2021-2022学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷

第第16页（共24页）2021 学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在平面直角坐标系xOy中，直线−√3x+1（ ）2 5A．6 B．3 C．3 D．63 1 52．数列1，，，

的一个通项公式可以是（ ）4 2 16+1

24+1 +3242A．22

B．+1

C． D．抛物线y＝4x2的焦点坐标是（ ）1A（01）

B，） C0） D（0，）16为＝2+m在＝3（ ）A．4 B．12 C．15 D．21A．B．C．D．函数1A．B．C．D．l1：x﹣my﹣2＝0l2：mx+y+2＝0O为坐标原点，则的最大值是（ ）A．2

B．2√2 C．2√3 D．44月295411轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度．已知天和核心舱在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度大约351km，远地点高度大约385km，地球半径约6400km，则该轨道的离心率为（ ）17 B．

385C．

6785D．6768

368

736

13536已知圆C（x﹣1）2+y2＝2，点P（0，a）的直线与圆C点A，B，且则实数a的取值范围是（ ）A−1，−√3）∪√3√）C，3）

−4520分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题520分．以下四个命题正确的有（ ）ax﹣2y+4＝0x轴上的截距为a＝2mx+y﹣1＝0（m∈R）x2+y2＝4圆相离x﹣2y+1＝0关于点x﹣2y﹣9＝0设等差数列前n项和为Sn，公差d＞0，若则下列结论中正确的有（ ）A．S30＝0n＝15时，Sn取得最小值C．a10+a22＞0D．当Sn＞0时，n的最小值为292 2线9−16=1为点P在双曲线上，下列结论正确的是（ ）5 3该双曲线的离心率为 该双曲线的渐近线方程为y＝±x4 4144C．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为16 D．点P到两渐近线的距离乘积25关于函数f（x）＝ex，g（x）＝lnx，下列说法正确的是（ ）x＞0，g（x）≤x﹣11−对任意的x＜0，f（x）≥ 11−y=()

−x+g（x）的最小值为e﹣1()x＞0a≤()

1的最大值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．设a线x+ay+2a＝0与直线ax+y+a+1＝0平行，则a为 ．14．求值 √2= ．→0375年325年0，经过点CCPCQPQ的长度为．{an}a1＝1，an+1

2 ，

记则b2＝ 的通项公+1，为奇数式为 ．四、解答题：本大题共7小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17（0+3答：

− 列n前n为SN，a4＝， ，项和Tn．

1 ，求数列n+218（2E（﹣1+4与xA，BPA，Bl：x＝4M，N两点．AP2PB的方程；CC的方程．19（2P，O：+＝4．P⊙Ot的值及切线方程；P1l⊙O两点，当△OMNt的值．20（23 31 2间[0，]，[，1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段为第二次操作：…，如此这样，每次在上一次3 31 2三分集”为{[0，]，[，1]}．3 3定义，﹣nan∈，求a；49n不小于25

，求n的最小值．（参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg7＝0.8451）21（2=13−1a2+（∈．3 20＜a＜1[0，1]M﹣N的取值范围．2 2 3 1222（2设ab圆：2+ 21a＞＞(1，为．2E2EPk1，k2k1+k2=1，试探究2过C，D两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由．23（2数）＝x（e，＝( ∈[−2，]，a．l＝xf，g（xaf（x）＝g（x）a2021 学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在平面直角坐标系xOy中，直线−√3x+1（ ）2 5A．6 B．3 C．3 D．63解：设直线的倾斜角为直线y=−√3x+1，∴= =−√3，∴θ=2．3故选：C．3 1 52．数列1，，，

