4.2.1等差数列（2）课件-高二上学期数学人教A版选择性

等差数列等差数列（2）人教2019A版教材选择性必修第二册第四章《数列》③推导等差数列通项公式的方法叫做

法.累加

每一项与它前一项的差㈠等差数列

如果一个数列从第2项起，等于同一个常数.......【说明】①数列{an}为等差数列

；an+1-an=d或an+1=an+dd=an+1-an②公差是

的常数；

唯一an=a1+(n-1)d等差数列各项对应的点都在同一条直线上.温故知新几种计算公差d的方法：

④an=pn+q，其中p,q为常数，且p≠0⇔{an}是等差数列(1)2，()，4(2)-12，()，0(3)a，()，b

3-6如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项1.探究：等差中项:探究：在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：思考4.等差中项:试一试：在△ABC中，若A,B,C成等差数列，则B=_______60°例1、已知三个数成等差数列的和是12，积是48，求这三个数.

设法技巧：已知三个数成等差数列，且和已知时常利用对称性设三数为：a-d,a,a+d四个数怎么设？2.对称设法技巧对称设法三个数成等差数列：四个数成等差数列：试一试：四个数成递增等差数列，中间两数和为2，首末两项的积为-8，求这四个数．解法1：设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d(公差为2d)，依题意，2a=2，且(a-3d)(a+3d)=-8，即a=1，a2-9d2=-8，∴d2=1，∴d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，∴d=1，故所求的四个数为-2,0,2,4.2.对称设法技巧新知探究例2.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.(1)求数列{bn}的通项公式.(2)b29是不是数列{an}的项？若是,它是{an}的第几项？若不是，说明理由.解：(1)设数列{bn}的公差为d′.由题意可知，b1=a1,b5=a2,于是b5-b1=a2-a1=8.因为b5-b1=4d′,所以4d′=8,所以d′bn＝2+(n-1)×2=2n

(2)数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1,5,9,13....项，这些下标构成一个首项为1,公差为4的等差数列{cn}则cn=4n-3.令4n-3=29,解得n=8.所以，b29是数列{an}的第8项.所以，数列{bn}的通项公式是bn＝2n.你还有其他解决方法吗？法2：由b29=an得8n-6=58解得n=8.你还有其他解决方法吗？3.实际应用探究：数学建模素养例3.（教材P16例3）某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少，经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%,设备将报废.请确定d的取值范围.分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列{an}.由题意可知，10年之内（含10年）,这台设备的价值应不小于（220×5%=)11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元，可以利用{an}的通项公式列不等式求解。例3.（教材P16例3）某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少，经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%,设备将报废.请确定d的取值范围.实际应用探究：数学建模素养注意隐含条件的挖掘思考：数列1，3，5，7，9，11，13中7是哪些项的等差中项？你发现了什么规律？4.探究等差数列通项的性质：例4（教材P17例5）数列{an}是等差数列，m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，求证：am+an=ap+aq5.探究“下标和”性质：5、“下标和”性质：数列{an}是等差数列，m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq教材P17思考：例4是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？解：（2）由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10(2)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20例5、在等差数列{an}中：(3)已知a1+a4+a7

=15，a2a4a6=45,求数列的通项公式6.等差数列通项的性质的应用(3)已知a1+a4+a7

=15，a2a4a6=45,求数列的通项公式解:∵∴∴∴解得或若，则，∴同理可得

重要性质：知识拓展1、若a1，a2，a3，…，an是有穷的等差数列，则有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……=ai+an-i+12、若{an}是等差数列，则有2an=an-1+an+1(n>1)，2an=an-k+an+k(n>k>0)等差数列判断方法2深度学习

素养提升

重要性质：知识拓展3、若{an}和{bn}均为等差数列，则数列{lan+b}(l，b为常数)也成等差数列{an±bn}、{kan±mbn}仍成等差数列线性关系4、等差数列{an}每隔一定距离抽取一项所组成的数列仍成等差数列.例如:a1、a3、a5、a7、…仍成等差数列,a7、a14、a21、…、a7m、…仍成等差数列等差数列{an}连续部分取项，所组成的数列仍成等差数列.例如：a1+a2+a3，

a4+a5+a6，…是等差数列.在等差数列中连续部分取项，或等间隔取项，新数列仍是等差数列②等差数列通项公式：an=a1+(n–1)d

(n≥1)

推导出公式：an=am+(n–m)d①等差数列定义：an-an-1=d(n≥2，n∈N*)小结反思

升华素养④an=pn+q，其中p,q为常数⇔{an}是等差数列③几种计算公差d的方法：

基本方法重温⑤等差中项：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项⑥数列{an}是等差数列，m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq.若m+n=2p，则am+an=2ap.⑦数列{an}是等差数列⇔an-