大学物理第一章质点运动学

第一章质点运动学本章内容位矢、位移、运动方程、速度、加速度。直线运动、抛射体运动、圆周运动、曲线运动。相对运动。1－1质点运动的描述一．参考系、质点、时间和时刻

1．参考系自然界中所有的物体都在不停地运动，绝对静止的物体是不存在的，这就是运动的绝对性。但是对于运动的描述却是相对的。为了描述物体的运动，必须选择另一物体作为参考标准，这个被选作参考的物体叫做参考系。在运动学中参考系的选取是任意的。同一个物体的运动，在不同的参考系中看来是不同的。这叫运动的相对性。2．质点

当物体的大小和形状对所讨论的问题来说影响不大时，就可忽略物体的大小和形状，把物体当成只有质量的一个点，称为质点。一个物体是否可以抽象为质点，应根据问题的性质而定。3．时间和时刻任何物体的运动都是在时间和空间中进行的，运动不能脱离空间也不能脱离时间。在物理学中与一个过程对应的时间间隔称为时间，而某一瞬时称为时刻。其大小为方向余弦为1、坐标系与位置矢量

用来确定质点在某一时刻位置的矢量叫做质点的位置矢量，简称位矢。引入单位矢量后位矢为zxOyP二、坐标系、位置矢量、运动方程、位移2、运动学方程和轨道方程质点在空间中运动时，位矢将随时间变化。或分量式称为质点的运动学方程。运动质点在空间所经过的路径，叫做轨道。从运动学方程中消去时间对数t

后可得到轨道方程。形式为3、位移与路程

位移是描述质点位置矢量改变的物理量。与质点运动状态变化相对应。t

时刻：P点，r(t)t+

t

时刻：P1点，r(t+

t)t到t+

t

时间内位矢的增量为质点在t

到t+

t这一段时间内的位移。其大小为路程与位移的区别路程是质点在Δt内走过的轨道的长度Δs

，是标量，而位移是Δt内位矢的变化量，它和位矢均为矢量。位移的大小是质点实际移动的直线距离，也与路程Δs不同。运动员在跑道上跑完一圈又回到起点时，走过的路程为400米而位移=0。仅当Δt→0时，无穷小的位移大小才与路程相等。△S三、速度与速率设一质点在△t时间内从右图中P点运动到Q点，发生位移△r，定义：平均速度：OPQ瞬时速度，简称速度：速度方向沿轨道切线方向，其大小称为速率：在三维直角坐标系中另一方面比较上两式有：因而速率：速度矢量反映了质点在任一时刻运动的快慢和方向。要注意其矢量性、瞬时性和相对性。四、加速度

质点运动时，其速度的大小和方向都可能变化，为反映速度变化的快慢和方向引入加速度。PQ设质点在Δt

时间内由图中P点运动到Q点，速度改变了定义平均加速度：瞬时加速度，简称加速度：加速度的方向：沿

t0时速度增量的极限方向，在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧。在直角坐标系中因而有：其大小注意描述质点运动的状态参量的特性状态参量包括（1）矢量性。注意矢量和标量的区别。（2）瞬时性。注意瞬时量和过程量的区别。（3）相对性。对不同参照系有不同的描述。应注意它们的例1.

一质点运动学方程求质点在x=-4时的速度、速率和加速度。解：而x=-4时，t=2，代入得1－2直线运动当质点在一直线上运动时，通常将该直线选为x轴，质点的运动方程、位移、速度、加速度为：此时，位移、速度、加速度都只需用标量式表示，但应注意它们的正、负代表了矢量的方向。如：v>0表示沿x轴正向，v<0则沿x轴负向等。一、匀速与匀变速直线运动这一类型问题是直线运动中较简单，也是大家在中学就已熟习的。匀速直线运动：匀变速直线运动：注意：以上各式仅适用于匀加速情形。

例2.如图，几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一垂直面上。若使一物体从斜面上端由静止开始滑到下端的时间最短，则斜面的倾角应选75o60o45o30oLsα解：

故α=45o

时所用时间最短。二、直线运动的第一类问题：

已知x(t)，求v，a求解此类问题的基本思路是：先写出运动学方程x=x(t)，再用求导得出速度和加速度。注意：有时运动学方程是隐含在题目中的，要自己去找出来。例3如右图所示，一人在高为h的岸上以恒定的速率v0

收绳拉小船靠岸，求小船运动至图示位置时的速度与加速度。hxlv0

xO解：取x轴如图，小船的坐标：此即为小船的运动学方程，将上式对t求导可得：三、直线运动的第二类问题：

已知a(t)，求v(t)

，x(t)当a=常数时，积分结果就是前述匀变速直线运动的基本公式。当a

常数时，一定要自己积分得出结果。解此类问题的基本思路是求积分：或解微分方程例5.

一质点作直线运动，其加速度a=4t-5，且初始条件为x0=0,v0=0，求质点的速度和运动学方程。解：积分有其中积分常数C1

可由初始条件v0=0得：C1=0再次积分有：积分常数C2

可由初始条件x0=0得：C2=0，于是例4.