的一个通项公式可以是（ ）4 2 16+1

+1 +3A．2

B．+1

C． D．23 1 5

2 42 3 4 5 +1解：数列1，，，，可以转化为，，，

，则其一个通项公式可以为 ．4 2 16故选：A．

2 4 8 16 2抛物线y＝4x2的焦点坐标是（ A（01） B，）

C0）

1D（0，）解：∵抛物线的标准方程为2=1

，∴2 =

161=

1)．故选：D．

4 4，2 16 16为＝2+m在＝3（ ）A．4 B．12 C．15 D．21解：∵S＝2t2+3，∴S′＝4t，∴t＝3t＝312．函数1+ln（x2）的图象大致是（ ）A．B．C．D．f（x）=1+ln（x2）的定义域为{x|x≠0}CD；f（﹣e）=1+lne2＝21A．B．C．D．故选：A．l1：x﹣my﹣2＝0l2：mx+y+2＝0O为坐标原点，则的最大值是（ ）A．2 B．2√2 C．2√3 D．4解：∵直线l1：x﹣my﹣2＝0与直线l2：mx+y+2＝0交于点Q，=2−2

2−2− −2=0由{ ，可

2+1

−2+2 ，+ +2=0 =−2+22+1

2+1

2+1mO为坐标原点，则|OQ|√(2−2

)2+(−

)2=√8(1+ 2)

2√2 ，m＝0所以2√2．

2+1

(1+

2)2

√1+ 24295411约385km，地球半径约6400km，则该轨道的离心率为（ ）17 B．

385C．

6785D．6768

368

736

13536解：设椭圆的半长轴为a，半焦距为c，则根据题意可得a+c＝385+6400，a﹣c＝351+6400，17解得a＝6768，c＝17，故该轨道即椭圆的离心率为=故选：A．

6768，已知圆C（x﹣1）2+y2＝2，点P（0，a）的直线与圆C点A，B，且则实数a的取值范围是（ ）A−31，−√3）∪√3√）C，3）

B．[−3√11，−C﹣2+＝2C1，0=√2．A•PB＝（PC+（PC﹣）＝PC2﹣1a²﹣＝²1，a²﹣1＞0a＞1a＜﹣1，2因为|A＝ABPB＝2AB2AB²＝a²1AB²=2∴−√17≤a≤√17a＞1a＜﹣1，

2−1≤2r＝2√2，解得−√17≤a≤√17，4520分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题520分．以下四个命题正确的有（ ）ax﹣2y+4＝0x轴上的截距为a＝2mx+y﹣1＝0（m∈R）x2+y2＝4圆相离x﹣2y+1＝0关于点x﹣2y﹣9＝0解：对于A：因为直线ax﹣2y+4＝0在x轴上的截距为﹣2，所以有﹣2a﹣2×0+4＝0，所以a＝2，故A正确；对于B：直线y﹣2＝k（x+1）可得y＝kx+2+k，因为直线y﹣2＝k（x+1）不经过第四象限，所以{ ≥0 ，∴k≥0，故B不正确；2+ ≥0对于Cmx+﹣1（，1+2＜4，所以点（0，1）x2+y2＝4x2+y2＝4CDx﹣2y+1＝0关于点（2，﹣1）x﹣2y+1＝0平行，+＝≠，|2×1−2×(−1)+1| |2×1−2×(−1)+|∴ √12+(−2)2

√12+(−22 ，∴+4＝，∴＝9或c1，x﹣2y﹣9＝0D故选：AD．设等差数列前n项和为Sn，公差d＞0，若则下列结论中正确的有（ ）A．S30＝0n＝15时，Sn取得最小值C．a10+a22＞0D．当Sn＞0时，n的最小值为29解：∵等差数列{an}前n项和为Sn，公差d＞0，若S9＝S20，∴91+1×9×8 =20a1+1×20×19，∴a1+14d＝a15＝0，2 22对于A，∵d＞0，∴S30＝30a1+1×30×29 =30（﹣14d）+435d＝﹣15d＜0，故A错误；2对于B，∵d＞0，∴该等差数列是单调递增数列，∵a15＝0时，SnB正确；C，∵d＞0，∴该等差数列是单调递增数列，∵a15＝0，∴a10+a22C正确；D，∵d＞0，n∈N*，∴由Sn＝na1+1( −1) =(−14) +1( −1) =1( −解得n＞29，n∈N*，2 2 2∴n的最小值是30，故D错误．故选：BC．2 2线9−16=1为点P在双曲线上，下列结论正确的是（ ）5 3该双曲线的离心率为 该双曲线的渐近线方程为y＝±x4 4144C．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为16 D．点P到两渐近线的距离乘积25解：由双曲线的标准方程可知：a2＝9⇒a＝3，b2＝16⇒b＝4，c2＝9+16＝25⇒c＝5，3A：= =5A错误；34B：渐近线为=± ⇒ =±4

