2024届新教材二轮复习 　离散型随机变量的均值 学案

2024届新教材二轮复习离散型随机变量的均值学案素养导引1.理解离散型随机变量的均值的概念、意义及性质.(数学抽象)2.会根据简单离散型随机变量的分布列求均值.(数学运算)3.会利用离散型随机变量的均值解决简单的实际问题.(数学建模)一、离散型随机变量的均值1.定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为:Xx1x2…xnPp1p2…pn则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=∑i=1nxipi为随机变量2.意义:它反映了离散型随机变量取值的平均水平.3.性质:E(aX+b)=aE(X)+b.【批注】(1)均值是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均数.(2)离散型随机变量的均值E(X)是一个数值,是随机变量X的一个数字特征,反映随机变量取值的平均水平.二、两点分布的均值如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=p.[诊断]1.辨析记忆(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)离散型随机变量的均值E(X)是一个随机数值. (×)提示:离散型随机变量的均值E(X)是一个常数.(2)随机变量的均值相同,则两个分布列也一定相同. (×)提示:两个随机变量的分布列不同也可以得到相同的均值.(3)若X服从两点分布,则E(X)=p. (√)提示:根据两点分布的均值公式,可得E(X)=p.2.(教材改编题)已知随机变量X的分布列为:X123P212则X的数学期望E(X)= ()A.85 B.95 C.2 D【解析】选C.E(X)=1×25+2×15+3×23.(教材改编题)已知离散型随机变量X的期望E(X)=1,则E(2X+1)等于 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.因为E(X)=1,所以E(2X+1)=2E(X)+1=3.学习任务一求离散型随机变量的均值(数学运算)【典例1】(1)已知某随机变量X的分布列为X-101P0.30.2m则E(X)等于 ()A.0.5 B.0.3 C.0.2 D.无法确定【解析】选C.由分布列的性质得0.3+0.2+m=1,所以m=0.5.根据随机变量的期望公式,得E(X)=-1×0.3+0×0.2+1×0.5=0.2.(2)某综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”,规则如下:在这一环节中嘉宾需要猜三道题目,若猜对一道题目可得1分,猜对两道题目可得3分,若三道题目全部猜对可得6分,若三道题目全部猜错,则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为23,12,13,且三道题目之间相互独立.求嘉宾在该“猜题【解析】根据题意,设X表示“所得分数”,则X的可能取值为-4,1,3,6.P(X=-4)=13×12×23P(X=1)=23×12×23+13×12×23+13P(X=3)=23×12×23+23×12×13+13P(X=6)=23×12×13所以X的分布列为:X-4136P1771所以E(X)=(-4)×19+1×718+3×718+6×1【思维提升】求离散型随机变量X的均值的步骤(1)根据题意,写出X的所有可能取值;(2)求出X取每个值对应的概率;(3)写出X的分布列;(4)由均值的定义求出E(X).【即学即练】1.设随机变量X服从两点分布,若P(X=1)-P(X=0)=0.4,则E(X)= ()A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7【解析】选D.由题意得P(X=1)+P(X=0)=1,因为P(X=1)-P(X=0)=0.4,所以解得P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,所以E(X)=1×0.7+0×0.3=0.7.2.甲、乙两人独立地从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门课程中任选3门进行选修,若记两人所选课程相同的门数为X,则X的期望等于 ()A.1 B.1.5 C.2 D.2.5【解析】选B.X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C63CP(X=1)=C61·P(X=2)=C62·P(X=3)=C63C所以E(X)=0×120+1×920+2×920+3×1学习任务二离散型随机变量均值性质的应用(数学运算)【典例2】(1)已知随机变量ξ满足E(ξ)=2,则E(2ξ+3)= ()A.2 B.4 C.6 D.7【解析】选D.因为随机变量ξ满足E(ξ)=2,所以E(2ξ+3)=2E(ξ)+3=4+3=7.(2)已知随机变量X,Y满足Y=2X+3,Y的期望E(Y)=73,X的分布列为X-101P1ab则a,b的值分别为 ()A.16,13 B.1C.13,16 D.3【解析】选C.因为E(Y)=2E(X)+3=73所以E(X)=-13则有-解得a=13,b=1【思维提升】离散型随机变量均值性质的应用对于aX+b型的随机变量的均值,可以先求E(X),然后利用均值的性质进行求解,即E(aX+b)=aE(X)+b.【即学即练】已知随机变量X的分布列如下:X-2-1012P111m1(1)求m的值;(2)求E(X);(3)若Y=2X-3,求E(Y).【解析】(1)由随机变量分布列的性质,得14+13+15+m+120=1,解得(2)E(X)=(-2)×14+(-1)×13+0×15+1×16+2×(3)由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×(-1730)-3=-62学习任务三离散型随机变量均值在决策中的应用(数据分析)【典例3】某一部件由4个电子元件按如图方式连接而成,4个元件同时正常工作时,该部件正常工作,若有元件损坏则部件不能正常工作,每个元件损坏的概率为p(0<p<1),且各个元件能否正常工作相互独立.(1)当p=15时,求该部件正常工作的概率(2)使用该部件之前需要对其进行检测,有以下2种检测方案:方案甲:将每个元件拆下来,逐个检测其是否损坏,即需要检测4次;方案乙:先将该部件进行一次检测,如果正常工作则检测停止,若该部件不能正常工作则需逐个检测每个元件;进行一次检测需要花费a元.①求方案乙的平均检测费用;②若选方案乙检测更划算,求p的取值范围.【解析】(1)各个元件能正常工作的概率均为1-15=4且4个元件正常工作相互独立,4个元件同时正常工作的概率为(45)4=256即该部件正常工作的概率为256625(2)①设X为检测费用,则有:当部件正常工作时,只需检测一次,则X=a,P(X=a)=(1-p)4,当部件不能正常工作时,需检测5次,则X=5a,P(X=5a)=1-(1-p)4,所以X的分布列为Xa5aP(1-p)41-(1-p)4E(X)=a(1-p)4+5a[1-(1-p)4]=5a-4a(1-p)4,故方案乙的平均检测费用为5a-4a(1-p)4;②方案甲的平均检测费用为4a,若选方案乙检测更划算,则5a-4a(1-p)4<4a,因为a>0,且0<p<1,解得0<p<1-22故p的取值范围是(0,1-22)【思维提升】离散型随机变量均值在决策中的应用首先应把实际问题概率模型化,然后分析相应的各个事件,并求出概率,列出分布列,最后利用公式求出相应的数学期望,再根据期望的大小作出判断.【即学即练】甲、乙两射击运动员进行射击比赛,射击相同的次数,已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环,将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示.(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙=8),以及甲击中9环以上(包括9环)的概率;(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).【解析】(1)由题图乙可知P(X乙=7)=0.2,P(X乙=9)=0.2,P(X乙=10)=0.35.P(X乙=8)=1-0.2-0.2-0.35=0.25.同理P(X甲=7)=0.2,P(X甲=8)=0.