百分数·应用篇其二：含比的百分数应用题-2023-2024学年六年级数学上册典型例题解析苏教版

篇首寄语我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生，但面对琳琅满目的资料时，总是费时费力才能找到自己心仪的那份，编者也常常为此苦恼。于是，编者就常想，如果是自己来创作一份资料又该怎样？再结合自身教学经验和学生实际情况后，最终创作出了一个既适宜课堂教学讲解，又适宜课后作业练习，还适宜阶段复习的大综合系列。《2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！101数学工作室2023年11月1日2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列第六单元百分数·应用篇其二：含比的百分数应用题【六大考点】专题解读本专题是第六单元百分数·应用篇其二：含比的百分数应用题。本部分内容是比与百分数的结合问题，考点考题综合性较强，部分考题难度较大，建议根据学生掌握情况选择性讲解部分考点，一共划分为六个考点，欢迎使用。目录导航TOC\o"1-1"\h\u【考点一】比与百分数其一：求比问题 3【考点二】比与百分数其二：求分率关系 7【考点三】按比例分配问题其一：基础型 9【考点四】按比例分配问题其二：提高型 12【考点五】按比例分配问题其三：拓展型 15【考点六】不变量问题 17典型例题【考点一】比与百分数其一：求比问题。【方法点拨】已知一个数是另一个数的几分之几，先找到对应数量的份数，再根据份数列出比。【典型例题】甲班男生人数是女生人数的，男生人数与女生人数的比是()，女生人数占全班人数的()%，男生人数比女生人数少()%。【答案】3∶562.540【分析】根据题意，甲班男生人数是女生人数的，假设男生有3人，则女生有5人，根据比的意义，求出男生与女生人数比；用女生人数÷全班人数×100%，代入数据，求出女生人数占全班人数的百分比；用男生与女生的人数差，除以女生人数，再乘100%，即可求出男生人数比女生人数少的百分比，据此解答。【详解】假设男生有3人，则女生有5人，全班人数有3＋5＝8（人）男生人数与女生人数比：3∶55÷（3＋5）×100%＝5÷8×100%＝0.625×100%＝62.5%（5－3）÷5×100%＝2÷5×100%＝0.4×100%＝40%六甲班男生人数是女生人数的，男生人数与女生人数的比是3∶5，女生人数占全班人数的62.5%，男生人数比女生人数少40%。【点睛】熟练掌握比的意义，求一个数是另一个数的百分之几，求一个数比另一个数多或少百分之几的计算方法是解答本题的关键。【对应练习1】小丽的体重是小刚的。小丽的体重∶小刚的体重＝()∶()，小刚的体重比小丽多()%。【答案】4525【分析】由“小丽的体重是小刚的”可知：小刚的体重是单位“1”，小丽的体重所对应的分率是。根据比的意义，小丽与小刚的体重比是∶1，再根据比的基本性质，把∶1化成最简整数比。求一个数比另一个数多百分之几的解题方法：两数差量÷单位“1”的量。据此用（1－）÷可求出小刚的体重比小丽多百分之几。【详解】∶1＝（×5）∶（1×5）＝4∶5（1－）÷＝÷＝×＝＝25%所以，小丽的体重∶小刚的体重＝4∶5，小刚的体重比小丽多25%。【点睛】此题主要考查了比的意义、比的化简、求一个数比另一个数多百分之几的问题。【对应练习2】学校书法组中女生人数占60%，女生和男生人数的比是()∶()，男生人数与总人数的比值是()，如果书法组中有女生12人，则男生有()人。【答案】328【分析】（1）根据“书法组的女生人数占60%”，可知书法组的男生人数占1－60%＝40%，进而写出男生和女生人数对应的分率比，根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变。