江苏省常州市新北区奔牛初级中学2023-2024学年数学八上期末质量检测试题含解析

江苏省常州市新北区奔牛初级中学2023-2024学年数学八上期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共道竞赛题，选对得分，不选或选错扣分，小英得分不低于分，设她选对了道题，则根据题意可列不等式为（）A． B．C． D．2．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为（）A．4 B． C． D．83．中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米，数据0.000000007用科学记数法表示为()A．0.7×10-8 B．7×10-8 C．7×10-9 D．7×10-104．下列图形具有稳定性的是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形5．甲骨文是中国的一种古代文字，又称“契文”、“甲骨卜辞”、“殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是汉字的早期形式，是现存中国王朝时期最古老的一种成熟文字，如图为甲骨文对照表中的部分内容，其中可以抽象为轴对称图形的甲骨文对应的汉字是（）A．方 B．雷 C．罗 D．安6．对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（）A．锐角三角形的三条高交于一点B．直角三角形只有一条高C．三角形三条高的交点不一定在三角形内D．钝角三角形有两条高在三角形的外部7．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm8．若2m=a，32n=b，m，n均为正整数，则23m+10n的值为（）A．ab B．ab C．a+b D．ab9．等腰三角形的一边长是5，另一边长是10，则周长为（）A．15 B．20 C．20或25 D．2510．点M（﹣2，1）关于x轴的对称点N的坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）11．在△ABC中，D是BC上的一点，且△ABD的面积与△ADC的面积相等，则线段AD为△ABC的（）．A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定12．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．若分式有意义，则实数的取值范围是_______.14．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为_____．15．如图，线段的垂直平分线分别交、于点和点，连接，，，则的度数是_____________．16．如图，平分，平分，与交于，若，，则的度数为_________.（用表示）17．在研究，，这三个数的倒数时发现：，于是称，，这三个数为一组调和数.如果，（），也是一组调和数，那么的值为____．18．对于任意实数，规定的意义是=ad-bc．则当x2-3x+1=0时，=______．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上．∠OAB=90°且OA=AB，OB=6，OC=1．点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O，B重合)，过点P的直线与y轴平行，直线交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=4时，直线恰好过点C.（1）求点A和点B的坐标；（2）当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式；（3）当m=3.1时，请直接写出点P的坐标.20．（8分）解一元二次方程．（1）．（2）．21．（8分）计算：22．（10分）某学校计划的体育节进行跳绳比赛，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干条，若花费480元购买的长跳绳的数量是花费480元购买的短跳绳的数量的，已知每条长跳绳比每条短跳绳贵4元，求购买一条长跳绳、一条短跳绳各需多少元？23．（10分）如图，中，点，分别是边，的中点，过点作交的延长线于点，连结.（1）求证：四边形是平行四边形.（2）当时，若，，求的长.24．（10分）已知，如图，在三角形中，是边上的高．尺规作图:作的平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔在已作图形中，若与交于点，且，求证:.25．（12分）如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB=a,DG=b(a>b)．（1）写出AG的长度(用含字母a、b的式子表示)；（2）观察图形，请你用两种不同的方法表示图形中阴影部分的面积，此时，你能获得一个因式分解公式，请将这个公式写出来；（3）如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多2cm，它们的面积相差20cm2，试利用(2)中的公式,求a、b的值．26．（背景知识）研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点、，则线段AB的中点坐标可以表示为（简单应用）如图1，直线AB与y轴交于点，与x轴交于点，过原点O的直线L将分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式；（探究升级）小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，试说明；（综合运用）如图3，在平面直角坐标系中，，，若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据题意可知最后的得分为答对的每题得5分，再扣掉错误的每题2分，之后根据题意列不等式即可．【详解】解：因为小英选对了题，所以这部分得分为，可知错误的题数为，需要被扣掉分数为，且不低于60分，即分，故可列式；故选：B．【点睛】本题是一元一次不等式的应用，根据题意正确得出：最后得分=加分-减分，加分=答对的题目数×5，扣分=答错的题目数×2，即可解答本题．2、A【分析】先根据勾股定理求出AB，然后根据S阴影=S半圆AC＋S半圆BC＋S△ABC－S半圆AB计算即可．【详解】解：根据勾股定理可得AB=∴S阴影=S半圆AC＋S半圆BC＋S△ABC－S半圆AB===4故选A．【点睛】此题考查的是求不规则图形的面积，掌握用勾股定理解直角三角形、半圆的面积公式和三角形的面积公式是解决此题的关键．3、C【分析】绝对值小于1的数也可以用科学计数法表示，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，与较大数的科学计数法不同的是其使用的是负指数幂，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定．【详解】0.000000007=7×10-9，故选：C．【点睛】题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定．4、A【分析】由题意根据三角形具有稳定性解答．【详解】解：具有稳定性的图形是三角形．故选：A．【点睛】本题考查三角形具有稳定性，是基础题，难度小，需熟记．5、C【解析】根据轴对称图形的概念观察图形判断即可．【详解】由图可知，是轴对称图形的只有“罗”.故答案选：C.【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是熟练的掌握轴对称图形的概念.6、B【分析】根据三角形的高的概念，通过具体作高，发现：任意一个三角形都有三条高，其中锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部，据此解答即可．【详解】解：A、锐角三角形的三条高交于一点，说法正确，故本选项不符合题意；

