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文档简介
湖南省天壹名校2024届高三下第二次检测试题考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下列结论中正确的个数是()①已知函数是一次函数,若数列通项公式为,则该数列是等差数列;②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等,则;③在中,“”是“”的必要不充分条件;④若,则的最大值为2.A.1 B.2 C.3 D.02.若是定义域为的奇函数,且,则A.的值域为 B.为周期函数,且6为其一个周期C.的图像关于对称 D.函数的零点有无穷多个3.已知向量,,若,则()A. B. C. D.4.已知,是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列,且,则椭圆的离心率为A. B. C. D.5.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是()A. B. C. D.6.函数的图象为C,以下结论中正确的是()①图象C关于直线对称;②图象C关于点对称;③由y=2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③7.若函数的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数的图像可能是()A. B. C. D.8.将函数的图象向左平移个单位长度,得到的函数为偶函数,则的值为()A. B. C. D.9.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若,则λ+μ的值为()A. B. C. D.10.若双曲线:的一条渐近线方程为,则()A. B. C. D.11.一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行,则在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为()A. B. C. D.12.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为、、、、五个等级.某班共有名学生且全部选考物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中,这两科等级均为的学生有人,这两科中仅有一科等级为的学生,其另外一科等级为,则该班()A.物理化学等级都是的学生至多有人B.物理化学等级都是的学生至少有人C.这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人D.这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为____________.14.设集合,,则____________.15.等腰直角三角形内有一点P,,,,,则面积为______.16.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)百年大计,教育为本.某校积极响应教育部号召,不断加大拔尖人才的培养力度,为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.(其中表示通过自主招生获得降分资格的学生人数,表示被清华、北大等名校录取的学生人数)年份(届)2014201520162017201841495557638296108106123(1)通过画散点图发现与之间具有线性相关关系,求关于的线性回归方程;(保留两位有效数字)(2)若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人,预测2019年高考该校考人名校的人数;(3)若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传,在选取的5个人中再选取2人进行演讲,求进行演讲的两人是2018年毕业的人数的分布列和期望.参考公式:,参考数据:,,,18.(12分)已知函数,函数.(Ⅰ)判断函数的单调性;(Ⅱ)若时,对任意,不等式恒成立,求实数的最小值.19.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;(2)设为曲线上位于第一,二象限的两个动点,且,射线交曲线分别于,求面积的最小值,并求此时四边形的面积.20.(12分)车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件,对之前加工的100个零件的加工时间进行统计,结果如下:加工1个零件用时(分钟)20253035频数(个)15304015以加工这100个零件用时的频率代替概率.(1)求的分布列与数学期望;(2)刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座,用时40分钟,另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.21.(12分)已知函数.(1)若函数,试讨论的单调性;(2)若,,求的取值范围.22.(10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=4,.(1)求A的余弦值;(2)求△ABC面积的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】
根据等差数列的定义,线面关系,余弦函数以及基本不等式一一判断即可;【题目详解】解:①已知函数是一次函数,若数列的通项公式为,可得为一次项系数),则该数列是等差数列,故①正确;②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等,则与可以相交或平行,故②错误;③在中,,而余弦函数在区间上单调递减,故“”可得“”,由“”可得“”,故“”是“”的充要条件,故③错误;④若,则,所以,当且仅当时取等号,故④正确;综上可得正确的有①④共2个;故选:B【题目点拨】本题考查命题的真假判断,主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质,考查运算能力和推理能力,属于中档题.2、D【解题分析】
运用函数的奇偶性定义,周期性定义,根据表达式判断即可.【题目详解】是定义域为的奇函数,则,,又,,即是以4为周期的函数,,所以函数的零点有无穷多个;因为,,令,则,即,所以的图象关于对称,由题意无法求出的值域,所以本题答案为D.【题目点拨】本题综合考查了函数的性质,主要是抽象函数的性质,运用数学式子判断得出结论是关键.3、A【解题分析】
利用平面向量平行的坐标条件得到参数x的值.【题目详解】由题意得,,,,解得.故选A.【题目点拨】本题考查向量平行定理,考查向量的坐标运算,属于基础题.4、D【解题分析】
如图所示,设依次构成等差数列,其公差为.根据椭圆定义得,又,则,解得,.所以,,,.在和中,由余弦定理得,整理解得.故选D.5、D【解题分析】
根据三视图判断出几何体为正四棱锥,由此计算出几何体的表面积.【题目详解】根据三视图可知,该几何体为正四棱锥.底面积为.侧面的高为,所以侧面积为.所以该几何体的表面积是.故选:D【题目点拨】本小题主要考查由三视图判断原图,考查锥体表面积的计算,属于基础题.6、B【解题分析】
