无锡市天一中学2021-2022学年高一平行班上学期期末数学试题（解析版）

第18页/共18页江苏省天一中学2021~2022学年第一学期期末考试高一数学试题（平行班）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合.【详解】已知集合，集合，则.故选：B.2.已知角的终边经过点，则的值等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函数的定义可求出的值.【详解】由三角函数的定义可得，故选A.【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键在于三角函数的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题.3.（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用诱导公式进行变形，然后结合正弦和角公式即可求出结果.【详解】故选：B.4.设实数满足，则函数的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】将解析式变形，再利用基本不等式即可得出．【详解】，函数，当且仅当，即时取等号．因此函数的最小值为3．故选：A．5.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用倍角公式，以及同角三角函数关系，整理化简即可求得正切值.【详解】因为，即，解得.故选：C.6.已知函数是上的增函数，那么的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数在上的单调递增，可知，由此即可求出结果.【详解】因为函数是上的增函数，所以，解得.故选：D.7.四个函数：①；②；③；④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A.④①②③ B.①④②③ C.③④②① D.①④③②【答案】B【解析】【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【详解】解：①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；

②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，

在上的值为负数，故第三个图象满足；

③为奇函数，当时，，故第四个图象满足；

④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，

故选：B．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8.高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如，．若函数（，且）有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将函数的零点问题转化为的图象与函数的图象有且仅有个交点的问题，根据高斯函数的定义，求出的解析式，作出其图象，数形结合即可得参数的取值范围．【详解】函数有且仅有3个零点，即的图象与函数的图象有且仅有个交点．而，画出函数的图象，易知当时，与的图象最多有1个交点，故，作出函数的大致图象，结合题意可得，解得：，所以实数的取值范围是，故选：D．二、选择题；本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知、、、均为非零实数，则下列一定正确的有（）A. B.C.若，则 D.若，，则【答案】ABD【解析】【分析】根据不等式可推出，由此可判断A;利用基本不等式可判断B;举例可判断C；利用不等式的性质可判断D.【详解】、、、均为非零实数,则，故，即，故A正确；由题意可知，故，当且仅当，即时取等号，故B正确；若，比如a=1，b=-1，则不成立，故C错误；若，，则若，，故，故D正确，故选：ABD10.关于函数，下列说法中正确的是（）A.最小正周期是 B.图象关于点对称C.图象关于直线对称 D.在区间上单调递增【答案】AB【解析】【分析】利用正切函数的知识逐一判断即可.【详解】的最小正周期为，故选项A正确；由，故选项B正确；因为函数不存在对称轴，故选项C错误；因为，所以，此区间不是函数的单调递增区间，故选项D错误；故选：AB．11.如图，摩天轮的半径为，其中心点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（）A.转动后点距离地面B.若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的C.第和第点距离地面的高度相同D.摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于的时间为【答案】AC【解析】【分析】求出摩天轮的周期，设出时间，求出点上升的高度，求出点距离地面的高度，再逐个分析判断即可【详解】解：摩天轮转一圈，在内转过的角度为，建立平面直角坐标系，如图，设是以轴正半轴为始边，表示点起始位置为终边的角，以轴正半轴为始边，为终边的角为，即点的纵坐标为，又由题知，点起始位置在最高点处，点距地面高度关于旋转时间的函数关系式为：即当时，，故A正确；若摩天轮转速减半，，则其周期变为原来的2倍，故B错误；第点距安地面的高度为第点距离地面的高度为第和第时点距离地面的高度相同，故C正确；摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于，即，即，，得，或，解得或，共，故D错误．