，故B正确；C：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，| −| =则

⇒{ 2+ 2−2 =42⇒2 =42−42⇒ ={ 2+ 2=(2)2 2+ 2=42=1=△ 12 2

=16，故C正确；DP0，0

2 20− 0

=1⇒162−92

=144，9 16 0 0双曲线渐近线为：3x+4y＝0，3x﹣4y＝0，|30+40| |30−40|

|92−16 2|

144∴点P到两渐近线的距离乘积为 5 ⋅ 5 故选：BCD．

0 0 25

25D正确．关于函数f（x）＝ex，g（x）＝lnx，下列说法正确的是（ ）x＞0，g（x）≤x﹣11−对任意的x＜0，f（x）≥ 11−y=()

−x+g（x）的最小值为e﹣1()x＞0a≤()

1的最大值为h＝﹣﹣g）﹣x0，'）＝−1=1，x＞1h'（x）＞0，h（x）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，x＝1所以有x﹣1﹣lnx≥0⇒lnx≤x﹣1，即g（x）≤x﹣1，所以本选项正确；B：f（﹣1）1， 1 =1 11，所以本选项不正确；，显然1−(−1) 2 2C：由y=()

−x+g（x）= − +⇒ y'=(−1)(

−)，2设y＝ex﹣x⇒y′＝ex﹣1，2当x＞0时，y′＞0，所以函数y＝ex﹣x单调递增，所以当x＞0时，y＞1，2因此当x＞1，y'=(−1)( 2

函数y= − + 单调递增，2当0＜x＜1时(−1)( 2

函数y= − + 单调递减，()所以当x＝1数y= − + 有最小值，最小值为e﹣1+ln1＝e﹣1，D：在x＞0式a≤() 成立，()()a()()

恒成立，()a＞() ⇒aeax＞lnx⇒axeax＞xlnx⇒lneax•eax＞xlnx，()时，数（＝（t0，′（+，当t＞1 h′（t）＞0，h（t）单调递增，时，0＜t1时，h′（t）＜0，h（t）单调递减，1当t= 时，函数1 1最小值为：h（）=− ，eax•e＞⇒x＞（x，a＞0eax＞1，x1h（eax）＞h（x）eax＞x恒成立，，0＜x1，

h（eax）＞0，h（x）＜0，eax＞x也成立，即ax＞lnx是a＞ 成立，

⇒F'（x）=1− ，2当x＞e时F'（x）＜0，F（x）单调递减；当时，F'（x）＞0，F（x）单调递增，当x＝e数F（x）即F（e）=1，式a＞ 恒成立，2a1，当a≤0时，aeax≤0，而y＝lnx的值域为全体实数集，显然aeax＞lnx不可能恒成立，()a1时，对于∀x＞0a()()

恒成立，1 () 1因此当a≤ 时，存在x＞0使得不等式a≤() 成立，所以实数a的最大值为，因此本选项结论正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．设a线x+ay+2a＝0与直线ax+y+a+1＝0平行，则a为 ﹣1 解：因为直线x+ay+2a＝0与直线ax+y+a+1＝0平行，所以a2＝1，解得a＝±1；当a＝1故a＝﹣1．故答案为：﹣1．求值→0

√2 =4 ．=解： √2+3−√2= (√2+3−√2)(√2+3+√2)=

3 =

=3√2→0 3√2

(√2+3+

→0√2+3+√2

2√2 4，故答案为：4．375年325年0轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点．已知抛物线C：y2＝4x，经过点A（5，4）25一束平行于C对称轴的光线，经C上点P反射后交C点Q，则PQ为 4 ．解：∵经过点A（5，4）一束平行于C对称轴的光线交抛物线于点P，抛物线C：y2＝4x，∴令4P（44，F（，0，4PQx=4=3

