2024届新教材二轮复习 　列联表与独立性检验 学案

2024届新教材二轮复习列联表与独立性检验学案素养导引1.了解2×2列联表、随机变量χ2的意义.(数学抽象)2.理解独立性检验中P(χ2≥xα)的具体含义.(数学抽象)3.掌握独立性检验的方法和步骤.(数据分析)4.通过典型案例,学习统计方法,并能用这些方法解决一些实际问题.(数学建模、数据分析)一、分类变量与列联表1.分类变量(1)用于区别不同的现象或性质的随机变量;(2)分类变量的取值可以用实数表示;(3)主要讨论取值于{0,1}的分类变量.2.列联表(1)列联表由两个及两个以上的分类变量进行交叉分类的频数分布表;(2)2×2列联表两个分类变量的列联表,且每个变量只取两个值项目Y=0Y=1合计X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d思考举例说明,分类变量是否一定只有两个取值?提示:不一定.例如,数学考试等级是分类变量,取优、良、中等、及格、不及格五个值.二、独立性检验1.零假设(1)古典概型的样本空间为Ω,设X和Y为定义在Ω上,取值于{0,1}的成对分类变量.判断假定关系H0:P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)是否成立,通常称H0为零假设或原假设.(2)改述:H0:分类变量X和Y独立.2.独立性检验(1)χ2公式χ2=n((2)临界值对于任何小概率值α,可以找到相应的正实数xα,使P(χ2≥xα)=α成立,则称xα为α的临界值;(3)χ2独立性检验基于小概率值α的检验规则是:当χ2≥xα时,我们就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;当χ2<xα时,我们没有充分证据推断H0不成立,可以认为X和Y独立.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【批注】样本容量n=a+b+c+d越大,精度越高,且通常要求a,b,c,d都不小于5.【教材深化】1.用χ2进行独立性检验的依据独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法.先假设“两个分类变量独立”成立,计算随机变量χ2的值,如果χ2值很大,说明假设不合理.χ2越大,两个分类变量有关系的可能性越大.2.独立性检验与反证法的异同点(1)两者都是先假设结论不成立,然后根据是否能够推出“矛盾”来断定结论是否成立.(2)但二者“矛盾”的含义不同,反证法中的“矛盾”是指一种不符合逻辑事情的发生;而独立性检验中的“矛盾”是指一种不符合逻辑的小概率事件的发生,即在结论不成立的假设下,推出有利于结论成立的小概率事件发生.[诊断]1.辨析记忆(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)独立性检验的第一步是提出零假设H0:X和Y有关. (×)提示:×.提出零假设H0:X和Y独立,即X和Y无关.(2)χ2越小,独立性越强,相关性越弱. (√)(3)χ2越大,独立性越弱,相关性越强. (√)(4)列联表频率分析法可初步分析两分类变量是否有关系,而独立性检验中χ2取值则可通过统计表从数据上说明两分类变量的相关性的大小. (√)2.(材料改编题)在一项中学生近视情况的调查中,某校男生150名中有80名近视,女生140名中有70名近视,在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力 ()A.平均数与方差 B.回归分析C.独立性检验 D.概率【解析】选C.判断两个分类变量是否有关的最有说服力的方法是进行独立性检验.3.如表是一个2×2列联表,则表中a,b的值分别为 ()项目y1y2合计x1a2173x2222547合计b46120A.94,72 B.52,50C.52,74 D.74,52【解析】选C.a=73-21=52,b=a+22=52+22=74.学习任务一列联表与等高堆积条形图(数据分析)【典例1】某学校对高三学生做了一项调查发现:在平时的模拟考试中,性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张,性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张.(1)根据以上数据,作出考前心情与性格的列联表,并求出性格外向的学生考前心情紧张的概率.(2)作出等高堆积条形图,利用图形判断考前心情紧张与性格是否有关系.【解析】(1)作列联表如下:项目性格内向性格外向合计考前心情紧张332213545考前心情不紧张94381475合计4265941020由列联表中数据可得,性格外向的学生考前心情紧张的概率为213594=71(2)相应的等高堆积条形图如图所示:图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的人数所占的比例,从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向的人数占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向的人数占的比例高,可以认为考前心情紧张与性格有关.【思维提升】1.利用2×2列联表分析两分类变量间关系的步骤(1)根据题中数据获得2×2列联表;(2)根据频率特征,将aa+b与cc+d(或ba2.利用等高堆积条形图判断两个分类变量是否相关的步骤【即学即练】在调查的480名男性中有38名患有色盲,520名女性中有6名患有色盲,请根据题目的条件列出2×2列联表并由列联表估计色盲与性别是否有关.【解析】根据题目所给的数据列出如下列联表:项目色盲不色盲合计男38442480女6514520合计449561000因为3838+442=38480=19240,66+514=显然19240>3260,且两个比例的值相差较大,学习任务二独立性检验(数据分析)【典例2】某美食街共有20多家餐饮单位进驻,为维护市场价格秩序,营造公平竞争良好环境,市场监管部门到美食街举办餐饮明码标价现场指导会.现针对明码标价指导会前、会后游客满意度进行问卷回访调查,统计了100名游客的数据,列出如下2×2列联表:对餐饮价格是否满意明码标价指导会前明码标价指导会后合计满意285785不满意12315合计4060100请根据小概率值α=0.001的独立性检验,判断游客对美食街餐饮价格满意度与市场监管部门举办餐饮明码标价现场指导会是否有关联.【解析】零假设为H0:游客对美食街餐饮价格满意度与市场监管部门举办餐饮明码标价现场指导会之间无关联,根据题中列联表中的数据,经计算得到χ2=100(28×3-12×57)240×60×85×15≈11.765>10根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为游客对美食街餐饮价格满意度与市场监管部门举办餐饮明码标价现场指导会之间有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001.【思维提升】独立性检验的关注点(1)步骤:列表、计算、判断;(2)注意:①χ2计算公式较复杂,一是公式要清楚;二是代入数值时不能张冠李戴;三是计算时要细心;②判断时把计算结果与临界值比较,其值越大,有关的可信度越高.提醒:小概率事件在一次试验中几乎不可能发生,在零假设成立的条件下,若一个不利于零假设的小概率事件在一次试验中发生了,则有理由拒绝零假设.【即学即练】人们曾经相信,艺术家将是最后被AI所取代的职业,但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕,这可能是AI第一次引起人类的恐慌.由NovelAI,DALL-E2等软件创作出来的绘画作品风格各异,乍看之下,已与人类绘画作品无异,AI会取代人类画师吗?某机构随机对60人进行了一次调查,统计发现认为会取代的有42人,30岁以下认为不会取代的有12人,占30岁以下被调查人数的25(1)根据以上数据完成如下2×2列联表:年龄理解情况合计会取代不会取代30岁以下1230岁及以上合计4260(2)依据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为年龄与理解情况有关?并说明原因.【解析】(1)完成2×2列联表如下:年龄理解情况合计会取代