则A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺莞生一日,长一尺蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长倍?”意思是:“今有蒲草第天长高尺,芜草第天长高尺以后,蒲草每天长高前一天的一半,芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍?”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是()(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:,)A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.曲线在点处的切线方程为________.14.若的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中各项的系数和是________.15.已知函数,若方程的解为,(),则_______;_______.16.如图,直线平面,垂足为,三棱锥的底面边长和侧棱长都为4,在平面内,是直线上的动点,则点到平面的距离为_______,点到直线的距离的最大值为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知动圆Q经过定点,且与定直线相切(其中a为常数,且).记动圆圆心Q的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线?(2)设点P的坐标为,过点P作曲线C的切线,切点为A,若过点P的直线m与曲线C交于M,N两点,则是否存在直线m,使得?若存在,求出直线m斜率的取值范围;若不存在,请说明理由.18.(12分)在中,、、的对应边分别为、、,已知,,.(1)求;(2)设为中点,求的长.19.(12分)在中,角的对边分别为,且满足.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若的面积为,,求和的值.20.(12分)为了拓展城市的旅游业,实现不同市区间的物资交流,政府决定在市与市之间建一条直达公路,中间设有至少8个的偶数个十字路口,记为,现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树,且种植每种树木的概率均为.(1)现征求两市居民的种植意见,看看哪一种植物更受欢迎,得到的数据如下所示:A市居民B市居民喜欢杨树300200喜欢木棉树250250是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性;(2)若从所有的路口中随机抽取4个路口,恰有个路口种植杨树,求的分布列以及数学期望;(3)在所有的路口种植完成后,选取3个种植同一种树的路口,记总的选取方法数为,求证:.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821.(12分)如图是圆的直径,垂直于圆所在的平面,为圆周上不同于的任意一点(1)求证:平面平面;(2)设为的中点,为上的动点(不与重合)求二面角的正切值的最小值22.(10分)如图,在斜三棱柱中,平面平面,,,,均为正三角形,E为AB的中点.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)求斜三棱柱截去三棱锥后剩余部分的体积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】
先求出,再利用求出,再求.【题目详解】解:由,所以,,,故选:B【题目点拨】考查向量的数量积及向量模的运算,是基础题.2、A【解题分析】
由题意可得,即,代入双曲线的渐近线方程可得答案.【题目详解】依题意椭圆与双曲线即的焦点相同,可得:,即,∴,可得,双曲线的渐近线方程为:,故选:A.【题目点拨】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的求法,考查方程思想和运算能力,属于基础题.3、C【解题分析】
画出几何体的图形,然后转化判断四个命题的真假即可.【题目详解】如图;连接相关点的线段,为的中点,连接,因为是中点,可知,,可知平面,即可证明,所以①正确;直线与直线所成角就是直线与直线所成角为;正确;过,,三点的平面截该正方体所得的截面为五边形;如图:是五边形.所以③不正确;如图:三棱锥的体积为:由条件易知F是GM中点,所以,而,.所以三棱锥的体积为,④正确;故选:.【题目点拨】本题考查命题的真假的判断与应用,涉及空间几何体的体积,直线与平面的位置关系的应用,平面的基本性质,是中档题.4、C【解题分析】
根据利用主要听音乐的人数和使用主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较,可判断①的正误;计算使用主要玩游戏的大学生所占的比例,可判断②的正误;计算使用主要找人聊天的大学生所占的比例,可判断③的正误.综合得出结论.【题目详解】使用主要听音乐的人数为,使用主要看社区、新闻、资讯的人数为,所以①正确;使用主要玩游戏的人数为,而调查的总人数为,,故超过的大学生使用主要玩游戏,所以②错误;使用主要找人聊天的大学生人数为,因为,所以③正确.故选:C.【题目点拨】本题考查统计中相关命题真假的判断,计算出相应的频数与频率是关键,考查数据处理能力,属于基础题.5、C【解题分析】
将四面体沿着劈开,展开后最短路径就是的边,在中,利用余弦定理即可求解.【题目详解】将四面体沿着劈开,展开后如下图所示:最短路径就是的边.易求得,由,知,由余弦定理知其中,∴故选:C【题目点拨】本题考查了余弦定理解三角形,需熟记定理的内容,考查了学生的空间想象能力,属于中档题.6、D【解题分析】试题分析:由题意得:若,则;若,则由可知,,故也成立,故选D.考点:平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是:①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易);②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难);③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.7、B【解题分析】
因为,所以,故选B.8、B【解题分析】
转化为,构造函数,利用导数研究单调性,求函数最值,即得解.【题目详解】由,可知.设,则,所以函数在上单调递增,所以.所以.故的取值范围是.故选:B【题目点拨】本题考查了导数在恒成立问题中的应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.9、D【解题分析】
由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解.【题目详解】由题,窗花的面积为,其中小正方形的面积为,所以所求概率,故选:D【题目点拨】本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.10、D【解题分析】