跳水运动员沿铅直方向入水，接触水面时速率为v0，入水后所受重力与浮力相抵消，仅受水阻力而减速。其加速度a=-kv2，k为常数，求运动员入水后的速度v和入水深度y随时间的变化，及速度随深度的变化v(y)。解：取y轴铅直向下为正原点位于水面，并取运动员接触水面时为计时零点。有：两边一起定积分得再次积分得要求v(y)，可由有积分得1－3曲线运动

一．运动的分解如图，A、B为在同一高度的两个小球。在同一时刻，使A球自由落体，B球沿水平方向射出，虽然两球的轨道不同，但是两球总是在同一时刻落地。说明，B球的运动可分解为在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向作自由落体运动。

根据大量实验事实得到如下结论：一个实际发生的运动，可以分解成几个各自独立进行的分运动。这个结论称为运动的分解二、抛射体运动yOx

如图，将一物体从坐标原点处以初速度倾角抛出，物体将在铅直平面内运动，加速度ax=0,ay=-g，可将物体的运动分解为：x

方向上匀速直线运动，y

方向上竖直上抛运动。1、运动方程和轨道方程消去时间t

得到轨道方程：运动学方程：yOx

其速度的两个分量为：2、射高与射程RyHOx

抛射体运动到最高点时，vy=0，可由速度公式得出上升时间t1代入运动学方程中得出射高H

和水平射程R

为：当

=45

时，水平射程最大例5.一人扔石头的最大出手速率为v0=25m/s，他能否击中与他的手水平距离L=50m，高H=13m的目标？在此距离上他能击中目标的最大高度？解：设他以角抛出石头，并将v0=25,x=50代入轨道方程有：高度y随tg

而变，为求极值（y的最大值）令：得：tg

=1.2755

时，最大高度ymax=12.29m

因而无法击中H=13m的目标。3、抛射体运动的另一种分解yOx

可写出抛射体的位矢因而抛射体运动可分解为：沿初速度方向的匀速直线运动＋自由落体运动。C

例6.一质点自由下落h的高度与倾角

=30°的斜面发生完全弹性碰撞后作抛射体运动，并再次与斜面在B点处相碰。如图，求A,B两点间的距离。ABh

解：由题可知质点斜抛的初速度大小与水平方向的夹角

=30°。将斜抛运动作图示分解，在本题中⊿ABC恰为一等边三角形，有：求出：三、圆周运动1、匀速率圆周运动其大小△

OABR△

△s此时速度大小不变仅方向变化。当

t0时，方向因而加速度方向指向圆心，称为向心加速度此时速度大小方向都在变化。2、变速率圆周运动OABR△

△sCA第一项仍是由于速度方向变化而引起的向心加速度，第二顶是由于速度大小变化引起的，方向沿轨道切线的切向加速度。OR例7、质点圆周运动半径为R，其加速度与速度之间的夹角恒定，初速为v0，求质点速度v(t)。解：由题有定积分得3、圆周运动的角量描述y质点作圆周运动时，给出角位置

，质点的位置就确定了。设在△t时间内，质点有角位移△

，则质点运动的xRP

角速度角加速度质点作变速圆周运动时又会随时间变化，定义：匀速率圆周运动：匀变速圆周运动：角量与线量间的关系：四、一般曲线运动OS＞0PS＜0自然坐标系在曲线上选一点O为原点，用质点到原点的弧长S表示质点位置。质点运动学方程：S=S(t)沿轨道切线方向和法线方向作单位矢量：质点运动速度：引入曲率圆（轨道上质点所在处的一小段弧线，与曲率圆相切）后，质点的加速度可套用圆周运动的结论，即有：

O'P其中为曲率圆半径，在轨道不同地方其值不同。例8、在高处将小球以水平初速度v0抛出，求小球在任一时刻

t的位置、轨道方程、速度，切向加速度和法向加速度。xyO解：取坐标系如图所示，则有1－4相对运动y

研究的问题:

在两个惯性系中考察同一物体的运动静止参照系S（相对观察者固定不动）运动参照系S

（相对S系沿x轴作匀速直线运动）OO

xx

yPzz

一、伽利略变换或逆变换：OO

xx

yy

Pzz

分量式：或：二、伽利略变换中蕴含的时空观伽利略变换中的时空观是：绝对空间和绝对时间观。即：空间长度和时间的测量结果都与参考系的相对运动无关。三、伽利略速度变换将式两边一起求导有：因而通常说：绝对速度＝相对速度＋牵连速度。用分量式表示为：四、伽利略加速度变换为不变量因为常矢量，dt=dt´，将速度变换式再对

t求导得：在惯性系中绝对加速度＝相对加速度例9

一人骑车以18km/h的速率自东向西行进时，看见雨点垂直下落。当他的速率增至36km/h时，看见雨点与前进的方向成120°角下落。求雨点对地面的速度。解：选取S系－地面，S´系－人，物体－雨点，则依题意有：120°

从右图中的几何关系可求出：例10、河水自西向东流动，速度为10km/h,