高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)

PAGE考试日期:2007年7月9日星期一高等数学(2)期末B卷答案及评分标准120分钟第4页共65页高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总选择题(每题3分,共15分)1.设具有一阶连续偏导数，若，，则[A](A)；(B)；(C)；(D)。解：选A。两边对求导：，将代入得，故。2．已知为某二元函数的全微分，则a和b的值分别为[C](A)–2和2； (B)–3和3；(C)2和–2； (D)3和–3；解：选C。3.设∑为曲面z=2－(x2+y2)在xoy平面上方的部分，则=[D]；；；。解：选D。。4.设有直线，曲面在点(1,1,1)处的切平面，则直线与平面的位置关系是：[C](A)；(B)；(C)；(D)与斜交。解：选C。 的方向向量，曲面在点(1,1,1)处的切平面的法向量。由于，因此。5.设，则下面结论正确的是[B]点（，）是的驻点且为极大值点；点（，）是极小值点；点（0，0）是的驻点但不是极值点；点（0，0）是极大值点。。解：选B。二.填空题(每题3分,共15分)设，则。解：或。2．函数，则。解：。3.曲线在点(2,4,5)处的切线方程。解：切线方程。4．设L是圆周x2+y2=a2(a>0)负向一周,则曲线积分=_______。（4分）4．计算，其中曲面为球面上的部分。解：曲面的方程为z=，其在xoy坐标面上的投影区域为：，=，（3分）==+（3分）由积分区域和被积函数的对称性得=0，且，所以=。（2分）五．（8分）求幂级数的和函数，并求数项级数的和。解：（2分）＝＝（2分）＝＝，（2分）取，得。（2分）六．（8分）求解微分方程。解：对应齐次微分方程的特征方程为：（2分）故特征根，从而齐次微分方程的通解为：（2分）令非齐次方程特解为：代入方程解得，于是特解为（2分）则原方程通解为：。（2分）七．（6分）某企业生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10万元/件、9万元/件，若生产件甲产品和件乙产品的总成本为（万元），又已知两种产品的总产量为100件，试建立这一问题的数学模型，并分析两种产品的产量各为多少时企业获得最大利润。解：因为企业获得的总利润应为总收入与总成本之差，因此这一问题的数学模型应描述如下：（3分）这是有条件极值问题，利用Lagrange乘数法，令求对各个变量的偏导数，并令它们都等于0,得（3分）解上述方程组得到唯一驻点，依题意知所求最大利润一定存在。故当产品甲产量为70件，产品乙产量为30件时企业获得最大利润。选择题(每题3分,共15分)1.函数在原点（0，0）处间断，是因为：[](A)函数在原点无定义；(B)函数在原点无极限；(C)在原点极限存在，但该点无定义；(D)在原点极限存在，但不等于它的函数值。选B。2.曲面在点（2，1，0）处的切平面方程是：[](A)；(B)；(C)；(D)。选C。3.旋转抛物面在部分的曲面面积为:[](A)；(B)；(C)；(D)。选B。4.若幂级数的收敛半径是2，则的收敛半径为：[](A)；(B)；(C)；(D)。选D。5.若连续函数满足，则等于[](A)；(B)；(C)；(D)。选A。二.填空题(每题3分,共15分)设，其中为可微函数，则x。2．设可微，其中，。3．曲线在点（2，4，5）处的切线与轴所夹锐角。4．交换二次积分的次序：。5.若为的外侧，且是其外法线向量的方向余弦，则。注：三.求解下列各题（每题8分，共16分）1．设，其中具有二阶连续偏导数，求。解：，（2分）（2分）（2分）（2分）2．设求和（已知）。解：将所给方程两边对求导并移项，得（4分）由已知，可得，（2分）。（2分）四．计算下列各题（每题8分，共32分）1．计算二重积分，其中：。解：利用极坐标变换（3分）（3分）（2分）2．计算三重积分其中为球面所围成的闭区域。解：应用球面坐标计算。即为，则（3分）＝（3分）＝（2分）3．计算,其中L为圆周,直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。解：所求积分的曲线可分为三段：线段OA、弧AB、线段OB。线段OA：，，，；（2分）弧AB：，，，OyBAxx所以OyBAxx线段OB：，，，所以。（2分）综上，＝。（2分）4．计算曲面积分,其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分的前侧。zz=3z=0zoyx解：由于曲面在坐标面上的投影区域为0，所以；（2分）曲面在坐标面上的投影区域为,===;（2分）同理，曲面在坐标面上的投影区域为0x1,0z3,===;（2分）故，=2·=。（2分）五．