2024届北京市西城区41中高三下学期第一次摸底考试数学试题理试卷

2024届北京市西城区41中高三下学期第一次摸底考试数学试题理试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为()A． B． C． D．2．设为虚数单位，复数，则实数的值是（）A．1 B．-1 C．0 D．23．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，的面积为，则（）A．5 B． C．4 D．164．若复数满足，则（）A． B． C． D．5．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（）A． B． C． D．6．如图所示，为了测量、两座岛屿间的距离，小船从初始位置出发，已知在的北偏西的方向上，在的北偏东的方向上，现在船往东开2百海里到达处，此时测得在的北偏西的方向上，再开回处，由向西开百海里到达处，测得在的北偏东的方向上，则、两座岛屿间的距离为（）A．3 B． C．4 D．7．若函数在时取得极值，则（）A． B． C． D．8．设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为()A． B． C． D．9．已知非零向量，满足，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解:10．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则为()A． B．40 C．16 D．11．设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数（）A． B． C．4 D．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知全集，集合则_____．14．如图，在平行四边形中，，,则的值为_____.15．已知实数满足，则的最大值为________.16．已知集合，若，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）设为的左焦点，点为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点，（ⅰ）证明：平分线段（其中为坐标原点）；（ⅱ）当取最小值时，求点的坐标．18．（12分）已知函数.（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值．19．（12分）已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．20．（12分）已知函数（，），.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知分别是的内角的对边，且．（Ⅰ）求．（Ⅱ）若，，求的面积．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的值．22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线交曲线于两点，为中点.（1）求曲线的直角坐标方程和点的轨迹的极坐标方程；（2）若，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出关系，求出离心率.【题目详解】设，则由椭圆的定义，可以得到,在中，有，解得在中，有整理得，故选C项.【题目点拨】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出关系，得到离心率.属于中档题.2、A【解题分析】

根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得的值.【题目详解】复数，由复数乘法运算化简可得，所以由复数定义可知，解得，故选：A.【题目点拨】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.3、C【解题分析】

根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得,再根据面积公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【题目详解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故选：C【题目点拨】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.4、B【解题分析】

由题意得,,求解即可.【题目详解】因为,所以.故选:B.【题目点拨】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.5、B【解题分析】

利用等差数列的性质求出的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出的值.【题目详解】由等差数列的性质可得，.故选：B.【题目点拨】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.6、B【解题分析】

先根据角度分析出的大小，然后根据角度关系得到的长度，再根据正弦定理计算出的长度，最后利用余弦定理求解出的长度即可.【题目详解】由题意可知：，所以，，所以，所以，又因为，所以，所以.故选：B.【题目点拨】本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键.7、D【解题分析】

对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果.【题目详解】因为，所以，又函数在时取得极值，所以，解得.故选D【题目点拨】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.8、B【解题分析】

由圆过原点，知中有一点与原点重合，作出图形，由，，得，从而直线倾斜角为，写出点坐标，代入抛物线方程求出参数，可得点坐标，从而得三角形面积．【题目详解】由题意圆过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为，如图，由于，，∴，∴，，∴点坐标为，代入抛物线方程得，，∴，．故选：B.【题目点拨】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点是其中一个交点，从而是等腰直角三角形，于是可得点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．9、C【解题分析】

根据向量的数量积运算，由向量的关系，可得选项.【题目详解】，，∴等价于，故选：C.【题目点拨】本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.10、D【解题分析】

如图所示，过分别作于，于，利用和，联立方程组计算得到答案.【题目详解】如图所示：过分别作于，于.，则，根据得到：，即，根据得到：，即，解得，，故.故选：.【题目点拨】本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.11、B【解题分析】

画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.【题目详解】，画出函数图像，如图所示：根据图像知：，，故，且.故.故选：.【题目点拨】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.12、D【解题分析】

