2024届新教材二轮复习 　一元线性回归模型及参数的最小二乘估计 学案

2024届新教材二轮复习一元线性回归模型及参数的最小二乘估计学案素养导引1.了解一元线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义.(数学抽象)2.掌握最小二乘法,会求经验回归方程,能根据经验回归方程进行预测.(数学建模、数学运算)3.理解残差的概念,会利用残差进行回归分析.一、一元线性回归模型一元线性回归模型的完整表达式为Y=bx+a+eE(e)=0,D(e)=σ2,其中Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量,a,【批注】回归模型与函数模型的区别函数模型的特点是对于自变量在定义域内的任何一个值,因变量都有唯一一个确定的值与之对应.但在回归模型中,响应变量的取值不能完全由解释变量确定,还要加上随机误差.二、经验回归方程(1)有关概念=x+称为Y关于x的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为经验回归直线.求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的,叫做b,a的最小二乘估计.(2)计算公式=∑i=1n(xi-x)(yi思考正相关、负相关与的符号有何关系?提示:Y与x正相关的充要条件是>0,Y与x负相关的充要条件是<0.[诊断]1.辨析记忆(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)经验回归直线方程中,由x的值得出的y值是准确值. (×)提示:由经验回归方程得出的数据是预测值.(2)经验回归直线方程一定过点(x,y). (√)(3)经验回归直线方程一定过样本中的某一个点. (×)提示:经验回归直线可能不过样本中的任何一个点.(4)选取一组数据中的部分点得到的经验回归方程与由整组数据得到的经验回归方程是同一个方程. (×)提示:由不同数据得到的经验回归方程不一定相同.2.(多选题)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得经验回归方程,分别得到以下四个结论,其中一定不正确的结论是 ()A.y与x负相关且=2.347x-6.423B.y与x负相关且=-3.476x+5.648C.y与x正相关且=5.437x+8.493D.y与x正相关且=-4.326x-4.578.【解析】选AD.当两个变量正相关时,经验回归方程的系数>0,反之<0.3.一位母亲记录了儿子3岁~9岁的身高,由此建立的身高Y(单位:cm)与年龄X(单位:岁)的回归模型为=7.19x+73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高,则下列叙述正确的是 ()A.身高一定是145.83cm B.身高在145.83cm以上C.身高在145.83cm以下 D.身高在145.83cm左右【解析】选D.x=10时,=7.19×10+73.93=145.83,但这是预测值,而不是精确值,所以只能选D.学习任务一经验回归方程的求法及其应用(数学抽象)【典例1】某滑雪场在元旦假期开业,如表统计了该滑雪场开业第x天的滑雪人数y(单位:百人)的数据:天数代码x12345滑雪人数y(百人)911142620(1)根据表中的数据,求出y关于x的经验回归方程;(2)经过测算,当一天中滑雪人数超过3500人时,当天滑雪场可实现盈利,请根据y关于x的经验回归方程,预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.【解析】(1)由题表中数据可得,x=1+2+3+4+55y=9+11+14+26+205所以∑i=15xiyi∑i=15所以=∑i=15xiy=y-x=16-3.7×3=4.9,故经验回归方程为=3.7x+4.9.(2)因为一天中当滑雪人数超过3500人时,当天滑雪场可实现盈利,即3.7x+4.9>35时,可实现盈利,解得x>30137≈8.故根据经验回归方程预测,该滑雪场开业的第9天开始盈利.【思维提升】1.经验回归方程的求法(1)求x,y;(2)根据的公式,先分步求出各个因式的值,再计算出;(3)求出后,写出经验回归方程.2.经验回归方程的应用(1)进行预测:把经验回归方程看成一次函数,求函数值.(2)判断正、负相关:决定正相关还是负相关的是参数.【即学即练】某工厂统计2023年销售网点数(单位:个)与售卖出的产品件数(单位:万件)的数据如表:销售网点数x1719202123售卖出的产品件数y2122252730假定该工厂销售网点的个数与售卖出的产品件数为线性相关关系.(1)求2023年售卖出的产品件数y(单位:万件)关于销售网点数x(单位:个)的经验回归方程;(2)根据(1)中求出的经验回归方程,估计2023年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数.【解析】(1)由题,可得x=17+19+20+21+235y=21+22+25+27+305∑i=15xi∑i=15xi2=172+192+202则=2532-5×20×252020-5×202=3220=1故经验回归方程为=1.6x-7.(2)将x=40代入经验回归方程,则=64-7=57.故2023年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数约57万件.学习任务二经验回归直线的性质(数学运算)【典例2】(1)某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:千件)的影响.现收集了近5年的年宣传费x(单位:万元)和年销售量y(单位:千件)的数据,其数据如表所示,且y关于x的经验回归方程为=x-41,当此公司该种产品的年宣传费为16万元时,预测该产品的年销售量为 ()x4681012y525357090A.131千件 B.134千件C.136千件 D.138千件【解析】选A.由题意可得:x=4+6+8+10+125y=5+25+35+70+905则样本中心点为(8,45),可得45=8-41,解得=434,故=434x-41,令x=16,则=434×16-41=131,故当此公司该种产品的年宣传费为16万元时,预测该产品的年销售量为131千件.(2)已知两个变量x和y之间存在线性相关关系,某兴趣小组收集了一组x,y的样本数据如表所示:x12345y0.50.611.41.5根据表中数据利用最小二乘法得到的经验回归方程是 ()A.=0.21x+0.53 B.=0.25x+0.21C.=0.28x+0.16 D.=0.31x+0.11【解析】选C.因为x=15y=15×(0.5+0.6+1+1.4+1.所以经验回归直线必过点(3,1),而A,B,D项中的经验回归直线不过点(3,1),C项中的经验回归直线过点(3,1).【思维提升】关于经验回归直线的性质经验回归直线过样本中心点(x,y),利用这一性质,可以用来求经验回归方程,或者解决与参数相关的问题.【即学即练】已知x,y的对应值如表所示:x02468y1m+12m+13m+311若y与x线性相关,且求得的经验回归方程为=1.3x+0.6,则m= ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.x=0+2+4+6+85y=1+(m+1所以这组数据的样本中心点是(4,6m+17又点(x,y)在经验回归直线上,所以6m+175=1.3×4+0.6,解得学习任务三利用残差线性回归分析(数学运算)【典例3】(1)现收集了7组观测数据.用4种模型分别进行拟合.由此得到相应的经验回归方程并进行残差分析,进一步得到如图4个残差图,根据残差图,拟合效果最好的模型是 ()A.模型一 B.模型二C.模型三 D.模型四【解析】选D.当残差点比较均匀地落在水平的带状区域中时,说明选用的模型比较合适,带状区域的宽度越窄,拟合的精确度越好,拟合效果越好,对比4个残差图,可知模型四的图对应的带状区域的宽度最窄.(2)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位:万元)之间有如表关系:x24568y3040605070y与x的经验回归方程为=6.5x+17.5,当广告费支出5万元时的残差为 ()A.-10 B.-20 C.20 D.10【解析】选D.当广告费支出5万元时,观测值为60,预测值为=6.5×5+17.5=50,则残差为60-50=10.【思维提升】通过图形刻画回归效果若残差分布在以横轴为对称轴、宽度较小的带状区域内,则说明经验回归方程较好地刻画了因变量与自变量的关系.提醒:残差=观测值-预测值,观测值是被减数,预测值是减数.【即学即练】某农业科研所在5块面积相同的长方形试验田中均种植了同一种农作物,每一块试验田的施肥量x(单位:kg)与产量y(单位:kg)之间有如下关系:施肥量2040506080产量600800120010001400已知y与x