（8分）求幂级数（）的和函数，并求数项级数的和。解：在（-1，1）上，令=（3分）上式两边积分得：，（3分）=（2分）六．（8分）求微分方程满足初始条件的特解。解：对应齐次微分方程的特征方程为：故特征根，从而齐次微分方程的通解为：（2分）（2分）因不是特征根，故可令非齐次方程特解为：代入方程解得，于是原方程通解为：（2分）代入初始条件得，所以满足初始条件的特解为：。（2分）七．（6分）证明：，其中是正向一周。解：因曲线为封闭曲线，,满足Green公式条件，从而直接应用Green公式有：原式＝（2分）＝（1分）＝（2分）＝（1分）高等数学试卷1高等数学2高等数学试卷3高等数学试卷4高等数学试卷5高等数学（下）试卷一一、填空题（每空3分，共15分）（1）函数的定义域为（2）已知函数，则（3）交换积分次序，＝（4）已知是连接两点的直线段，则（5）已知微分方程，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线为，平面为，则（）A.平行于B.在上C.垂直于D.与斜交（2）设是由方程确定，则在点处的（）A.B.C.D.（3）已知是由曲面及平面所围成的闭区域，将在柱面坐标系下化成三次积分为（）A.B.C.D.（4）已知幂级数，则其收敛半径（）A.B.C.D.（5）微分方程的特解的形式为（）A.B.C.D.得分阅卷人三、计算题（每题8分，共48分）求过直线:且平行于直线：的平面方程已知，求，设，利用极坐标求求函数的极值5、计算曲线积分，其中为摆线从点到的一段弧6、求微分方程满足的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算，其中由圆锥面与上半球面所围成的立体表面的外侧2、（1）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（）（2）在求幂级数的和函数（）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数的定义域为；（2）已知函数，则在处的全微分；（3）交换积分次序，＝；（4）已知是抛物线上点与点之间的一段弧，则；（5）已知微分方程，则其通解为.二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线为，平面为，则与的夹角为（）；A.B.C.D.（2）设是由方程确定，则（）；A.B.C.D.（3）微分方程的特解的形式为（）；A.B.C.D.（4）已知是由球面所围成的闭区域,将在球面坐标系下化成三次积分为（）；AB.C.D.（5）已知幂级数，则其收敛半径（）.A.B.C.D.得分阅卷人三．计算题（每题8分，共48分）求过且与两平面和平行的直线方程.已知，求，.设，利用极坐标计算.得分求函数的极值.利用格林公式计算，其中为沿上半圆周、从到的弧段.6、求微分方程的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（）在区间内求幂级数的和函数.2、利用高斯公式计算，为抛物面的下侧高等数学（下）模拟试卷三一．填空题（每空3分，共15分）1、函数的定义域为.2、=.3、已知，在处的微分.4、定积分.5、求由方程所确定的隐函数的导数.二．选择题（每空3分，共15分）1、是函数的间断点（A）可去（B）跳跃（C）无穷（D）振荡2、积分=.(A)(B)(C)0(D)13、函数在内的单调性是。（A）单调增加；（B）单调减少；（C）单调增加且单调减少；(D)可能增加;可能减少。4、的一阶导数为.（A）（B）（C）（D）5、向量与相互垂直则.（A）3（B）-1（C）4（D）2三．计算题（3小题，每题6分，共18分）1、求极限2、求极限3、已知，求四．计算题（4小题，每题6分，共24分）1、已知，求2、计算积分3、计算积分4、计算积分五．觧答题（3小题，共28分）1、求函数的凹凸区间及拐点。2、设求3、（1）求由及所围图形的面积；（2）求所围图形绕轴旋转一周所得的体积。高等数学（下）模拟试卷四一．填空题（每空3分，共15分）1、函数的定义域为.2、=.3、已知，在处的微分.4、定积分=.5、函数的凸区间是.二．选择题（每空3分，共15分）1、是函数的间断点（A）可去（B）跳跃（C）无穷（D）振荡2、若=(A)1(B)(C)-1(D)3、在内函数是。（A）单调增加；（B）单调减少；（C）单调增加且单调减少；(D)可能增加;可能减少。4、已知向量与向量则为.（A）6（B）-6（C）1（D）-35、已知函数可导，且为极值，，则.（A）（B）（C）0（D）三．计算题（3小题，每题6分，共18分）1、求极限2、求极限3、已知，求四．计算题（每题6分，共24分）1、设所确定的隐函数的导数。2、计算积分3、计算积分4、计算积分五．觧答题（3小题，共28分）1、已知，求在处的切线方程和法线方程。