2024届新教材二轮复习 　条件概率 学案

2024届新教材二轮复习条件概率学案素养导引1.通过对具体情境的分析,了解条件概率的定义.(数学抽象)2.会计算简单随机事件的条件概率.(数学运算)3.能利用条件概率公式、概率的乘法公式解决简单的实际问题.(数学建模、数学运算)一、条件概率的定义一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下【批注】(1)每一个随机试验,都是在一定条件下进行的,条件概率则是当试验结果的一部分信息已经知道,即在原随机试验的条件上又加上一定的条件的概率;(2)事件A在“事件B发生”这个附加条件下发生的概率与没有这个附加条件下发生的概率一般是不同的;(3)当题目涉及“在…前提下”等字眼时,一般为条件概率,如题目中没有上述字眼,但已知事件的发生影响了所求事件的概率,也是条件概率.在条件概率的表示中,“|”之后的部分表示条件.二、概率的乘法公式对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A),即概率的乘法公式.[诊断]1.辨析记忆(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若事件A,B互斥,则P(BA)=1. (×)提示:由于事件A,B互斥,所以不可能同时发生,故错误.(2)事件A发生的条件下,事件B发生,相当于A,B同时发生. (√)提示:事件A发生的条件下,事件B发生,相当于A,B同时发生,正确.(3)P(B|A)与P(A|B)的意义相同. (×)提示:二者的样本空间不一样,前者的样本空间为事件A,后者的样本空间为事件B.(4)P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B). (×)提示:只有当A与B相互独立时,P(AB)=P(A)P(B).2.(教材改编题)将一枚硬币任意掷两次,事件A={第一次出现正面},事件B={第二次出现反面},则P(B|A)=________.

【解析】由题可知:P(B|A)=P(AB)答案:13.(教材改编题)有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9,寿命超过800小时的概率为0.8,在寿命超过500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为________.

【解析】设“寿命超过500小时”为事件A,“寿命超过800小时”为事件B,所求事件为B|A;因为P(A)=0.9,P(AB)=P(B)=0.8,则P(B|A)=P(AB)答案:8学习任务一条件概率的计算(逻辑推理、数学运算)【典例1】(1)(2023·全国甲卷)有50人报名足球俱乐部,60人报名乒乓球俱乐部,70人报名足球或乒乓球俱乐部,若已知某人报足球俱乐部,则其报乒乓球俱乐部的概率为 ()A.0.8 B.0.4C.0.2 D.0.1【解析】选A.报名两个俱乐部的人数为50+60-70=40,记“某人报足球俱乐部”为事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B,则P(A)=5070=57,P(AB)=4070所以P(B|A)=P(AB)P(A(2)在5道题中有3道物理题和2道历史题,如果不放回地依次抽取2道题,求在第1次抽到物理题的条件下,第2次抽到物理题的概率.【解析】设第1次抽到物理题为事件A,第2次抽到物理题为事件B,则第1次和第2次都抽到物理题为事件AB,从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间总数为A5事件A所含样本点的总数为A31×故P(A)=1220=3因为事件AB含A32=6所以P(AB)=620=3所以在第1次抽到物理题的条件下,第2次抽到物理题的概率为P(B|A)=P(AB)P(【思维提升】条件概率的计算方法(1)利用定义计算分别计算P(AB)及P(A),然后借助条件概率公式P(B|A)=P(AB(2)利用古典概型计算已知A发生,在此条件下B发生,相当于AB发生,要求P(B|A)相当于把A看作新的基本事件空间来计算AB发生的概率,即P(B|A)=n(AB)【即学即练】1.已知n是一个三位数,若n的十位数字大于个位数字,百位数字大于十位数字,则称n为递增数.已知a,b,c∈{0,1,2,3,4},设事件A为“由a,b,c组成一个三位数”,事件B为“由a,b,c组成的三位数为递增数”,则P(B|A)=________.

【解析】先计算所有三位数的个数:C41C51C51=100个再计算递增数的个数:C53=10即n(AB)=10个,故P(B|A)=n(AB)答案:12.某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己6名学生参加演讲比赛,采用抽签法决定演讲顺序,在“学生甲和乙都不是第一个出场,且甲不是最后一个出场”的前提下,学生丙第一个出场的概率为____________.

【解析】设事件A:“学生甲和乙都不是第一个出场,且甲不是最后一个出场”,事件B:“学生丙第一个出场”;对事件A,甲和乙都不是第一个出场,且甲不是最后一个出场,第一类:乙在最后,则优先从中间4个位置中选一个给甲,再将余下的4名学生全排列有C41·A第二类:乙不在最后,则优先从中间4个位置中选两个给甲、乙,再将余下的4名学生全排列有A42·A故总的有n(A)=C41·A44+A对事件AB,此时丙第一个出场,优先从除甲以外4名中选一名排在最后,再将余下4名全排列有C41·P(B|A)=n(AB)n(答案:1学习任务二概率乘法公式的应用(数学运算)【典例2】(1)有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取1粒,则这粒种子能长成幼苗的概率为________.

【解析】记“种子发芽”为事件A,“种子长成幼苗”为事件AB(发芽又成活),出芽后的幼苗成活率为P(B|A)=0.8,又P(A)=0.9.故P(AB)=P(A)P(B|A)=0.72.答案:0.72(2)两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是0.6和0.5,两人各投一次,则他们同时命中的概率是________.

【解析】设“第一个篮球运动员罚球一次,命中”为事件A,“第二个篮球运动员罚球一次,命中”为事件B,则P(A)=0.6,P(B)=0.5,事件A和B相互独立,则“两人各投一次,他们同时命中”可用事件AB来表示,P(AB)=P(A)·P(B)=0.6×0.5=0.3.答案:0.3【思维提升】概率乘法公式的应用对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)·P(B|A).当事件A与B相互独立时,P(AB)=P(A)·P(B).【即学即练】1.某项射击游戏规定:选手先后对两个目标进行射击,只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为0.8,继续射击,射中第二个目标的概率为0.5,则这个选手过关的概率为________.

【解析】设“射中第一个目标”为事件A,“射中第二个目标”为事件B,则P(A)=0.8,P(B|A)=0.5.所以P(AB)=P(A)P(B|A)=0.8×0.5=0.4,即这个选手过关的概率为0.4.答案:0.42.