B、直角三角形有三条高，说法错误，故本选项符合题意；

C、三角形三条高的交点不一定在三角形内，说法正确，故本选项不符合题意；

D、钝角三角形有两条高在三角形的外部，说法正确，故本选项不符合题意；

故选：B．【点睛】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，注意不同形状的三角形的高的位置．7、C【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】A选项：3+4<8，不能组成三角形；

B选项：8+7=15，不能组成三角形；

C选项：13+12>20，能够组成三角形；

D选项：5+5＜11，不能组成三角形．

故选：C．【点睛】考查了三角形的三边关系．解题关键是利用了判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．8、A【分析】根据幂的乘方与积的乘方计算法则解答．【详解】解：∵，，

∴，

∴，

故选A．【点睛】本题考查了幂的乘方与与积的乘方，熟记计算法则即可解答．9、D【分析】由于没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：分两种情况：

当腰为5时，5+5=10，所以不能构成三角形；

当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=1．

故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．10、C【分析】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果．【详解】解：根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴点M（﹣2，1）关于x轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣1），故选：C．【点睛】本题主要考查了两点关于x轴对称，横坐标不变,纵坐标互为相反数，比较简单．11、C【分析】三角形ABD和三角形ACD共用一条高，再根据S△ABD=S△ADC，列出面积公式，可得出BD=CD．【详解】设BC边上的高为h，∵S△ABD=S△ADC，∴×h×BD=×h×CD，故BD=CD，即AD是中线．故选C．12、C【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．【详解】解：点（4，-2）关于y轴对称的点的坐标是：（-4，-2）．

故选：C．【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】根据分式有意义的条件，即可求出x的取值范围.【详解】解：∵分式有意义，∴，∴；故答案为：.【点睛】本题考查了分时有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，即分母不等于0.14、12.1【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=×1×1=12.1，即可得出结论．【详解】如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，∴∠D=∠ABE，又∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，又∵AD=AB，∴△ACD≌△AEB（ASA），∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，∵S△ACE=×1×1=12.1，∴四边形ABCD的面积为12.1，故答案为12.1．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题15、1【分析】先根据垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得的度数，从而可得的度数，最后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理即可得．【详解】由题意得，DE为BC的垂直平分线故答案为：1．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）、三角形的内角和定理等知识点，熟记等腰三角形的性质是解题关键．16、【分析】连接BC，根据三角形内角和定理可求得∠DBC+∠DCB的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC+∠ACB的度数，从而不难求得∠A的度数．【详解】连接BC．∵∠BDC=m°，∴∠DBC+∠DCB=180°-m°，∵∠BGC=n°，∴∠GBC+∠GCB=180°-n°，∴∠GBD+∠GCD=(180°-n°)-(180°-m°)=m°-n°，∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，∴∠ABD+∠ACD=2∠GBD+2∠GCD=2m°-2n°，∴∠ABC+∠ACB=2m°-2n°+180°-m°=180°+m°-2n°，∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°+m°-2n°)=2n°-m°，故答案为2n°-m°.【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．17、1【分析】根据题中给出了调和数的规律，可将所在的那组调和数代入题中给出的规律里可列方程求解即可．【详解】由题意得：，解得：，

检验：把代入最简公分母：，

故是原分式方程的解．

故答案为：1．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，重点在于弄懂题意，准确地找出题目中所给的调和数的相等关系，这是列方程的关键．18、1【分析】根据题中的新定义得出算式（x+1）（x-1）-3x（x-2），化简后把x2-3x的值代入计算即可求解．【详解】解：根据题意得：（x+1）（x-1）-3x（x-2）

