专题07圆（7个知识点3种题型1个易错点2种中考考法）（解析版）

专题07圆（7个知识点3种题型1个易错点2种中考考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1圆的定义知识点2点与圆的位置关系知识点3弦知识点4弧

知识点5圆心角定义知识点6同心圆与等圆

知识点7等弧【方法二】实例探索法题型1圆的定义题型2圆及有关概念题型3点与圆的位置关系【方法三】差异对比法易错点在解题中忽略了点与圆的多种位置关系【方法四】仿真实战法考法1.圆及有关概念考法2.点与圆的位置关系【方法五】成果评定法【学习目标】1.在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；2.了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

要点诠释：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.

要点诠释：

①定点为圆心，定长为半径；

②圆指的是圆周，而不是圆面；

③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.【例1】（2022秋·九年级课时练习）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图：(1)过点A作⊙O的直径AD；(2)过点B作⊙O的半径；(3)过点C作⊙O的弦．【详解】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径；（2）如图所示，连接，线段即为所求；（3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）．知识点2．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．【例2】（2023春·江苏苏州·九年级统考阶段练习）已知的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A与的位置关系是（

）A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定【答案】B【详解】解：∵，，∴，∴点A在圆上，知识点3.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

要点诠释：

直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.

为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.

证明：连结OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)

∴直径AB是⊙O中最长的弦.

【例3】（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，图中⊙O的弦共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【分析】根据弦的定义即可求解．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦．【详解】解：图中有弦共3条，知识点4.弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

要点诠释：

①半圆是弧，而弧不一定是半圆；

②无特殊说明时，弧指的是劣弧.【例4】（2023·江苏·九年级假期作业）（1）图①中有条弧，分别为；（2）写出图②中的一个半圆；劣弧：；优弧：．【答案】2；,；；；．【详解】解：（1）图①中有2条弧，分别为,；故答案为：2，,；（2）写出图②中的一个半圆；劣弧：；优弧：．故答案为：；；．知识点5圆心角定义

如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

【例5】（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）下列图形中的角，是圆心角的为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；B、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；C、是圆心角，故本选项符合题意；D、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；故选：C．知识点6.同心圆与等圆

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.知识点7.等弧

在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

要点诠释：

①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；

②圆中两平行弦所夹的弧相等.【例6】下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B.提示：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选：B．【方法二】实例探索法题型1圆的定义1．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.【答案与解析】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.2．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，求证：点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.【答案与解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OC=OB=OD，∴点A、B、C、D在以点O为圆心、OA为半径的圆上.【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.3.平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形【答案】C.4.直角三角形的三个顶点在⊙O上，则圆心O在.【答案】斜边的中点.【解析】根据圆的定义知圆心O到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，斜边上的中点到各顶点的距离相等.【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等.5.如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°．求∠AOC的度数．【思路点拨】连接OD，如图，由AB=2DE，AB=2OD得到OD=DE，根据等腰三角形的性质得∠DOE=∠E=20°，再利用三角形外角性质得到∠CDO=40°，加上∠C=∠ODC=40°，然后再利用三角形外角性质即可计算出∠AOC．【答案与解析】解：连接OD，如图，∵AB=2DE，而AB=2OD，∴OD=DE，∴∠DOE=∠E=20°，∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°，而OC=OD，∴∠C=∠ODC=40°，∴∠AOC=∠C+∠E=60°．【总结升华】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．题型2圆及有关概念 6．判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)

①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（）

②弦是直径；（）

③长度相等的两段弧是等弧；（）

④直径是圆中最长的弦.（）【答案】①√②×③×④√.

【解析】①因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；②直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；③只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；④直径是圆中最长的弦，正确.

【总结升华】理解弦与直径的关系，等弧的定义.7.下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧【答案】B.提示：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选：B．8．下列说法中，正确的是（）A．两个半圆是等弧B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧C．长度相等的弧是等弧D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧【答案】B.【解析】A、两个半圆的半径不一定相等，故错误；B、同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确；C、长度相等的弧是等弧，错误；D、同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧，故错误，故选B．【总结升华】本题考查了圆的有关概念，解题的关键是了解等弧及半圆的定义、优弧与劣弧的定义等.9.下列命题中，正确的个数是（）

⑴直径是弦，但弦不一定是直径；⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；

⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆；⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.