根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长．【题目详解】解：复数z＝a+bi，a、b∈R；∵2z，∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，即，解得a＝3，b＝4，∴z＝3+4i，∴|z|．故选D．【题目点拨】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据补集的定义求解即可.【题目详解】解：．故答案为．【题目点拨】本题主要考查了补集的运算,属于基础题.14、【解题分析】

根据ABCD是平行四边形可得出，然后代入AB＝2，AD＝1即可求出的值．【题目详解】∵AB＝2，AD＝1，∴＝1﹣4＝﹣1．故答案为：﹣1．【题目点拨】本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．15、【解题分析】

作出不等式组所表示的平面区域，将目标函数看作点与可行域的点所构成的直线的斜率，当直线过时，直线的斜率取得最大值，代入点A的坐标可得答案.【题目详解】画出二元一次不等式组所表示的平面区域，如下图所示，由得点，目标函数表示点与可行域的点所构成的直线的斜率，当直线过时，直线的斜率取得最大值，此时的最大值为.故答案为：.【题目点拨】本题考查求目标函数的最值，关键在于明确目标函数的几何意义，属于中档题.16、1【解题分析】

分别代入集合中的元素，求出值，再结合集合中元素的互异性进行取舍可解.【题目详解】依题意，分别令，，，由集合的互异性，解得，则.故答案为：【题目点拨】本题考查集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．确定集合中元素，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（ⅰ）见解析（ⅱ）点的坐标为．【解题分析】

（1）由题意得，再由的关系求出，即可得椭圆的标准方程；（2）（i）设，的中点为，，设直线的方程为，代入椭圆方程中，运用根与系数的关系和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证；（ii）利用两点间的距离公式及弦长公式将表示出来，由换元法的对勾函数的单调性，可得取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点的坐标.【题目详解】解：（1）由题意得，，所以，所以椭圆方程为（2）设，的中点为，（ⅰ）证明：由，可设直线的方程为，代入椭圆方程，得，所以，所以，则直线的斜率为，因为，所以，所以三点共线，所以平分线段；（ii）由两点间的距离公式得由弦长公式得所以，令，则，由在上递增，可得，即时，取得最小值4，所以当取最小值时，点的坐标为【题目点拨】此题考那可是椭圆方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，运用根与系数的关系和中点坐标公式，同时考查弦长公式，属于较难题.18、（1）；（2）见解析【解题分析】

将函数解析式化简即可求出函数的最小正周期根据正弦函数的图象和性质即可求出函数在定义域上的最大值和最小值【题目详解】（Ⅰ）由题意得原式的最小正周期为.（Ⅱ），.当，即时，；当，即时，.综上，得时，取得最小值为0；当时，取得最大值为.【题目点拨】本题主要考查了两角和与差的余弦公式展开，辅助角公式，三角函数的性质等，较为综合，也是常考题型，需要计算正确，属于基础题19、（1）证明见解析；（2）最小值为1【解题分析】

（1）利用基本不等式可得,再根据0＜xy＜1时,即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz.（2）由＝,得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.【题目详解】（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，即．∵，，，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥1，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为1．【题目点拨】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．20、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）求导得到，讨论和两种情况，得到答案.（Ⅱ）变换得到，设，求，令，故在单调递增，存在使得，，计算得到答案.【题目详解】（Ⅰ）（），当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（Ⅱ）（），即，（）.令（），则，令，，故在单调递增，注意到，，于是存在使得，可知在单调递增，在单调递减.∴.综上知，.【题目点拨】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，意在考查学生对于导数知识的综合应用能力.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解题分析】

（Ⅰ）由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求；（Ⅱ）由余弦定理可求，然后结合三角形的面积公式可求；（Ⅲ）结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解．【题目详解】（Ⅰ）因为，所以，所以，由正弦定理可得，；（Ⅱ）由余弦定理可得，，整理可得，，解可得，，因为，所以；（Ⅲ）由于，．所以．【题目点拨】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式，二倍角公式及三角形的面积公式的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．22、（1），；（2）或【解题分析】

（1）根据曲线的参数方程消去参数，可得