安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高二第一学期开学考试数学（文）试卷

高二第一期开学考数学试卷

一.选择题(共12小题)

1.设集合4={y|y=2。x£R},B={x|y=Vl-x>x£R},则AC8=()

A.{1}B.(0,+8)C.(0,1)D.(0,1]

2.f(x)=上在()

1-x

A.(-8,1)U(1,+8)上是增函数

B.(-8,1)U(1,+8)上是减函数

C.(-1),(1,+8)分别是增函数

D.(-8,1),(1,+OO)分别是减函数

3.已知向量之=(2,1),b=(1,X),若W+谄之垂直，则x的值为()

A.7B.-7C.1D.-1

22

4.若将函数y=2sin2x的图象向左平移工个单位长度，则平移后图

12

象的对称轴为()

Ap=k兀兀Rp=k兀兀cp=k兀兀np=k打冗

Il♦•/!------U•-一+，，17・■/!”.‘一iy•"/!一,十

2626212212

5.函数/'(x)=/〃x+f-8的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

6.在勿中，ZABC=2L,AB=近,BC=3,则sinN幽。=()

4

A.逗B.叵C.D.在

105105

x+y》-l

7.若变量X,y满足约束条件<2x-y<b则z=3x-y的最小值是()

A.-7B.-9C.-1D.-5

8.如果执行如图的程序框图，若输入〃=6,〃=4,那么输出的,等于

()

第8题图第9题图

A.720B.360C.240D.120

9.已知点〃是边长为4的正方形内任一点，则点〃到四个顶点的距离

均大于2的概率是（）

A.2LB.1-2Lc.1D,2L

4443

10.如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打

出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的

中位数和众数依次为（）

A.84,84B.84,85C.86,84D.84,86

11.如图的折线图是某口罩制造厂2019年6月至2020年5月份的收

入与支出数据，若从2020年1月至5月这5个月中任意选2个月的

数据进行分析，则这2个月的利润都不高于30万的概率为

（）（利润=收入-支出）…“—

A.1B.2C.3D.1

5555

12.在△/阿中，有cosBcos（兀式）+＜：0$砥-B）sinC=l+3cosA且&-2,其中

内角4片C的对边分别是a,b,c,则△/87周长的最大值为（）

A.2-4^-B.2+273C.2+2料D.2+372

二.填空题（共4小题）

13.从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下

列事件中是互斥事件的序号为.

①至少有1个白球；都是白球②至少有1个白球；至少有1个红球.

③恰有1个白球；恰有2个白球.④至少有1个白球；都是红球.

14.已知某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）具有线性相

关关系，在生产过程中收集了6组数据，由6组数据得到数据的中

心点为（4.5,3.5）,y关于x的线性回归方程为;=；x+0.35,据此

可估计x=7时，y=.

15.一组样本数据x,4,5,6,y的平均数为5,标准差为4,则1+/

16.齐王与田忌赛马，他们都有上、中、下等马各一匹.田忌的上等

马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王

的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现

从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则齐王的马获胜的概

率是.

三.解答题(共6小题)

17.体育测试成绩分为四个等级，优、良、中、不及格.某班50名学

生惨叫测试结果如下：

等级优良中不及格

人数519233

(1)从该班任意抽取1名学生，求该名学生的测试成绩为“良”或

“中”的概率；

(2)测试成绩为“优”的3名男生记为a,a?,a,2名女生的成绩

记为4,庆，现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛：

①写出所有可能的基本事件；

②求参赛学生中恰有一名女生的概率.

18.庐江县统计局统计了该县2019年10户家庭的年收入和年饮食支

出的统计资料如表：

年收入(万元)24466677810

年饮食支出火万元)1.01.51.62.01.81.91.82.02.12.3

(1)由散点图可知y与x是线性相关的，求线性回归方程；

(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；=

n__n____

Y.(Xi-X)(y--y)E(xiY--nxy)

-z-=’一~h，a=7-b£(参考数据：

Z(Xj-x)2Xx^-nx

i=li=l

1010

=

Xxiy.115,Xx：=406・)

i=li=l

19.已知等差数列｛品｝的前〃项和为Sn,51=1,&=a+24.数列｛4｝

an+3

满足^=3,•

(1)求数列｛a，与｛&｝的通项公式；

(2)求数列伯勒的前〃项和Tn.

20.已知।可至a=G/§sin3x,-cos3x),b=(cos)^x,cos^xA函数,(x)

=；兀总(3>0)的最小正周期是JI.

(1)求3的值及函数F(x)的单调减区间；

(2)当x€[0,时，求函数f(X)的值域.

21.疫情期间，在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，

抵抗病毒.某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随

机抽取了100位居民，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直

方图如下：

(1)求a的值；

(2)估计这100位居民锻炼时间的平均值7；(同一组中的数据用该

组区间的中点值代表)(3)求中位数的估计值.

0.035

0.015卜...........j-----

0.012••I-----

0.0051-----1

0.003L寸…1…十…1I.

0102030405060做炸鼾网/分件

22.某制造商为拓展业务，计划引进一设备生产一种新型体育器材.通

过市场分析，每月需投入固定成本3000元，生产％台需另投入成本

10X2+400X,0<X<30

C(%)元，且C(%)=]1000，若每台售价800

804xd^”-9000，x>30

x

元，且当月生产的体育器材该月内能全部售完.