A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】⑴、⑵、⑶是正确的，⑷是不正确的.故选C.10．判断正误：有、，的长度为3cm,的长度为3cm，则与是等弧.【答案】错误.【解析】“能够完全重合的弧叫等弧”.在半径不同的圆中也可以出现弧的长度相等，但它们不会完全重合，因此，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.【总结升华】在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.11.有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣弧长.”试分析这个观点是否正确.甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长.乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，⊙O中的优弧，中的劣弧，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长.请你判断谁的说法正确？【答案】弧的大小的比较只能是在同圆或等圆中进行.乙的观点正确.12.点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B.提示：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点，图中的弦有AB、BC、CE，一共3条．故选B．题型3点与圆的为位置关系13.已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4cm；(2)5cm；(3)6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.【答案与解析】（1）当d=4cm时，∵d＜r，∴点P在圆内；（2）当d=5cm时，∵d=r，∴点P在圆上；（3）当d=6cm时，∵d＞r，∴点P在圆外.【总结升华】利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较.14.点A在以O为圆心，3为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________.【答案】0≤d＜3.15．如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP的长的取值范围是.【答案】3≤OP≤5.【解析】OP最长边应是半径长，为5；根据垂线段最短，可得到当OP⊥AB时，OP最短．∵直径为10，弦AB=8∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得AP=4，由勾股定理得OP=，∴OP最短为3.∴OP的长的取值范围是3≤OP≤5.【总结升华】关键是知道OP何时最长与最短.16.已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是_______．【答案】OP最大为半径，最小为O到AB的距离．所以5≤OP≤13.17．（2022秋•东台市期中）如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A． B． C． D．2【解答】解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0），则点O是AA'的中点，又∵点M是AC的中点，∴OM是△AA'C的中位线，∴OM＝A′C，∴当A'C最大时，OM最大，∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，∴点C在以B为圆心，2为半径的⊙B上运动，∴当A'C经过圆心B时，A′C最大，即点C在图中C'位置．A'C'＝AB+BC'＝3+2．∴OM的最大值＝+1．故选：A．18.已知⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线的距离d＝OD＝3cm，在直线上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点与⊙O位置关系各是怎样的?【思路点拨】判断点与圆的位置关系，关键是计算出点与圆心的距离，再与圆的半径比较大小，即可得出结论．【答案与解析】依题意画出图形(如图所示)，计算出P、Q、R三点到圆心的距离与圆的半径比较大小．连接PO，QO，RO．∵PD＝4cm，OD＝3cm，∴PO＝．∴点P在⊙O上．，∴点Q在⊙O外．，∴点R在⊙O内．【总结升华】本题也可以先计算出直线上的点恰好在圆上时，改点与垂足点D之间的距离，然后再比较得出结论.【方法三】差异对比法易错点在解题中忽略了点与圆的多种位置关系19．圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？【答案与解析】如图所示,分两种情况:（1）当点P为圆O内一点（如图1），过点P作圆O的直径，分别交圆O于A、B两点，由题意可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2，则AP=2，BP=10，所以圆O的半径为.图1图2（2）当点P在圆外时（如图2），作直线OP，分别交圆O于A、B，由题可得P到圆O最大距离为10，最小距离为2，则BP=10，AP=2，所以圆O的半径.综上所述，所求圆的半径为6或4.【总结升华】题目中说到最大距离和最小距离，我们首先想到的就是直径，然后过点P做圆的直径，得到圆的半径.通常情况下，我们进行的都是在圆内的有关计算，这逐渐成为一种习惯，使得我们一看到题首先想到的就是圆内的情况，而忽略了圆外的情况，所以经常会出现漏解的情况.这也是本题想要提醒大家的地方.体现分类讨论的思想.20.平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm，则圆的半径是（）.A.2.5cmB.6.5cmC.2.5cm或6.5cmD.5cm或13cm【答案】C.【方法四】仿真实战法一．圆及有关概念1．（2022•西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝OD，则∠ABD的度数为（）A．90° B．95° C．100° D．105°【解答】解：如图：连接OB，则OB＝OD，∵OC＝OD，∴OC＝OB，∵OC⊥AB，∴∠OBC＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∠ABD＝30°+75°＝105°．故选：D．2．（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH＝BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．二．点与圆的位置关系3．（2020•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝2+1，∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；故选：B．4．（2021•青海）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是．【解答】解：分为两种情况：①当点在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，∴直径AB＝4+9＝13（cm），∴半径r＝6.5cm；②当点在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，∴直径AB＝9﹣4＝5（cm），∴半径r＝2.5cm．综上所述，圆O的半径为6.5cm或2.5cm．故答案为：6.5cm或2.5cm．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）的半径为3，若点P在内，则的长可能为(