据此解答即可；（2）把书法组的总人数看作单位“1”，再写出男生人数与总人数的比，进而根据求比值的方法，用比的前项除以后项即得比值；（3）根据男生人数占总人数的1－60%＝40%，有12人，已知女生有12人，用12除以对应分率，即可求得单位“1”的量，即总人数，进而用总人数乘男生人数占的分率就是男生人数。【详解】（1）60%∶（1－60%）＝60%∶40%＝∶＝（×100）∶（×100）＝60∶40＝（60÷20）∶40÷20＝3∶2即女生和男生人数的比是3∶2。（2）（1－60%）∶1＝40%∶1＝0.4∶1＝（0.4×5）∶（1×5）＝2∶5＝即男生人数与总人数的比值是。（3）12÷60%×（1－60%）＝12÷0.6×0.4＝20×0.4＝8（人）如果书法组中有女生12人，则男生有8人。【点睛】解答此题用到的知识点：比的意义、求比值的方法以及百分数和比的应用。【对应练习3】某班男生比女生少20%，女生人数占全班人数的()，男生与女生人数的比是()。【答案】4∶5【分析】根据“男生比女生少20%”，可以设女生有10人，把女生人数看作单位“1”，则男生人数是女生的（1－20%），单位“1”已知，用女生人数乘（1－20%），即可求出男生人数；用男生人数加上女生人数，求出全班人数；再用女生人数除以全班人数，求出女生人数占全班人数的几分之几；根据比的意义，写出男生人数与女生人数的比，再化简比即可。【详解】设女生有10人。男生人数：10×（1－20%）＝10×0.8＝8（人）女生人数占全班人数的：10÷（8＋10）＝10÷18＝男生与女生人数的比是：8∶10＝（8÷2）∶（10÷2）＝4∶5女生人数占全班人数的，男生与女生人数的比是4∶5。【点睛】本题考查百分数乘法的应用、分数与除法的关系、比的意义以及化简比。先利用赋值法，设出女生人数，然后根据百分数乘法的意义求出男生人数是解题的关键。【考点二】比与百分数其二：求分率关系。【方法点拨】已知比，根据对应量的对应比，把对应的比数看作对应的份数，最后再根据问题解答。【典型例题】甲、乙两个数的比是2∶5，则甲数是乙数的()%，甲数比乙数少()%。【答案】4060【分析】根据题意，甲、乙两个数的比是2∶5，可以把甲数看作2份，则乙数看作5份；求甲数是乙数的百分之几，用甲数除以乙数即可；求甲数比乙数少百分之几，先用减法求出少的份数，再除以乙数即可。【详解】2÷5×100%＝0.4×100%＝40%甲数是乙数的40%。（5－2）÷5×100%＝3÷5×100%＝0.6×100%＝60%甲数比乙数少60%。【点睛】本题考查比的意义以及百分数的应用，先把比看作份数，然后根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算；求一个数比另一个数少百分之几，用两数的差值除以另一个数。【对应练习1】商店运进桔子120筐，梨的筐数和桔子的筐数的比是5∶3，桔子占梨的()%，桔子比梨少()%。【答案】6040【分析】已知梨的筐数和桔子的筐数的比是5∶3，可以把梨的筐数看作5份，桔子的筐数看作3份；求桔子占梨的百分之几，用桔子的份数除以梨的份数即可；求桔子比梨少百分之几，先用减法求出少的份数，再除以梨的份数即可。【详解】3÷5×100%＝0.6×100%＝60%（5－3）÷5×100%＝2÷5×100%＝0.4×100%＝40%桔子占梨的60%，桔子比梨少40%。【点睛】本题考查比的意义以及百分数的实际应用，先把比看作份数，然后根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算；求一个数比另一个数多或少百分之几，用两数的差值除以另一个数。【对应练习2】学校举行运动会，六一班参赛人数与六二班参赛人数的比是2∶3，六一班参赛的人数占两班参赛总人数的()%。