根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识,判断出正确的结论.【题目详解】因为,又,所以①正确.,所以②正确.将的图象向右平移个单位长度,得,所以③错误.所以①②正确,③错误.故选:B【题目点拨】本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心,考查三角函数图象变换,属于基础题.7、B【解题分析】因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象,即可排除;对B满足函数定义,故符合;对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况,不符合函数的定义,从而可以否定;对D因为值域当中有的元素没有原象,故可否定.故选B.8、D【解题分析】
利用三角函数的图象变换求得函数的解析式,再根据三角函数的性质,即可求解,得到答案.【题目详解】将将函数的图象向左平移个单位长度,可得函数又由函数为偶函数,所以,解得,因为,当时,,故选D.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的图象变换,以及三角函数的性质的应用,其中解答中熟记三角函数的图象变换,合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.9、B【解题分析】
建立平面直角坐标系,用坐标表示,利用,列出方程组求解即可.【题目详解】建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).不妨设AB=1,则CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),解得则.故选:B【题目点拨】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数,属于中档题.10、A【解题分析】
根据双曲线的渐近线列方程,解方程求得的值.【题目详解】由题意知双曲线的渐近线方程为,可化为,则,解得.故选:A【题目点拨】本小题主要考查双曲线的渐近线,属于基础题.11、A【解题分析】
求出满足条件的正的面积,再求出满足条件的正内的点到顶点、、的距离均不小于的图形的面积,然后代入几何概型的概率公式即可得到答案.【题目详解】满足条件的正如下图所示:其中正的面积为,满足到正的顶点、、的距离均不小于的图形平面区域如图中阴影部分所示,阴影部分区域的面积为.则使取到的点到三个顶点、、的距离都大于的概率是.故选:A.【题目点拨】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用,考查计算能力,属于中等题.12、D【解题分析】
根据题意分别计算出物理等级为,化学等级为的学生人数以及物理等级为,化学等级为的学生人数,结合表格中的数据进行分析,可得出合适的选项.【题目详解】根据题意可知,名学生减去名全和一科为另一科为的学生人(其中物理化学的有人,物理化学的有人),表格变为:物理化学对于A选项,物理化学等级都是的学生至多有人,A选项错误;对于B选项,当物理和,化学都是时,或化学和,物理都是时,物理、化学都是的人数最少,至少为(人),B选项错误;对于C选项,在表格中,除去物理化学都是的学生,剩下的都是一科为且最高等级为的学生,因为都是的学生最少人,所以一科为且最高等级为的学生最多为(人),C选项错误;对于D选项,物理化学都是的最多人,所以两科只有一科等级为且最高等级为的学生最少(人),D选项正确.故选:D.【题目点拨】本题考查合情推理,考查推理能力,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】
根据渐近线得到,,计算得到离心率.【题目详解】,一条渐近线方程为:,故,,.故答案为:.【题目点拨】本题考查了双曲线的渐近线和离心率,意在考查学生的计算能力.14、【解题分析】
先解不等式,再求交集的定义求解即可.【题目详解】由题,因为,解得,即,则,故答案为:【题目点拨】本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式.15、【解题分析】
利用余弦定理计算,然后根据平方关系以及三角形面积公式,可得结果.【题目详解】设由题可知:由,,,所以化简可得:则或,即或由,所以所以故答案为:【题目点拨】本题主要考查余弦定理解三角形,仔细观察,细心计算,属基础题.16、【解题分析】
根据三视图知该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体,结合图中数据求出它的体积.【题目详解】根据三视图知,该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体,如图所示:结合图中数据,计算它的体积为.故答案为:.【题目点拨】本题考查了根据三视图求简单组合体的体积应用问题,是基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)117人;(3)分布列见解析,【解题分析】
(1)首先求得和,再代入公式即可列方程,由此求得关于的线性回归方程;(2)根据回归直线方程计算公式,计算可得人数;(3)和被选中的人数分别为2和3,利用超几何分布分布列的计算公式,计算出的分布列,并求得数学期望.【题目详解】(1)由题,所以线性回归方程为(若第一问求出.)(2)当时,所以预测2019年高考该校考入名校的人数约为117人(3)由题知和被选中的人数分别为2和3,进行演讲的两人是2018年毕业的人数的所有可能取值为0,1,2,,的分布列为012【题目点拨】本小题主要考查平均数有关计算,考查回归直线方程的计算,考查期望的计算,考查超几何分布和数据处理能力,属于中档题.18、(1)故函数在上单调递增,在上单调递减;(2).【解题分析】试题分析:(Ⅰ)根据题意得到的解析式和定义域,求导后根据导函数的符号判断单调性.(Ⅱ)分析题意可得对任意,恒成立,构造函数,则有对任意,恒成立,然后通过求函数的最值可得所求.试题解析:(I)由题意得,,∴.当时,,函数在上单调递增;当时,令,解得;令,解得.故函数在上单调递增,在上单调递减.综上,当时,函数在上单调递增;当时,函数在上单调递增,在上单调递减.(II)由题意知.,当时,函数单调递增.不妨设,又函数单调递减,所以原问题等价于:当时,对任意,不等式恒成立,即对任意,恒成立.记,由题意得在上单调递减.所以对任意,恒成立.令,,则在上恒成立.故,而在上单调递增,所以函数在上的最大值为.由,解得.故实数的最小值为.19、(1);(2)面积的最小值为;四边形的面积为【解题分析】
(1)将曲线消去参数即可得到的普通方程,将,代入曲线的极坐标方程即可;(2)由(1)得曲线的极坐标方程,设,,,利用方程可得,再利用基本不等式得,即可得,根据题意知,进而可得四边形的面积.【题目详解】(1)由曲线的参数方程为(为参数)消去参数得曲线的极坐标方程为,即,所以,曲线的直角坐标方程.(2)依题意得的极坐标方程为设,,,则,,故,当且仅当(即)时取“=”,故,即面积的最小值为.此时,故所求四边形的面积为.【题目点拨】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20、(1)分布列见解析,;(2)0.8575【解题分析】
(1)根据题目所给数据求得分布列,并计算出数学期望.(2)根据对立事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式,计算出刘师傅讲座及加工个零件作示范的总时间不超过分钟的概率.【题目详解】(1)的分布列如下:20253035
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