=x2-1-3x2+6x

=-2x2+6x-1

=-2（x2-3x）-1，∵x2-3x+1=0，∴x2-3x=-1，原式=-2×（-1）-1=1.故答案为1．【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解题的关键是弄清题中的新定义．三、解答题（共78分）19、（1）（3，3），（6，0）（2）（0<t<3）（3）P（，0）或（，0）【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；(2)作CN⊥x轴于N，如图，先利用勾股定理计算出CN得到C点坐标为(4，-3)，再利用待定系数法分别求出直线OC的解析式，直线OA的解析式，则根据一次函数图象上点的坐标特征得到Q、R的坐标，从而得到m关于t的函数关系式；(3)利用待定系数法求出直线AB的解析式，直线BC的解析式，然后分类讨论：当0＜t＜3，3≤t＜4，当4≤t＜6时，分别列出方程，然后解方程求出t得到P点坐标．【详解】(1)由题意△OAB是等腰直角三角形，过点A作AM⊥OB于M，如图：

∵OB=6，∴AM=OM=MB=OB=3，

∴点A的坐标为(3，3)，点B的坐标为(6，0)；(2)作CN⊥轴于N，如图，

∵时，直线恰好过点C，

∴ON=4，

在Rt△OCN中，CN=，∴C点坐标为(4，-3)，

设直线OC的解析式为，

把C(4，-3)代入得，解得，∴直线OC的解析式为，设直线OA的解析式为，

把A(3，3)代入得，解得，

∴直线OA的解析式为，

∵P(t，0)(0＜t＜3)，

∴Q(，)，R(，)，∴QR=，即()；(3)设直线AB的解析式为，

把A(3，3)，B(6，0)代入得：，解得，

∴直线AB的解析式为，

同理可得直线BC的解析式为，

当0＜t＜3时，，若，则，解得，此时P点坐标为(2，0)；当3≤t＜4时，Q(，)，R(，)，∴，若，则，解得(不合题意舍去)；当4≤t＜6时，Q(，)，R(，)，∴，若，则，解得，此时P点坐标为(，0)；综上所述，满足条件的P点坐标为(2，0)或(，0)．【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质和一次函数图象上点的坐标特征；会运用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用点的坐标表示线段的长；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．20、（1），．（2），．【分析】（1）先移项，然后用因式分解法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．【详解】解析：（1），．（2），．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．不21、【分析】利用平方差公式和完全平方公式进行计算，然后合并同类项，即可求出答案.【详解】解：原式，，.【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式进行计算.22、购买长跳绳为16元，短跳绳为12元【分析】设购买一条短跳绳x元，则购买长跳绳元，根据题意列分式方程，解方程即可．【详解】解：设购买短跳绳x元，则购买长跳绳元，依题意，有：，化简，解得：.所以，购买长跳绳为16元，短跳绳为12元.【点睛】本题考查的是分式方程的实际应用，根据题意列出分式方程，注意其中分式方程有增根的情况．23、（1）详见解析；（2）【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得出DE∥BC，再根据已知CF∥AB即可得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质三线合一得出，然后利用勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，

∴DE∥BC．

∵CF∥AB，

∴四边形BCFD是平行四边形；

（2）解：∵AB=BC，E为AC的中点，

∴BE⊥AC．

∴∵AB=2DB=4，BE=3，【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．24、（1）见详解；（2）见详解．【分析】（1）按照题目要求作图即可；（2）过点E作EH⊥AB于H，先证明△BDE≌△BHE，再证明△BOE≌△ADC，然后可得DE=

DC，可推出HE=

CD，根据AD=BD，∠ADB=90°，HE⊥AB，可得∠BAD

=

45°，∠HEA=∠HAE=

45°，可推出HE=

AH

=

CD，即可证明结论．【详解】（1）∠ABC的角平分线如图所示：；（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，ED⊥ВC，∴EH⊥АВ，ED⊥BC，∴EH

=

ED，在Rt△BDE和Rt△BHE中，∴△BDE≌△BHE（HL），∵ВH

=

BD，在Rt△BDE和Rt△ADC中，∴△BOE≌△ADC（HL），∴DE=

DC，∴HE=

CD，∵AD=BD，∠ADB=90°，∴∠BAD

=

45°，∵HE⊥AB，∴∠HEA=∠HAE=

45°，∴HE=

AH

=

CD，∴BC

=

BD+CD=

BH

+

AH=

AB．【点睛】本题考查了全等三角形的