专题12.8 整式的乘除章末十大题型总结（培优篇）（华东师大版）（原卷版）

专题12.8整式的乘除章末十大题型总结（培优篇）【华东师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1幂的基本运算】 1【题型2利用幂的运算进行比较大小】 1【题型3利用幂的运算进行简便计算】 2【题型4幂的运算中的新定义问题】 3【题型5整式乘除的计算与化简】 4【题型6整式混合运算的应用】 4【题型7因式分解（提公因式与公式法综合）】 6【题型8因式分解（十字相乘法）】 6【题型9因式分解（分组分解法）】 7【题型10利用因式分解求值】 8【题型1幂的基本运算】【例1】（2023春·浙江·八年级期中）我们知道下面的结论：若am=an（a>0，且a≠1），则m=n．利用这个结论解决下列问题：设3m=2，3n=6，3p=18．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p=2n，②3m+n=4p-6，③p2-n【变式1-1】（2023春·河北沧州·八年级校考期中）若n为正整数．且a2n=4，则2aA．4 B．16 C．64 D．192【变式1-2】（2023春·江苏南京·八年级统考期中）已知5a=4，5b=6，5c=9，则a，【变式1-3】（2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第二十一中学校考期中）按要求完成下列各小题(1)若x2=2，求(2)若m-n=1，求3m(3)若xm⋅x2n+1=【题型2利用幂的运算进行比较大小】【例2】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）比较大小：81312741．（填>、<或【变式2-1】（2023春·江苏·八年级期末）若a3=2，b5=3，比较a，b大小关系的方法：因为a15=a35=25=32，b15=b53=33=27，【变式2-2】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法：①比较2a，2b的大小：当a>b时，②比较340和260的大小：因为340=3220可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．根据上述材料，解答下列问题：(1)比较大小：320__________915（填“>”或“<(2)已知a=344，b=433，c=522，试比较【变式2-3】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac(a≠1)，当b>c时，则有ab>ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，则有ab>(1)比较大小：520______420，961______2741；（填“>”、(2)比较233与3(3)比较312×5【题型3利用幂的运算进行简便计算】【例3】（2023秋·湖北荆州·八年级沙市一中校考期中）计算：-0.1255×-2A．1 B．-1 C．2 D．-2【变式3-1】（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）计算310×1A．9 B．19 C．3 D．【变式3-2】（2023春·贵州六盘水·八年级统考期中）计算-0.1252020×2【变式3-3】（2023春·江苏扬州·八年级统考期中）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．东东的作业计算：45解：原式=(1)计算：①82022②(12(2)若3×9n×【题型4幂的运算中的新定义问题】【例4】（2023春·江西抚州·八年级统考期末）对于整数a、b，我们定义：a▲b=10a×10b，a△b=(1)求2▲1-(2)若x▲3=5△1，求x的值．【变式4-1】（2023秋·山东临沂·八年级统考期中）定义：如果一个数的平方等于-1，记为i2=-1，那么这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a例如计算：(2+i根据以上信息，下列各式：①i3②i4③1+i④i+i其中正确的是（填上所有正确答案的序号）．【变式4-2】（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）对于整数a、b定义运算：a※b=(ab)m+(ba(1)填空：当m=1，n=2023时，2※-1=(2)若-1※4=10，2※-2=【变式4-3】（2023秋·北京海淀·八年级校考期中）在学习平方根的过程中，同学们总结出：在ax=N中，已知底数a和指数x，求幂N的运算是乘方运算；已知幂N和指数x，求底数a的运算是开方运算．小明提出一个问题：“如果已知底数a和幂N，求指数x是否也对应着一种运算呢？小明课后借助网络查到了对数的定义：如果N=ax（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作：x=logaN小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：(1)∵2∵2∵2∵24计算：log232=(2)计算后小明观黎（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，例如：log24+(3)于是他猜想：logaM+logaN=__________（a>0且a≠1(4)根据之前的探究，直接写出logaM-【题型5整式乘除的计算与化简】【例5】（2023秋·上海金山·八年级校联考期末）已知：a+b=32，ab=1，化简a-2b-2【变式5-2】（2023春·辽宁沈阳·八年级校考期中）（1）运用乘法公式计算：999（2）先化简，再求值：2x+y2x-y-3x+yx-2y-【变式5-3】（2023春·福建三明·八年级统考期中）为了比较两个数的大小，我们可以求这两个数的差，若差为0，则两数相等；若差为正数，则被减数大于减数．若M=a+3a-4，N=a+2(1)求M-N，要求化简为关于a的多项式；(2)比较M，N的大小．