2、求证当时，3、（1）求由及所围图形的面积；（2）求所围图形绕轴旋转一周所得的体积。高等数学（下）模拟试卷五一．填空题（每空3分，共21分）．函数的定义域为。．已知函数，则。．已知，则。．设L为上点到的上半弧段，则。．交换积分顺序。.级数是绝对收敛还是条件收敛？。．微分方程的通解为。二．选择题（每空3分，共15分）．函数在点的全微分存在是在该点连续的（）条件。A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分，也非必要．平面与的夹角为（）。A．B．C．D．．幂级数的收敛域为（）。A．B．C．D．．设是微分方程的两特解且常数，则下列（）是其通解（为任意常数）。A．B．C．D．．在直角坐标系下化为三次积分为（），其中为，所围的闭区域。A．B．C．D．三．计算下列各题（共分，每题分）1、已知，求。2、求过点且平行直线的直线方程。3、利用极坐标计算，其中D为由、及所围的在第一象限的区域。四．求解下列各题（共分，第题分，第题分）、利用格林公式计算曲线积分，其中L为圆域：的边界曲线，取逆时针方向。、判别下列级数的敛散性：五、求解下列各题（共分，第、题各分，第题分）、求函数的极值。、求方程满足的特解。、求方程的通解。高等数学（下）模拟试卷六一、填空题：（每题分,共21分.）．函数的定义域为。．已知函数，则。．已知，则。．设L为上点到的直线段，则。．将化为极坐标系下的二重积分。.级数是绝对收敛还是条件收敛？。．微分方程的通解为。二、选择题：（每题3分,共15分.）．函数的偏导数在点连续是其全微分存在的（）条件。A．必要非充分，B．充分，C．充分必要，D．既非充分，也非必要，．直线与平面的夹角为（）。A．B．C．D．．幂级数的收敛域为（）。A．B．C．D．.设是微分方程的特解，是方程的通解，则下列（）是方程的通解。A．B．C．D．．在柱面坐标系下化为三次积分为（），其中为的上半球体。A．B．C．D．三、计算下列各题（共分，每题分）、已知，求、求过点且平行于平面的平面方程。、计算，其中D为、及所围的闭区域。四、求解下列各题（共分，第题7分,第题分，第题分）、计算曲线积分，其中L为圆周上点到的一段弧。、利用高斯公式计算曲面积分：，其中是由所围区域的整个表面的外侧。、判别下列级数的敛散性：五、求解下列各题（共分,每题分）、求函数的极值。、求方程满足的特解。、求方程的通解。高等数学（下）模拟试卷七一．填空题（每空3分，共24分）1．二元函数的定义域为2．一阶差分方程的通解为3．的全微分_4．的通解为________________5．设，则______________________6．微分方程的通解为7．若区域，则8．级数的和s=二．选择题：（每题3分，共15分）1．在点处两个偏导数存在是在点处连续的条件（A）充分而非必要（B）必要而非充分（C）充分必要（D）既非充分也非必要2．累次积分改变积分次序为(A)（B）（C）（D）3．下列函数中，是微分方程的特解形式(a、b为常数)（A）（B）（C）（D）4．下列级数中，收敛的级数是（A）（B）（C）（D）5．设，则(A)(B)(C)(D)得分阅卷人三、求解下列各题（每题7分，共21分）1.设，求2.判断级数的收敛性3.计算，其中D为所围区域四、计算下列各题（每题10分，共40分）1.求微分方程的通解.2.计算二重积分，其中是由直线及轴围成的平面区域.3.求函数的极值.4.求幂级数的收敛域.高等数学（下）模拟试卷一参考答案一、填空题：（每空3分，共15分）1、2、3、4、5、二、选择题：（每空3分，共15分）1.2.3.45.三、计算题（每题8分，共48分）1、解：平面方程为2、解：令3、解：，4．解：得驻点极小值为5．解：，有曲线积分与路径无关积分路线选择：从，从6．解：通解为代入，得，特解为四、解答题1、解：方法一：原式＝方法二：原式＝2、解：（1）令收敛，绝对收敛。（2）令高等数学（下）模拟试卷二参考答案一、填空题：（每空3分，共15分）1、2、3、4、5、二、选择题：（每空3分，共15分）1.2.3.4.5.三、计算题（每题8分，共48分）1、解：直线方程为2、解：令3、解：，4．解：得驻点极小值为5．解：，有取从原式＝－＝6．解：通解为四、解答题1、解：（1）令收敛，绝对收敛（2）令，2、解：构造曲面上侧高等数学（下）模拟试卷三参考答案一．填空题：（每空3分，共15分）1.；2.；3.；4.0；5.或二．选择题：（每空3分，共15分）三．计算题：1.2.3.四．计算题：1.；2.原式3.原式4.原式。五．解答题:1．2.3.（1）（2）、高等数学（下）模拟试卷四参考答案一．填空题：（每空3分，共15分）1.；2.；3.；4.；5.。二．选择题：（每空3分，共15分）1.；2.；3.；4.；5.。三．1.2.3.四．1.；2.3.