高等几何试题及答案

PAGE第4页系专业班学号姓名┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉试卷类型：A高等几何使用专业年级考试方式：开卷（）闭卷（√）共6页题号一二三四五六合计得分填空题（每小题4分，共20分）1、设(1)，(-1)，()为共线三点，则。2、写出德萨格定理的对偶命题：。3、若共点四直线a,b,c,d的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为：。5、二次曲线的点坐标方程为，则其线坐标方程为是。选择题（每小题2分，共10分）1.下列哪个图形是仿射不变图形？()A.圆 B.直角三角形 C.矩形 D.平行四边形2.表示()A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点B.以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点 C.以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点D.以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？()A.一次 B.两次 C.三次 D.四次4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有()：A.三角形的垂心B.梯形C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D.椭圆5.二次曲线按射影分类总共可分为()A.4类 B.5类 C.6类 D.8类三、判断题（每小题2分，共10分）1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。（）2.两直线能把射影平面分成两个区域。（）3.当正负号任意选取时，齐次坐标表示两个相异的点。（）4.在一维射影变换中，若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则此射影变换一定是对合。（）5.配极变换是一种非奇线性对应。（）┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3.(8分)在直线上取笛氏坐标为2，0，3的三点作为射影坐标系的P*,P0,E，(i)求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标λ的关系；（ii）问有没有一点，它的两种坐标相等？4.（8分）求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。5.(6分)求由两个射影线束，，所构成的二阶曲线的方程。6.(8分)试求二次曲线Γ：+2x1x3-4x2x3=0的中心与渐近线。┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉填空题（每小题4分，共20分）1（4分）如果两个三线形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点的连线交于一点。（4分）2（4分）射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群（4分）（4分）选择题（每小题2分，共10分）1.(D),2.(C),3.(B),4.(A),5.(B)判断题（每小题2分，共10分）1.(×),2.(√),3.(×),4.(√),5.(√)作图题（8分）第1页共4页作法过程：1、设a,b,c交于点A，在c上任取一点C,（2分）2、过C点作两直线分别与a交于B、E，与b交于F，D，（2分）3、BD与EF交于G,4、AG即为所求的d。（2分）根据：完全四点形的调和共轭性（2分）证明题（10分）证明：在三点形BTS与三点形DQP中（4分）对应顶点的连线BD,TQ,SP三线共点，（2分）由德萨格定理的逆定理知，（2分）对应边的交点BT与DQ的交点G，TS与QP的交点M以及BS与DP的交点H三点共线，即TS与QP的交点M在直线GH上。（2分）六、计算题（42分）（6分）解：设P点的坐标为（x0，yo）（分割比），（2分）且P在直线x+3y-6=0上，解得λ=1，（2分）即P是AB中点，且（ABP）=－1（2分）┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（6分）（1）（2分）（2）（1，1/2，0）（2分）（3）（2分）(8分)解：笛氏坐标023x射影坐标：P*P0Eλ（i）由定义λ=（P*P0，EP）=（20，3x）=（4分）(ii)若有一点它的两种坐标相等，即x=λ则有，即3x2－7x=0，∴当x=0及x=时两种坐标相等。（4分）（8分）设射影变换的方程为：（2分）由题意知：a+,,6a+3b+2c+d=0得到：故射影变换方程为：（4分）二重元素满足：得=7/3或=1（2分）（6分）解：由题意：（2分）由上式得：（2分）故所求方程即为（2分）6.(8分)解：二次曲线的齐次方程为：x12+3x1x2-4x22+2x1x3－10x2x3=0，∴二次曲线为常态的，设中心则中心为（4分）求渐近线方程：a11X2+2a12XY+a22Y2=0，X=x－ξ，Y=y－η。从X2+3XY－4Y2=0→（X+4Y）（X－Y）=0.X+4Y=(x－)+4(y+)=