【题型6整式混合运算的应用】【例6】（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第三十七中学校校联考开学考试）阅读材料：材料1：将一个三位数或三位以上的整数分成左中右三个数，如果满足：中间数=左边数的平方+右边数的平方，那么我们称该整数是平方和数，比如，对于整数251，它的中间数是5，左边数是2，右边数是1，因为22+12=5，所以251是平方和数；再比如，对于整数3254，因为32+材料2：将一个三位数或者三位以上的整数分成左中右三个数，如果满足：中间数=2×左边数×右边数，那么我们称该整数是双倍积数；比如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，因为2×1×3=6，所以163是双倍积数；再比如，对于整数3305，因为2×3×5=30，所以3305是一个双倍积数，显然，361，5303这两个数也肯定是双倍积数．请根据上述定义完成下面问题：(1)如果一个三位整数既是平方和数，又是双倍积数，则该三位整数是_____．（直接写出结果）(2)如果我们用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，则a585b为一个平方和数，a504b为一个双倍积数，求a2【变式6-1】（2023秋·贵州遵义·八年级校考期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）(1)用含a，b的整式表示花坛的面积；(2)若a=2,b=1，工程费为500元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元?【变式6-2】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）在矩形ABCD内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（a>b），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD-AB=2时，A．2a B．2b C．-2b+b2 D【变式6-3】（2023秋·浙江·八年级期中）正方形ABCD中，点G是边CD上一点（不与点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B，C，E三点在同一条直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b（a>b）．(1)求图1中阴影部分的面积S1（用含a，b(2)当a=5，b=3时，求图1中阴影部分的面积(3)当a=5，b=3时，请直接写出图2中阴影部分的面积【题型7因式分解（提公因式与公式法综合）】【例7】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）分解因式（1）20a3-30a2（2）25（x+y）2-9（x-y）2【变式7-1】（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）分解因式：3a2【变式7-2】（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考开学考试）多项式-2a3-4【变式7-3】（2023春·湖南永州·八年级统考期末）请把下列各式分解因式(1)a(2)(【题型8因式分解（十字相乘法）】【例8】（2023春·湖南益阳·八年级校考期中）阅读下面的材料，解答提出的问题：已知：二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及解：设另一个因式为x+n，由题意，得x2x2所以n+3=-4m=3n，解得m=-21所以另一个因式为x-7，m的值为-21．提出问题：(1)已知二次三项式x2-5x-p有一个因式是x-1，另一个因式是(2)已知二次三项式3x2+2x-k有一个因式是x-5【变式8-1】（2023春·湖南邵阳·八年级统考期末）多项式x2+x-6可因式分解成x+ax+b，其中a，b均为整数，则a+bA．-1 B．1 C．-2023 D．2023【变式8-2】（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期中）分解因式：2x【变式8-3】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）材料1：由多项式乘法，x+ax+b=x2+a+bx+ab，将该式子从右到左地使用，即可对形如x材料2：因式分解：(x+y)2+2x+y+1，解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=上述解题用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：(1)根据材料1将x2(2)根据材料2将(x-y)2(3)结合材料1和材料2，将m2【题型9因式分解（分组分解法）】【例9】（2023秋·山东日照·八年级统考期末）已知a+b=3,ab=1，则多项式a2b+ab【变式9-1】（2023春·江苏·八年级期中）分解因式：a4-4【变式9-2】（2023春·福建漳州·八年级校考期中）阅读理解∶当一个多项式没有公因式又不能用公式法时，这里再介绍一种因式分解方法，叫分组分解法．比如因式分解：am+bm+an+bn=这种分组法是分组后用提公因式法分解；比如因式分解：a这种分组法是分组后用公式法分解．根据以上信息分解因式：(1)ab-a-b+1；(2)a2(3)n2【变式9-3】（2023秋·上海·八年级校考期中）因式分解：x2【题型10利用因式分解求值】【例10】（2023春·四川达州·八年级校联考期中）若a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，则多项式a2+bA．0 B．1 C．2 D．3【变式10-1】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）若x2+x-3=0，则x3【变式10-2】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市文晖中学校考期中）（1）当mn=-4，m+n=3，求m-n的值．（2）已知x+y=2,xy=34，求【变式10-3】（20