【答案】40【分析】根据六一班参赛人数与六二班参赛人数的比是2∶3，将六一班参赛人数看作2，六二班参赛人数看作3，六一班参赛的人数÷两班参赛总人数＝六一班参赛的人数占两班参赛总人数的百分之几。【详解】2÷（2＋3）＝2÷5＝0.4＝40%六一班参赛的人数占两班参赛总人数的40%。【点睛】关键是理解比的意义，掌握求一个数占另一个数的百分之几的计算方法。【对应练习3】六（3）班男生人数和女生人数的比是3∶4，男生人数是女生人数的()%，男生人数比女生人数少()%，女生人数与全班人数的比是()。【答案】75254∶7【分析】根据六（3）班男生人数和女生人数的是3∶4，可以将男生人数看作3，女生人数看作4，男生人数÷女生人数＝男生人数是女生人数的百分之几；男女生人数差÷女生人数＝男生人数比女生人数少百分之几；男生人数＋女生人数＝全班人数，根据比的意义，写出女生人数与全班人数的比即可。【详解】3÷4＝0.75＝75%（4－3）÷4＝1÷4＝0.25＝25%4∶（3＋4）＝4∶7六（3）班男生人数和女生人数的是3∶4，男生人数是女生人数的75%，男生人数比女生人数少25%，女生人数与全班人数的比是4∶7。【点睛】关键是理解比的意义，求一个数是另一个数的百分之几用除法，差÷较大数＝少百分之几。【考点三】按比例分配问题其一：基础型。【方法点拨】1.按比例分配问题主要分为和比问题、差比问题、单一量与比的问题等三种基础题型，总体来说，三种问题解答方法大同小异，关键在于分析已知条件，判断不同题型，再根据方法解答。2.按比例分配问题主要存在两种解答方法：其一是平均分法，即先求出每份数（和或差÷份数和或差=每份数），再分别求出各部分数量是多少。其二是转化法，即将比例形式转化为分数形式，再根据分数乘除法应用解题方法解答。【典型例题】小刚和小强一共有240张画片，小刚的画片数是小强的60%，小刚和小强各有多少张画片？【答案】90张；150张【详解】60%＝3∶53＋5＝8

小刚：240×＝90（张）

小强：240×＝150（张）答：小刚90张，小强150张。【对应练习1】某县开展“做城市主人，共建文明城”演讲比赛，一共有75人参赛，获奖人数与未获奖人数的比是2∶3。在获奖人数中，实验小学的学生占20%，实验小学有学生多少人获奖？【答案】6人【分析】将总人数看作单位“1”，根据获奖人数与未获奖人数的比是2∶3，可得获奖人数是总人数的，总人数×获奖人数对应分率＝获奖人数，再将获奖人数看作单位“1”，获奖人数×实验小学对应百分率＝实验小学获奖人数，据此列式解答。【详解】（人）答：实验小学有学生6人获奖。【点睛】关键是理解比的意义，确定单位“1”，整体数量×部分对应分率或百分率＝部分数量。【对应练习2】服装厂要生产1500套校服，前10天生产的套数与未生产的套数的比是1∶4，再生产多少套，就能完成这批校服的60%？【答案】600套【分析】根据前10天生产的套数与未生产的套数的比可知，共1＋4份，求出一份数就是已生产的套数，将总套数看作单位“1”，求出总套数的60%－已生产的套数即可。【详解】1500÷（1＋4）＝1500÷5＝300（套）1500×60%－300＝900－300＝600（套）答：再生产600套，就能完成这批校服的60%。【点睛】关键是理解比的意义，求一个数的百分之几是多少，用乘法。【对应练习3】流行了一段时间的H7N9禽流感病毒，让很多人“谈禽色变”。最近天津传来好消息，当某种特效药与水的比为1∶4时可有效抑制H7N9禽流感病毒。现有一桶药水重160千克，其中含特效药15%。（1）这种药水中有特效药多少千克？

