人教B版（新）必修三 向量的数量积与三角恒等变换 三角恒等变换 两角和与差的正弦正切

第八章向量的数量积与三角恒等变换《两角和与差的正弦、正切》课件学习目标1.会推导出两角和与差的正弦公式、正切公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、证明.3.会利用辅助角公式化asinα+bcosα为一个角的三角函数的形式.重点：两角和与差的正弦、正切公式的应用.难点：利用两角和的正弦公式变asinα+bcosα为一个角的三角函数的形式.Sα+β：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ； Sα-β：sin（α-β）＝sinαcosβ-cosαsinβ. 两角和的正弦公式两角差的正弦公式你发现这两组公式有何结构特征？

正余余正，符号相同.知识梳理一、两角和与差的正弦1.两角和与差的正弦公式及其推导根据两角和与差的余弦公式（即Cα+β与Cα-β）可以证明如下的

两角和与差的正弦公式.公式的证明：而且sin（α-β）＝sin［α+（-β）］＝sinαcos（-β）+cosαsin（-β）＝sinαcosβ-cosαsinβ.2.辅助角公式辅助角公式实质上就是两角和与差的余弦、正弦公式的逆用.

二、两角和与差的正切公式思考：在两角和与两角差的正弦、余弦公式的基础上，你能用tanα，tanβ表示tan（α+β）和tan（α-β）吗？其中α，β应该满足什么条件？

归纳总结：两角和的正切公式两角差的正切公式公式的结构特征：（1）公式的右边为分式形式，其中分子为tanα，tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和.（2）公式中左边的加减号与右边分子上的加减号相同，与分母上的加减号相反.符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.注意：当α，β，α±β角的正切值不存在时，不能使用上述公式，但可以用诱导公式或其他方法解题.

想一想：对于两角和与差的正切公式，你能写出它的几种变形吗？提示：tanαtanβ，tanα±tanβ，tan（α±β）三者知二求一.常考题型一、化简与求值【解题提示】（1）利用诱导公式将角变形后再拆分成特殊角；（2）由式子联想到两角和的正弦公式，先利用诱导公式把sin76°cos74°变形，使待求的式子转化为符合两角和的正弦公式形式，逆用公式；（3）把1变为tan45°逆用两角和的正切公式；（4）根据10°与35°的和是45°变形使用两角和的正切公式.B【解题提示】将7°转化为15°与8°的差，利用两角差的正、余弦公式展开化简，最后再把15°转化为特殊角45°与30°的差，得三角函数值.2.化简◆三角函数式的化简思路1.一看“角”：通过看角之间的差别和联系，合理拆分或合成，再正确使用公式；2.二看“函数名”：看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”等；3.三看“结构特征”：分析结构特征，找到变形方向，如：通分、辅助角公式等.

1二、条件求值1.给值求值◆给值求值问题的解法在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角.具体做法如下：（1）当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.（2）当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.（3）常见的变角技巧有2α＝（α+β）+（α-β），2β＝（α+β）-（α-β），α＝（α+β）-β，β＝（α+β）-α等.

C2.给值求角◆给值求角问题的解答步骤第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角.

【方法技巧】至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内，这样可以使得求得的角唯一，而不需要讨论解的情况.

训练题

三、两角和与差的三角函数在三角形中的应用例5

［2019·贵州遵义四中高一检测］在△ABC中，tanAtanB>1，判断△ABC的形状.【解题提示】由三角形内角和为π以及诱导公式、两角和的正切公式进行化简，判断三个角正切值的符号即可得到三角形形状.

B四、辅助角公式的应用例6函数f（x）＝sinx+cosx-3的最大值为

.【解题提示】运用辅助角公式统一三角函数的名称，再根据正弦型（或余弦型）函数的性质求得最大值.

B五、和（差）角公式与平面向量的综合问题

【解题归纳】1.与三角函数联系比较紧密的向量运算（1）向量的坐标运算；（2）向量共线的坐标表示；（3）向量模的坐标表示；（4）向量数量积运算.2.解决途径（1）转化：利用向量定义、性质、坐标运算等转化为三角函数运算，结合三角恒等变换公式、辅助角公式等化简；（2）数形结合：利用三角函数的图像和性质求解.

C

小结2．应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表