)A．2 B．3 C．4 D．以上都有可能【答案】A【详解】∵点P在内，的半径为5，∴，A、，故本选项正确；B、，此时P在圆上，故本选项错误；C、，此时P在圆外，故本选项错误；D、以上都有可能，不对，故本选项错误；2．（2023·江苏·九年级假期作业）已知的半径为，若，那么点与的位置关系是（）A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．都有可能【答案】A【详解】解：，点在内．3．（2022秋·江苏扬州·九年级统考阶段练习）已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】D【详解】解：∵圆的半径为6，∴直径为12，∵AB是一条弦，∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，4．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（

）A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形【答案】B【详解】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，只有乙是扇形，5．（2023·江苏·九年级假期作业）在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，的半径为2，要使点B在内时，实数b的取值范围是（）A． B． C．或 D．【答案】D【详解】解：要使点B在内，则，即解得，6．（2023秋·江苏徐州·九年级统考期末）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】解：∵在中，，，，∴，∵点在内且点在外，∴，二、填空题7．（2021秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的弦，，则．【答案】【详解】解：∵，∴，又，∴，8.（2022秋·江苏淮安·九年级统考阶段练习）如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角.【答案】【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数；∴故答案为：9.（2021秋·江苏·九年级专题练习）“顶点在圆内的角叫做圆心角”是的．（选填“正确”或“错误”）【答案】错误【详解】∵顶点在圆心的角是圆心角，∴顶点在圆内的角叫做圆心角说法错误，10．（2022秋·江苏·九年级统考期中）平面直角坐标系中，以点为圆心的，若该圆上有且仅有两个点到轴的距离等于，则的半径的取值范围是．【答案】【详解】解：如图，到轴的距离等于的点在直线或直线上，当与直线相切时，设切点为点，则，此时上只有一个点到轴的距离等于；当与直线相切时，设切点为点，则，此时上有三个点到轴的距离等于，由此可知，当上有且仅有两个点到轴的距离等于时，则直线与相离，直线与相交，的半径的取值范围是，11．（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）已知点到上各点的最大距离为，最小距离为，则的半径为．【答案】或【详解】解：当点在圆外时，∵外一点到上各点的最大距离为，最小距离为，∴的直径为，∴的半径为，当点在圆内时，∵内一点到上各点的最大距离为，最小距离为，∴的直径为，∴的半径为，12．（2022秋·江苏南京·九年级校联考期末）若一个半圆的长为6πcm，则其半径为cm．【答案】6【详解】解：设半圆的半径为r根据题意得：解得r=613．（2022春·江苏·九年级期末）圆的半径是2厘米，则这个圆的周长是厘米，这个圆的面积是平方厘米．【答案】【详解】解：∵圆的半径是2厘米，∴圆的周长是厘米，圆的面积为平方厘米，14．（2022春·江苏·九年级期末）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是．【答案】【详解】解：点M，N分别是AB，BC的中点，，当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图，，，，，15．（2023·江苏宿迁·统考二模）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为．【答案】/【详解】解：连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接，∵绕点B逆时针旋转得到，∴，，∵为等边三角形，∴，，∴，即，在和中，，∴，∵，四边形为正方形，∴，则，∴，∴点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动；∴当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值，在中，根据勾股定理可得：，∵，，

∴为等边三角形，∴，∴，故答案为：．16．（2023·江苏南京·统考二模）如图，的半径为2，是的一条弦，以为边作一个等边，则长的取值范围是．【答案】【详解】解：连接，以为边构造等边三角形，连接，∴，，∵为等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，当点与点重合时，最小为0，∴；三、解答题17．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）在矩形中，，．(1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？(2)若作，使、、三点至少