设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,,结合等比数列的性质可求出答案.【题目详解】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,,.故选:D.【题目点拨】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.11、C【解题分析】分析:根据复数的运算,求得复数z,再利用复数的表示,即可得到复数对应的点,得到答案.详解:由题意,复数z=2i1-i所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-1),位于复平面内的第三象限,故选C.点睛:本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示,其中根据复数的四则运算求解复数z是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.12、C【解题分析】
由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度,进而可得:,解出即可得出.【题目详解】由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为据题意得:,解得2n=12,∴n21.故选:C.【题目点拨】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】
求导,得到和,利用点斜式即可求得结果.【题目详解】由于,,所以,由点斜式可得切线方程为.故答案为:.【题目点拨】本题考查利用导数的几何意义求切线方程,属基础题.14、【解题分析】
由题意得出展开式中共有11项,;再令求得展开式中各项的系数和.【题目详解】由的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以展开式中共有11项,所以;令,可求得展开式中各项的系数和是:.故答案为:1.【题目点拨】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用,考查二项式展开式各项系数和的求法,属于基础题.15、【解题分析】
求出在上的对称轴,依据对称性可得的值;由可得,依据可求出的值.【题目详解】解:令,解得因为,所以关于对称.则.由,则由可知,,又因为,所以,则,即故答案为:;.【题目点拨】本题考查了三角函数的对称轴,考查了诱导公式,考查了同角三角函数的基本关系.本题的易错点在于没有正确判断的取值范围,导致求出.在求的对称轴时,常用整体代入法,即令进行求解.16、【解题分析】
三棱锥的底面边长和侧棱长都为4,所以在平面的投影为的重心,利用解直角三角形,即可求出点到平面的距离;,可得点是以为直径的球面上的点,所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离,最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径,即可求出结论.【题目详解】边长为,则中线长为,点到平面的距离为,点是以为直径的球面上的点,所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离,最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径.又三棱锥的底面边长和侧棱长都为4,以下求过和的两个平行平面间距离,分别取中点,连,则,同理,分别过做,直线确定平面,直线确定平面,则,同理,为所求,,,所以到直线最大距离为.故答案为:;.【题目点拨】本题考查空间中的距离、正四面体的结构特征,考查空间想象能力,属于较难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),抛物线;(2)存在,.【解题分析】
(1)设,易得,化简即得;(2)利用导数几何意义可得,要使,只需.联立直线m与抛物线方程,利用根与系数的关系即可解决.【题目详解】(1)设,由题意,得,化简得,所以动圆圆心Q的轨迹方程为,它是以F为焦点,以直线l为准线的抛物线.(2)不妨设.因为,所以,从而直线PA的斜率为,解得,即,又,所以轴.要使,只需.设直线m的方程为,代入并整理,得.首先,,解得或.其次,设,,则,..故存在直线m,使得,此时直线m的斜率的取值范围为.【题目点拨】本题考查直线与抛物线位置关系的应用,涉及抛物线中的存在性问题,考查学生的计算能力,是一道中档题.18、(1);(2).【解题分析】
(1)直接根据特殊角的三角函数值求出,结合正弦定理求出;(2)结合第一问的结论以及余弦定理即可求解.【题目详解】解:(1)∵,且,∴,由正弦定理,∴,∵∴锐角,∴(2)∵,∴∴∴在中,由余弦定理得∴【题目点拨】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.考查了学生对三角函数基础知识的综合运用.19、(Ⅰ);(Ⅱ),.【解题分析】
(Ⅰ)运用正弦定理和二角和的正弦公式,化简,即可求出角的大小;(Ⅱ)通过面积公式和,可以求出,这样用余弦定理可以求出,用余弦定理求出,根据同角的三角函数关系,可以求出,这样可以求出,最后利用二角差的余弦公式求出的值.【题目详解】(Ⅰ)由正弦定理可知:,已知,所以,,所以有.(Ⅱ),由余弦定理可知:,,.【题目点拨】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函数关系,考查了运算能力.20、(1)没有(2)分布列见解析,(3)证明见解析【解题分析】
(1)根据公式计算卡方值,再对应卡值表判断..(2)根据题意,随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,分别求得概率,写出分布列,根据期望公式求值.(3)因为至少8个的偶数个十字路口,所以,即.要证,即证,根据组合数公式,即证;易知有.成立.设个路口中有个路口种植杨树,下面分类讨论①当时,由论证.②当时,由论证.③当时,,设,再论证当时,取得最小值即可.【题目详解】(1)本次实验中,,故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性.(2)依题意,的可能取值为0,1,2,3,4,故,,01234故.(3)∵,∴.要证,即证;首先证明:对任意,有.证明:因为,所以.设个路口中有个路口种植杨树,①当时,,因为,所以,于是.②当时,,同上可得③当时,,设,当时,,显然,当即时,,当即时,,即;,因此,即.综上,,即.【题目点拨】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列以及
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