故选：AC．12.已知函数，则（）A.对任意正奇数，为奇函数B.对任意正整数，的图象都关于直线对称C.当时，在上的最小值为D.当时，的单调递增区间是【答案】BCD【解析】【分析】对A：取，易得不是奇函数，从而即可判断；对B：利用诱导公式计算即可判断；对C：利用三角函数的知识即可求解；对D：时，利用三角恒等变换化简解析式得，从而即可求解.【详解】解：对A：取，则，此时，所以不是奇函数，故选项A错误；对B：因为，所以的图象关于直线对称，故选项B正确；对C：当时，，因为，所以，所以，所以，所以在上的最小值为，故选项C正确；对D：当时，，由，可得，则的递增区间为，故选项D正确．故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知扇形面积为，半径是1，则扇形圆心角的弧度数是________.【答案】【解析】【分析】设扇形圆心角的弧度数是，利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形圆心角的弧度数是，由扇形的面积公式可得：，解得：，故答案为：.14.求值：______.【答案】【解析】【分析】利用对数的运算性质及指数幂的运算性质即可求解.【详解】解：原式，故答案为：.15.已知为第二象限角，，则___________.【答案】【解析】【分析】先利用诱导公式化简求得，再结合角所在的象限，利用同角三角函数的平方关系求余弦即可.【详解】依题意可得，，即，解得，又为第二象限角，，则，.故答案为：.16.已知为正数，函数在区间和上最大值分别记为和，若，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】根据题意分析可得，从而确定，则，再结合三角函数的性质即可求得答案.【详解】函数在区间和上的最大值分别记为和，则，若，则,与矛盾；若，则,则，与题意矛盾；故，则，则，则，而，故，即，故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）先求得集合A，进而可得，当，可得集合B，根据并集的运算法则，即可求得答案；（2）“”是“”的必要不充分条件等价于，根据集合的包含关系，列出不等式组，即可求得答案.【详解】（1）集合，所以或，当时，集合，所以或；（2）“”是“”的必要不充分条件等价于是真子集，因为，所以，解得，所以实数a的取值范围为【点睛】解题的关键是根据题意，可得，再根据集合的包含关系，即可求得答案，易错点为，要注意集合B中左右边界的大小关系，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.18.已知函数的图象关于点对称.（1）求的值；（2）将函数的图象向右平移个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意，，又，从而即可求解；（2）由三角函数的图象变换可得，由，即可求解函数的值域.【小问1详解】解：因为函数的图象关于点对称，所以，又，所以；【小问2详解】解：由（1）知，将的图象向右平移个单位得，再将图象上各点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变）得，因为，所以，所以，所以函数的值域为.19.已知二次函数，当时，；当，.（1）求，的值；（2）解关于的不等式：.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意可知方程的两根，利用根与系数的关系即可求得答案；（2）利用（1）的结果整理不等式为，求出其两根，分类讨论可得结果.【小问1详解】由题意可知：的两根为，故，即得,即；【小问2详解】由（1）可知：，即，解方程得两根为，当，即时，解集为；当，即时，解集为；当，即时，解集为；故时，解集为；时，解集为；时，解集为.20.已知函数.（1）设，求的单调递减区间；（2）若，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角和、差的余弦公式和正弦公式将化为只含有一个三角函数的形式，根据正弦函数的性质求得答案；（2）根据求得，结合，求得，再利用拆角的方法求得答案.【小问1详解】;当时，，当即时，单调递减，故的单调递减区间为；【小问2详解】，即，，故，所以.21.如图是一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上，点在线段上，三角形木块选的面积记为S.（1）①设点到底边的距离为，将S表示为的函数；②设，将S表示为的函数；（2）从（1）中选择一个合适的函数，解决以下问题：当点在何处时，三角形木块的面积S最大？并求出该最大值.【答案】（1）①，（）；②，（）.（2）E位于半圆上，且时，三角形木块的面积最大.【解析】【小问1详解】①设，则（），所以,,,所以，（）.即，（）.②设，设，（），所以,,,所以，（）.所以，（）【小问2详解】选择函数②：.令，则，在上单调递增，所以当，即时，最大.此时E位于半圆上，且.22.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立，则称该函数为“圆满函数”.已知函数；（1）判断函数是否为“圆满函数”，并说明理由；（2）设，证明：有且只有一个零点，且.【答案】（1）不是“圆满函数”，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）取特殊值，代入“圆满函数”的定义，判断是否有实数能满足；（2）当时，利用零点存在性定理讨论存在零点，以及当时，证明在上没有零点，再化简，转化为证明不等式.【详解】解：