+1，+1 2 1PQ

42=

，化简整理可得，y

﹣3y﹣4＝0，解得y＝4或y＝﹣1，可得x=4，1故Q（，﹣1，4|PQ|=√(4−1)2+(4+1)2=254254

4．2 ，为偶数{an}a1＝1，an+1为 =3⋅−1 ．

记则b2＝5 列{bn}的通项公式+1，为奇数解：因为

1=

+1 =

2 +1，为奇数，所以a2＝a1+1＝2，a3＝2a2＝4，a4＝a3+1＝5，因此b2＝a4＝5，由于b1＝a2＝2，又bn+1＝a2（n+1）＝a2n+1+1＝2a2n+1＝2bn+1，即bn+1

+1＝2（bn

+11+1

+1}是以3为首项，2为公比的等比数列，则 +1=3⋅2−1，即 =3⋅−故答案为：5；=3⋅−四、解答题：本大题共7小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17（0+3答：

− n前n为S（∈Na＝7 n项和Tn．

1 的前+2+3+3

− =3；因为等差数列{an}公差大于零，a4＝7，1+3 =7所以−

=3，2 2解得a1＝1，d＝2，所以a

＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，b

= 1

1 =1 1 − 1 ，n n (2−1)(2+3) +2 2−1 2+3所以T=1 1+1−1+•+ 1

1 1 1

1 − 1 1− +1n 5 3

2−1

2+3）=4（1+

2+1 2+3）=3 (2+1)(2+3) ；若选②a2a5＝27；因为等差数列{an}公差大于零，a4＝7，所以(1+)( 1+4) =27{1+3 =7 ，解得，解得a1＝1，d＝2，所以a

＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，b

= 1

1 =1 1 − 1 ，n n (2−1)(2+3) 4（+2 2−1 2+3所以T=1 1+1−1+•+ 1

1 1 1

1 − 1 1− +1n 4（1−5 3

2−1

2+3）=4（1+

2+1 2+3）=3 (2+1)(2+3) ；若选③S6＝36；因为等差数列{an}公差大于零，a4＝7，所以{1+3 =7 ，61+15 =36解得a1＝1，d＝2，所以a

＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，b

= 1

1 =1 1 − 1 ，n n (2−1)(2+3) 4（+2 2−1 2+3所以T 1 1+1−1+•+ 1

1 1 1

1 − 1 1− +1n=4（1−5 3

2−1

2+3）=4（1+

2+1 2+3）=3 (2+1)(2+3) ．18（2E（﹣1+4与xA，BPA，Bl：x＝4M，N两点．APPB的方程；CC的方程．（E﹣）+＝40x＝1或＝，∵AP，PB的延长线分别交直线l：x＝4于M，N两点，∴（0（0（，在x⊥B，2，∴∠∵弦AP长为2，∴|AB|＝4，∴有sin∠PBA= =2，∴∠

PBA=6，6PxPB6

）=−√33，3B=−√3﹣3+3﹣3=0，3，3√3当P在x轴下方时，直线PB的斜率为：tan6= 3，3B=√3（﹣3﹣30，3∴直线PB的方程为√3x+3y﹣3√3=0或√3x﹣3y﹣3√3=0；（2知（﹣0B，0⊥B，，∴设直线PA的斜率为k，因此直线PB的斜率为−1，A＝（1，令＝，＝k（，，直线PB=−1（34，=−1，即N，−1，1因为5k

|MN|＝|5k+

1≥2√|5| ⋅|1|，同号，∴ |5k|+||√5k＝±5C最小，当=5 和（−（0为54）5时，2+y2＝5，5当=−（−和，（05﹣54）2+y2＝5，C（﹣2+5．19（2P，O：+＝4．P⊙Ot的值及切线方程；P1l与M，N两点，当△OMNt的值．（P+2±，3，①当=（，直线PP==−√33，3−3=−3（﹣1，即+＝．3√3当=−点P1−线P率k =−率= ，OP 33+3=3（x1，即x﹣＝0．3（2N=1O•ONnMON=1

