3.2.1双曲线及其标准方程课件-高二上学期数学人教A版选择性

第三章

圆锥曲线的方程3.

圆锥曲线及其标准方程复习巩固1.椭圆的定义:平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.2.椭圆的标准方程:2c(±c，0)(0，±c)a2＝b2＋c2思考：与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？

探索新知[1]取一条拉链，拉开它的一部分；[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2；[3]拉动拉链观察点M。思考：随着拉链逐渐拉开或者闭笼，观察拉链运动

的轨迹是什么？试着写出满足曲线的点的集合动手小实验①|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？上面两条合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支。知识归纳一、双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.通常情况下，我们把|F1F2|记为2c(c>0),

常数记为2a(a>0)，则双曲线定义还可以描述为若||MF1|-|MF2||=2a<2c，则点M的轨迹是双曲线.思考1

定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支.思考2定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)？如果不对常数加以限制，动点的轨迹会是什么？分3种情况来看：①若2a=2c,即||MF1|-|MF2||=|F1F2|，则轨迹是什么？F1F2M此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线②若2a>2c,即||MF1|-|MF2||>|F1F2|，则轨迹是什么？此时轨迹不存在③若2a=0,即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线设M(x,y)为双曲线上任一点,双曲线的焦距为2c(c>0),那么焦点F1,F2的坐标分别为F1(-c,0),F2(c,0),又设||MF1|-|MF2||=2a(0<a<c),则有二、双曲线标准方程①

建系:如图示，建立平面直角坐标系.②设点：③列式：O•••M④化简整理得：我们把上述方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点坐标分别是F1(-c,0),F2(c,0)的双曲线，这里c2=a2+b2.思考类比椭圆，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？O•••M这个方程也是双曲线的标准方程，它表示焦点在y轴上，焦点坐标分别是F1(0,-c),F2(0,c)的双曲线，这里c2=a2+b2.三、双曲线两种标准方程的特点①方程用“－”号连接；②分母是a2,b2,且a>0,b>0，但a,b大小不定；③c2=a2+b2

；

④

如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；

如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.OMF2F1xyF2F1MxOy椭圆双曲线定义方程焦点在x轴上焦点在y轴上焦点a,b,c的关系F1(－c,0),F2(c,0)a>0,b>0,c2=a2+b2

a,b,c中c最大a>b>0,a2=b2+c2

a,b,c中a最大四、双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a(a<c)|MF1|+|MF2|=2a(a>c)F1(0,－c),F2(0,c)F1(－c,0),F2(c,0)F1(0,－c),F2(0,c)例1

已知双曲线的焦点

F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.题后反思：求标准方程要做到先定型，后定量.题型一

双曲线的标准方程跟踪1.求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(1)焦点在x轴上，a=4，b=3；

(2)焦点在x轴上，经过点

(3)焦点为(0,-6),(0,6),且经过点(2,-5).(2)∵焦点在x轴上，故可设双曲线的标准方程为∴爆炸点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线靠近点B的一支.

例2已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.设爆炸点为P，

则∴炮弹爆炸点的轨迹方程为xyoBAP•••探究想一想：如果A,B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上？答：爆炸点应在线段AB的中垂线上.

由例2可知，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差,就可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但是不能确定爆炸点的准确位置.

要想确定爆炸点的准确位置，还需增设一个观测点C，利用A,C(或B,C)两处测得的爆炸声的时间差,求爆炸点所在的另一个双曲线的方程.

解这两个双曲线方程组成的方程组,就能确定爆炸点的准确位置.

这是双曲线的一个重要应用

.思考如何准确测出爆炸点的位置？

xyoBAP••••CABMOxy•探究如图,点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是,试求点M的轨迹方程,并由点M的轨迹方程判断轨迹的形式.解：由方程可知，点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在x轴上的双曲线.题型二

双曲线定义的应用×××√4或12(－1，＋∞)小结：