高考数学一轮复习 讲义平面向量的运算 教师

课题：平面向量的运算知识点一、平面向量的线性运算1．向量的加法：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法．（1）向量加法的平行四边形法则；（2）向量加法的三角形法则：将第二个向量的始点与第一个向量的终点相重合，则第一个向量的始点为始点，第二个向量的终点为终点所组成的向量，即为两向量的和（3）对于共线的向量，分别为同向或反向的两种情况．2．向量加法的性质：（1）向量加法的交换律：；（2）向量加法的结合律：；（3）．向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则（1）交换律：；（2）结合律：减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则3．向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算（用加法的逆运算定义向量的减法）．若则叫做的差，记作．4．求作差向量：已知向量，求作向量．作法：在平面内取一点，作可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量．二、平面向量的数量积1．两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）规定2．向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影3．数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积4．向量的模与平方的关系：5．乘法公式成立：；6．平面向量数量积的运算律：（1）交换律成立：（2）对实数的结合律成立：（3）分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7．两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则·=8．向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角cos==当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9．两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O【注1】1．三点共线的性质定理：（1）若平面上三点A、B、C共线，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))．（2）若平面上三点A、B、C共线，O为不同于A、B、C的任意一点，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，且λ＋μ＝1．2．共线向量定理应用时的注意点：（1）向量共线的充要条件中要注意“≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．【注2】1．两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点．2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．．3．几个重要结论（1）向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；（2）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．【注3】1．常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．2．找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．典型例题例1设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）【答案】【解析】由已知得，而所以，选．例2设分别为的三边的中点，则（）A．B．C．D．【答案】A例3已知为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为与平行，所以存在实数，使得，即，又为不共线，所以，解得．故选：B．例4已知向量，满足，，则向量，的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，即，即，又，，解得，，所以．故选：C例5已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C：例6已知平面向量与的夹角等于，如果，那么（）A．B．9C．D．10【答案】C试题分析：平面向量与的夹角等于，如果，∴，∴，故选：C．例7如图，在△ABC中，是BN的中点，若，则实数m的值是（）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】∵分别是的中点，∴．又，∴．故选C．例8如图，在△ABC的边AB、AC上分别取点M、N，使，，BN与CM交于点P，若，，则的值为（）A． B． C． D．6【答案】D【解析】由题意，，根据平面向量基本定理，可得，，，故选D。例9已知平面向量、满足，，则在方向上的数量投影的最小值是______．【答案】2【解析】因为在方向上的数量投影为，所以当最小时，数量投影取得最小值．设，则．因为，则当时，有最小值6．所以，在方向上的数量投影的最小值是．故答案为：2．例10已知向量，满足，，，则_________．【答案】【解析】由可得，，即，解得：，所以．故答案为：．例11在中，，若D为BC中点，则为_________．【答案】【解析】，所以，故，，两式相减得，所以，所以＝．故答案为：例12已知向量满足的夹角为，则的值是_____．【答案】【解析】，即，即，解得或（舍）．故答案为：3．例13已知向量与的夹角为，记且，则_____．【答案】【解析】且，，即又向量与的夹角为，，解得，，，又，所以故答案为：例14已知向量满足且，则在方向上的数量投影为______．【答案】【解析】，，所以在方向上的数量投影为．故答案为：例15已知单位向量，满足，若向量，则＝【答案】【解析】因为，是单位向量，所以，又因为，，所以，，所以，因为，所以例16已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影为___________．【答案】2【解析】与的夹角为，且，,又，，设,在方向上的投影为在方向上的投影为故答案为：2例17设，是两个不共线的向量，如果，，．（1）求证：A，B，D三点共线；（2）试确定的值，使和共线；（3）若与不共线，试求的取值范围．【答案】（1）证明过程见解析（2）（3）【解析】（1）证明：因为，所以与共线．因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线．（2）因为与共线，所以存在实数，使．因为，不共线，所以所以．（3）假设与共线，则存在实数m，使．因为，不共线，所以所以．因为与不共线，所以．举一反三1．（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据向量加法运算得，根据向量减法得=故选D2．在中，已知是中点，设，则（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】，∴选A．3．设分别为的三边的中点，则（）A．B．C．D．【答案】A4．在中，为边上一点，，，则=（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得，，故,故．5．如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D6．在中，为边上一点，，，则=（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得，，故,故．7．在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（）A． B．C． D．【答案】C8．在矩形中，，则向量的长度等于（

）A．4 B． C．3 D．2【答案】A【解析】在矩形中，由可得,又因为,故，故，故选:A9．，，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】向量在向量方向上的投影等于．故选：C．10．已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（

）A． B． C．4 D．4【答案】C【解析】．故选：C11．设向量满足，，则（）A．1B．2C．3D．5【答案】A试题分析：因为，所以………………①，又，所以…………②，①②得，所以，故选A．12．已知两向量与满足，且，则与的夹角为．【答案】试题分析：，．课后练习1．在中，点是上的点，,,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,,即,．2．已知是正△的中心．若，其中，，则的值为（）A．B．C．D．2【答案】C3．设非零向量满足，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，代入得，又故夹角为．故选：C4．已知向量是单位向量，且，则向量与的夹角是（

）A．​ B．​ C．​ D．​【答案】B【解析】设向量的夹角为，，因为为单位向量，，因为，所以，所以．因为，所以．故选：B5．已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（

）A． B． C．4 D．4【答案】C【解析】．故选：C6．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【解析】由已知，，所以，，设向量与的夹角为，则故选：C7．设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】因为在方向上的投影向量为，所以，所以，因为与垂直，所以，即，解得．故选：B．8．已知为正三角形的中心，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取中点，连接，因为为正三角形的中心，故，则向量在向量上的投影向量为故选：C9．如图，有5个全等的小正方形，，则的值是__________．【答案】110．平行四边形中，为的中点，若，则__________．【答案】【解析】由图形可得：①，②，①②得：，即，∴，∴，故答案为．11．设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由平面向量基本定理可得：，故选A．12．已知P､Q为中不同的两点，且0，