∠MON＝2sin∠MON，2

sin则当△OMN面积最大时，∠MON＝90°，即OM⊥ON时，圆心C到直线l的距离d=√2，l：y﹣t＝x﹣1x﹣y+t﹣1＝0d=|−1|t＝3t＝1．√220（2(12)3 31 21 2后的“康托尔三分集”为{[0，]，[，1]}．3 3，﹣nannN，求；49nTn不小于25

，求n的最小值．（参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg7＝0.8451）（1 2第一次操作后的“康托尔三分集”为{[0，]，[，1]}，3 31 2 1 2 7 8第二次操作后的“康托尔三分集”为{[0，]，[，]，[，]，[，1]}；9 9 3 3 9 9[s，t]t﹣s，根据“康托尔三分集”的定义可得：1 1每次去掉的区间长后组成的数为以（t﹣s）为首项，为公比的等比数列，3 31 2第1（﹣（﹣，3 31 4第29﹣9（﹣，第3次操作去掉四个区间长为的区间

1 ﹣

（﹣，27 271 16第4次操作去掉8个区间长为81

（﹣（，81……n2n﹣11（t﹣s

2（﹣，3 3所以=2（﹣4=

﹣；3设定义区间为1，n由nb=2n3

81（49要使得“康托三分集”的各区间的长度之和不小于，2 49≥

252 49则满足25325

，即≥2所以nlg3

≥lg49⇒n≥27−25 ，25 2−3即即n≥ ≈1.6593，0.4771−0.3010因为n为整数，所以n的最小值为2．21（2=

3−1

（∈．3x

2ax+20＜a＜1[0，1]NM﹣N的取值范围．3−2解（为() =1 3 3−2

2+2（＝﹣a＝（﹣，令f′（x）＝0，可得x＝0或x＝a，当a＝0时，f′（x）≥0，此时f（x）在R上单调递增；当a＞0时，当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；a＜0x＜a减；当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．综上所述：当a＝0时，f（x）在R上单调递增；a＞0f（x）在（﹣∞，0）和（a，+∞）单调递增，在（0，a）单调递减；a＜0f（x）在（﹣∞，a）和（0，+∞）单调递增，在（a，0）单调递减．（2）由a＞0f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，又0＜a＜1，x∈[0，1]，故f（x）在[0，a]单调递减，在[a，1]单调递增．3−2则f（x）的最小值=() =1 3 3−2

3+2=−

3+2；6又(0) ==1−6

+2=7−1 ，3 2 3 22当≤ 时，f（x）的最大值∈[3∈[6M﹣N＝26

3+2)=1

3 4，1)．666− =2−(−666

3+2)=1

3 4，1)；6∈(633 当0＜＜2，f（x）的最大值=(1) =7−1 ，6∈(633 此时− =7− −(−1 3+2)=1 3− +13 2 6 6 2 令=

3− +1＜2，=

2−1=1( +1)( −6 2 3 3 2 2 2h（x）(02)ℎ(2

4＜ℎ()＜ℎ(0)=1，所以− ∈(

33，1)；3

3 81 33M﹣N[3

，2 2 3 1222（2设ab圆：2+ 21a＞＞(1，为．2E2EPk1+k2=2究过C，D两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由．1（，21所以有=2

⇒ 2=42⇒ 2=4(2− 2)⇒42=32，①2椭圆：+

2=1((13)，2 2 292122

4 =1，②由①②可解：a2＝4，b2＝3，24

23 =1；（2）由（1）可知：(0，√3)，设直线CD的方程为：y＝kx+m，若k＝0，由椭圆的对称性可知：k1+k2＝0，不符合题意；2 2k≠0CD的方程与椭圆方程联立得：4+31⇒（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，= +设1，12，1

2=−83+4

2，1

4 =3+42，=2因为1+ 2=1，21−√3所以1

+ 2−√32

=1⇒ 1