（2）如果再放入10千克特效药，这桶药水可配制成抑制H7N9的药水吗？请用计算说明。【答案】（1）24千克（2）可以制成【分析】（1）现有一桶药水重160千克，其中含特效药15%，用药水的重量乘15%，求出特效药多少千克。（2）用现在特效药的质量∶药水的质量，看是否等于1∶4，据此解答即可。【详解】（1）（千克）答：这种药水中有特效药24千克。（2）＝34∶136＝1∶4答：这桶药水可以配制成抑制H7N9的药水。【点睛】本题考查比、百分数，解答本题的关键是掌握题中的数量关系式。【考点四】按比例分配问题其二：提高型。【方法点拨】和比问题，前提条件是已知和与比，当题目中没有和或比的时候，要先求出和与比。【典型例题】学校运来200棵树苗，老师栽种了10%，余下的按5∶4分配给五、六两个年级栽，五、六年级各分到多少棵？【答案】五年级分到100棵；六年级分到80棵【分析】把树苗的总棵数看作单位“1”，老师栽种了10%，则余下的占总棵数的（1－10%），根据百分数乘法的意义，用200×（1－10%）即可求出余下的棵数，余下的按5∶4分配给五、六两个年级栽，则把五年级分到的看作5份，六年级分到的看作4份，用余下的棵数÷（5＋4）即可求出一份的量是多少，进而求出5份和4份，也就是五年级和六年级各自分到的棵数。【详解】200×（1－10%）＝200×90%＝180（棵）180÷（5＋4）＝180÷9＝20（棵）五年级：20×5＝100（棵）六年级：20×4＝80（棵）答：五年级分到100棵，六年级分到80棵。【点睛】本题主要考查了百分数的应用以及按比分配问题，注意求一个数的百分之几是多少，用乘法计算。【对应练习1】今年3月份，学校领回150棵小树苗，其中的40%分给六年级，其余的按1∶5分给四、五年级，四、五年级各分到多少棵小树苗？【答案】15棵；75棵【分析】先利用求一个数的百分之几是多少，用乘法，求出分给六年级的树苗数量；用小树苗的总数量减去分给六年级的树苗数量，得出剩下的树苗数量，把分给四年级的树苗数量看作1份，分给五年级的树苗数量看作5份，所以剩下的树苗数量的总份数看作（1＋5）份，然后求出分给四年级的树苗数量和分给五年级的树苗数量各自占剩下的树苗数量的几分之几，最后按照求一个数的几分之几是多少的方法，分别求出四、五年级各分到多少棵小树苗即可。【详解】150－150×40%＝150－60＝90（棵）90×＝90×＝15（棵）90×＝90×＝75（棵）答：四年级分到15棵小树苗，五年级分到75棵小树苗。【点睛】此题主要考查按比例分配的应用题的解答方法，解题关键是把比转化为分数，用分数方法解答。【对应练习2】学校购进600本图书，六年级分得图书总数的40%，余下的按2∶3分配给四、五年级。四、五年级各分得多少本图书？【答案】四年级分得144本；五年级分得216本【分析】六年级分得图书总数的40%，则四、五年级共分得图书总数的1－40%，先用600×（1－40%）求出四、五年级共分得图书的本数；再把四、五年级共分得图书的本数按2∶3分配，即用四、五年级共分得图书的本数×求出四年级分得的本数，四、五年级共分得图书的本数×求出五年级分得的本数。【详解】600×（1－40%）＝600×60%＝360（本）360×＝360×＝144（本）360×＝360×＝216（本）答：四年级分得144本图书，五年级分得216本图书。【点睛】此题考查了求一个数的百分之几是多少的问题及按比分配问题。在按比分配的问题中，根据两个量的比，既可以用平均分法解答，也可以用分率对应法解答。【对应练习3】仓库里有水泥80000千克，现取出其中的40%，余下的按5︰3分配给甲、乙两个建筑队，两队各分得多少千克水泥？【答案】甲队分到30000千克水泥；乙队分到18000千克水泥【分析】把水泥的总重量看作单位“1”，取出其中的40%，则余下的占总重量的（1－40%），根据百分数乘法的意义，用80000×（1－40%）即可求出余下的重量，余下的按5︰3分配给甲、乙两个建筑队，则把甲队分到的看作5份，乙队分到的看作3份，用余下的重量÷（5＋3）即可求出一份的量是多少，进而求出5份和3份，也就是甲队和乙队各自分到的重量。