弹性力学徐芝纶版第3章

弹性力学第三章平面问题的直角坐标解答取满足相容方程的一、逆解法和半逆解法（一）逆解法的基本步骤：求出应力分量根据边界条件求出面力考察能解决什么问题§3-1逆解法与半逆解法多项式解答（二）半逆解法的基本步骤：根据问题的特点设出部分应力分量求出应力函数是否满足相容方程求出其他应力分量结束是否满足边界条件否是是否二、平面问题的多项式解答不难验证：等项及它们的线性组合均满足相容方程。下面用逆解法确定一下各种多项式能解决的问题。1.一次式当不计体力时，对应的应力状态为：相应边界条件为：可见线性函数对应于无面力无应力的状态。故:应力函数中加减一次式，不影响应力。2.二次式先来看不计体力时，如取矩形板（或无限长柱体），则对应于两侧受拉（a>0）或两侧受压(a<0)的情况。对应于应力分量是:可见能解决矩形板受均布剪力的问题。同样能解决矩形板受均布拉（压）力的情况。能解决矩形板拉剪组合的问题。3．对应的应力分量式：如图如果矩形梁侧面尺寸较小，面力可简化为两个力偶，则对应的是纯弯曲的问题。例

设图中所示的矩形长梁，l>>h，试考察应力函数能解决什么样的受力问题？yxol

h/2

h/2(l>>h)解：按逆解法。1.将代入相容方程，可见是满足的。有可能成为该问题的解。2.由求出应力分量,3.由边界形状和应力分量反推边界上的面力。

在主要边界（大边界）上，

因此，在的边界面上，无任何面力作用，即在x=0，l的次要边界（小边界）上，其主矢量和主矩FFM＝Fl由此，可得出结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在x=0处受集中力F作用的问题。矩形梁的纯弯曲如图，纯弯曲矩形梁，不计体力，试求其应力及位移。解：本题可取为平面应力问题或平面应变问题，取决于梁的宽度。先视为平面应力问题，取单位宽度。

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h/2lyx(l>>h)oMM应力函数为：对应的应力分量式：这一函数已满足了相容方程，只要对应的应力满足了应力边界条件，即为正确解答（单连通体）。在上下边界应满足：显然满足。而小边界的正应力边界条件显然无法精确满足，只能用圣维南原理使其满足积分边界条件。即：第一三式总能满足，第二式要求：即应力解答为：注意到梁截面的惯性矩是上述解答和材料力学中是一致的。试用应力函数求图示问题的应力。PPh1利用小边界条件可求得：或：PPh1§3-2位移分量的求出下面求位移分量，代入物理方程（平面应力）得：

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h/2lyx(l>>h)oMM再代入几何方程，得：前两式积分得：代入第三式得：移项得：可得：积分得：（1）（2）可得：上式对任意的x,y

都必须成立，故两边都必须为同一常量由约束（位移边界）条件确定待定常数（1）设梁两端简支，如图边界条件为：处

处上述边界条件代入位移表达式得：解得各常数代入位移表达式得：（2）若梁一端固支。如图边界条件无法精确满足，按照材料力学固定端处：上述边界条件代入位移表达式得：解得：即位移解答为：求图示问题的位移（平面应力）。h1Pxyz代入第三式得：移项得：积分得：（1）（2）可得：边界条件为：处（1）（2）无法精确满足。可得：处Pxyz习题解答2-8（1）解：下边的等效应力边界条件：（2）解:(a)在主要边界应精确满足下列边界条件：(b)在小边界x=0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件(c)在小边界x=l等效应力边界条件：2-9解：首先根据静力等效的原则：二者面力静力等效。向小边界中心O1简化：向原点O简化：向小边界中心O1简化：向原点O简化：2-13（a）平衡方程：（b）边界条件：满足上下自由边界条件也满足左右边界条件。3相容方程：不满足相容方程。所以不是原方程的解。2-16解：验证边界条件：如图任取一点，设外法线的方向余弦分别为l和m,则：是多连通体，验证位移单值条件：满足应力边界条件。满足位移单值条件。2-17

解：（1）由材料力学公式：h（2）平衡微分方程不计体力时，代入平衡微分方程均满足满足相容方程。（3）相容方程满足主要边界条件。（4）边界条件。hx=0小边界，利用圣维南原理（4）边界条件。hx=l小边界，先换为应力边界，再利用圣维南原理以上应力可以认为是正确解答。本题解答已满足平衡方程，则最后一个边界的积分应力边界条件必然满足，可以不再校核。§3-3简支梁的受均布载荷力学模型进一步将位移边界条件化为应力边界条件：解：挤压应力显然不为0。由于在上下边界不随x变化，设

则积分得：将上式代入相容方程，得：上式可以看作是x的二次方程，要求在x的定义域内恒成立，即有无穷多解，则：前两个方程要求：注意：此处略去了的常数项。WHY?代入以上第三式：注意：此处略去了的常数项及一次项。首先考虑对称性：应是x偶函数，是x的奇函数。应是x偶函数，是x的奇函数。可得：E=F=G=0

（1）下面利用边界条件：先看主要边界条件（2）将应力分量代入（2）中，并注意（1）得：联立解得：对于左右侧面，边界条件无法精确满足，只能引入圣维南原理，（1）（2）（3）由（1）（2）解得：代入（3）经验证成立。即应力分量的解答为：本题按按半逆解法求解时，也可以参照材力假设应力：由材力试取应力不计体力求解轴向受拉杆的其它应力。PPh1yxPPh1yx边界条件：上下边界均满足。左边界：由对称性（关于x、y均对称）：A=B=C=D=0PPh1yx§3-4楔形体受重力和液体压力应力（量纲L-1MT-2(N/m2)）显然与gg、rg

（量纲L-2MT-2(N/m3))和坐标（量纲L(m)）有关，所以必为坐标的纯一次式。采用量纲分析法：作用：辅助进行应力分析方法：首先找到可能与分析的量相关的所有量，通过分析他们的量纲，找到与所分析量之间的关系。体力:（1）（2）（3）所以应力函数必为坐标的纯三次式,由此设:在左面，将（1）（3）式代入得：即：斜面的方程为：方向余弦应力边界条件是：αn由此解得：代入得应力解答：注意：1.沿着坝轴，坝身往往具有不同的截面，而且坝身也不是无限长的。因此，严格说来，这里不是一个平面问题。2.这里假定楔形体下端无限长，因此对于坝身底部来说，上面的解答是不精确的。3.坝顶总有一定的宽度，因此在靠近坝顶处，以上解答也不适用。思考与练习（P49）3-43-53-73-8习题解答2-17

解：（1）由材料力学公式：h（2）平衡微分方程不计体力时，代入平衡微分方程均满足满足相容方程。（3）相容方程满足主要边界条件。（4）边界条件。hx=0小边界，利用圣维南原理（4）边界条件。h