【详解】80000×（1－40%）＝80000×60%＝48000（千克）48000÷（5＋3）＝48000÷8＝6000（千克）甲：6000×5＝30000（千克）乙：6000×3＝18000（千克）答：甲队分到30000千克水泥，乙队分到18000千克水泥。【点睛】本题主要考查了百分数的应用以及按比分配问题，注意求一个数的百分之几是多少，用乘法计算。【考点五】按比例分配问题其三：拓展型。【方法点拨】比与百分数的结合问题一般要先通过分率关系求出对应比，再按比例分配问题解答。【典型例题】某果园里的桃树比苹果树少50棵，苹果树的和桃树的40%相等，梨树的棵数与苹果树的棵数之比是2∶3，这个果园里梨树有多少棵？【答案】200棵【分析】苹果树棵数的和桃树的40%相等，苹果树是桃树的40%÷＝120%，即苹果树比桃树多120－1＝20%，桃树比苹果树少50棵，则桃树有50÷20%＝250（棵），则苹果树有250＋50＝300（棵），梨树与苹果树的比是2∶3，则梨树有300×＝200（棵）。【详解】桃树有：50÷（40%÷－1）＝50÷（120%－1）＝50÷20%＝250（棵）苹果树有：250＋50＝300（棵）梨树有：300×＝200（棵）答：梨树有200棵。【点睛】先根据已知条件求出桃树有多少棵是完成本题的关键。【对应练习1】新鲜水果超市要新进一批苹果，第一次运进总数的20%，如果再运进18千克，这时已运的数量与剩下的数量之比是1∶3，这批苹果共有多少千克？【答案】360千克【分析】由题意可知，第一次运进总数的20%，如果再运进18千克，这时已运的数量占总数的，则18千克占总数的（－20%），根据除法的意义，用除法进行计算即可。【详解】18÷（－20%）＝18÷＝360（千克）答：这批苹果共有360千克。【点睛】本题考查分数除法，明确18千克占总数的分率是解题的关键。【对应练习2】昨天张伯伯从菜地采摘了三种蔬菜，其中黄瓜占总质量的40%，西红柿和茄子的质量比是2∶3，且西红柿比茄子的质量少24千克。张伯伯一共采摘了多少千克蔬菜？【答案】200千克【分析】西红柿和茄子的质量比是2∶3，西红柿占西红柿和茄子质量总和的，茄子占西红柿和茄子质量总和的，西红柿比茄子少24千克，西红柿比茄子少的24千克占西红柿和茄子质量总和的（－），据此先求出西红柿和茄子的质量和，因为黄瓜占总质量的40%，则西红柿和茄子的质量和占总质量的（1－40%），用西红柿和茄子的质量和÷对应百分率，求出总质量。【详解】24÷（－）÷（1－40%）＝24÷÷0.6＝120÷0.6＝200（千克）答：张伯伯一共采摘了200千克蔬菜。【点睛】本题考查了比的意义，分数、百分数复合应用题，关键是找到对应分率和对应百分率。【对应练习3】生产一批零件，第一周生产了这批零件的20%，第二周生产了480个，这时已经生产的和没有生产的零件的个数比是3∶2，还要生产多少个零件才能完成任务？【答案】480个【分析】已经生产的和没有生产的零件的个数比是3∶2，按比例分配，把已经生产的零件个数看作3份，没有生产的零件个数看作2份，已经生产的零件个数占总零件个数的，减去第一周生产的零件个数的占比，即是第二周生产的零件个数的占比，和第二周生产的零件个数对应上，用零件个数除以第二周生产的零件个数的占比，求出这批零件的总个数。总数乘没有生产零件个数占总数的占比，即可得出结果。【详解】480÷（－20%）＝480÷（0.6－0.2）＝480÷0.4＝1200（个）1200×＝1200×＝480（个）答：还要生产480个零件才能完成任务。【点睛】此题的解题关键是找到第二周生产零件所对应的分率，利用“量÷对应的分率＝总量”，求出这批零件的总数，从而求出最终的结果。【考点六】不变量问题。【方法点拨】寻找不变量是解决含比不变量问题的关键。【典型例题】仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物重量比为2∶7，如果又运走64吨，那么剩下的货物只有仓库原有货物的60%。仓库原有