(1)求制造商由该设备所获的月利润L(%)关于月产量％台的函数

关系式；(利润=销售额-成本)

(2)当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并

求出最大月利润.

高二第一期开学考数学试卷参考答案

一.选择题(共12小题)

1.设集合4={比，=2=xGR},B={x\y=yJ-^x，xeR},则ACB=()

A.{1}B.(0,+8)C.(0,1)D.(0,1]

【解答]解：A={y|y>0},B={XxWl}；

(0,1].

故选：D.

2.f(x)()

l-x

A.(-°°,1)U(1,+8)上是增函数

B.(-°°,1)U(1,+8)上是减函数

C.(-8,1),(1,+8)分别是增函数

D.(-8,1),(1,+8)分别是减函数

【解答】»：f(x)=工-=-上

l-xX-1

=-1-

X-1

由函数》=二上在x>o,xVO均为增函数，

X

则将>=二上的图象向右平移1个单位，可得的图象，

XX-1

再向下平移I个单位，即可得到/(无)的图象，

则有f(x)在x>l,x<l上均为增函数，

则有函数f(x)的增区间为(-8,1),(1,+8).无减区间.

故选：C.

3.已知向量之=(2,1),b=(1，x)，若晶暹2垂直，则x的值为()

A.7B.-7C.-1D.-L

22

【解答】解：Z+F⑶x+1)；

痣之垂直；

(a+b)•a=6+x+l=0：

Ax=-7.

故选：B.

4.若将函数y=2sin2x的图象向左平移3个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）

Ak兀冗Dk兀兀厂、.一兀兀

A.x=———B.x=———-L.A—k—--------

262+6212

【解答】解：将函数），=2sin2x的图象向左平移碧个单位长度，

则平移后图象对应的函数解析式为）=2sin（2/看），

令〃+工=E+工,求得x=©L+工，可得平移后函数的图象的对称轴为x=©L+工,

622626

k&L,

故选：B.

5.函数/（x）=/〃x+/-8的零点所在的区间为（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【解答】解：•••函数/(x)=/〃x+J-8是连续增函数，

/(1)=0+1-8<0,

f(2)=/〃2+8-8>0,即/(I)•/1(2)<0,

函数=/"x+『-8的零点所在区间是(1,2),

故选：B.

6.在△A8C中，ZABC^—,4B=&,8c=3,则sin/BAC=()

4

A.叵B.逗C.组D,近

105105

【解答】解：：/A8C=2L,AB=M，BC=3,

4

，由余弦定理得：AC1=AB2+BC2-2AB•BC・cosNA8C=2+9-6=5,

3X亚

则由正弦定理一芈一=一斗一得:

sinNBAC=2=3^15

sinZABCsinZBAC10

故选：c.

x+y》-l

7.若变量x,y满足约束条件，2x-y<l)则z=3x-y的最小值是()

yCl

A.-7B.-9C.-1D.-5

，x+y>T

【解答】解：由变量x,y满足约束条件］2x-y《l，作出可行域如图，

由图可知，最优解为A,

联立［x3n-l,解得C(0,-1).

l2x-y=l

由卜W=-1解得斗(_2,1),

,y=l

由(2x-y=l,解得B(1,1)

,y=l

...z=3x-y的最小值为3X(-2)-1=-7.

故选:A.

-5-

8.如果执行如图的程序框图，若输入〃=6,772=4,那么输出的p等于()

A.720B.360C.240D.120

【解答】解:执行程序框图，有

〃=6,m=4

k=l,p=l

第一次执行循环体，p=3

满足条件第2次执行循环体，有％=2,p=12

满足条件％<〃?，第3次执行循环体，有k=3,p=60

满足条件k<m,第4次执行循环体，有k=4,p=360

不满足条件k<m,输出p的值为36（）.

故选:B.

9.已知点P是边长为4的正方形内任一点，则点P到四个顶点的距离均大于2的概率是（）

A.—B.1--C.工D.—

4443

【解答】解：满足条件的正方形ABCC如下图所示：

其中正方形的面积SIE方形=4X4=16；

满足到正方形的顶点A、8、C、。的距离均不小于2的平面区域如图中阴影部分所示

则S阴影=16-4ir,

故该正方形内的点到正方形的顶点A、B、C、。的距离均不小于1的概率是P=.$阴基_=

S正方形

16-4兀=i兀.

16

4

故选：B.

10.如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去

掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（)

79

844647

93

A.84,84B.84,85C.86,84D.84,86

【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，

所剩数据84,84,86,84,87的中位数为84：

众数为：84；

故选：A.

11.如图的折线图是某口罩制造厂2019年6月至2020年5月份的收入与支出数据，若从2020

年1月至5月这5个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润都不高于30万

的概率为（）（利润=收入-支出）

mwoA

60人50so、

40差、..二..二力嗔

2。丁孙・安・犷媪30•落.

0-----------------------------------＞„

678910111212345月：份

....'出々入

A.AB.2c.3D.A

5555

【解答】解：2020年1月至5月这5个月中，月利润分别为：

30,45,30,30,10；

从中任意选2个，基本事件是

(30,45),(30,30),(30,30),(30,10),(45,30),(45,30),

(45,10),(30,30),(30,10),(30,10)共10种不同取法;

则这2个数据都不高于30的基本事件为：

(30,30),(30,30),(30,10),(30,30),(30,10),(30,10)共6种不同取法;

故所求的概率为2=且=旦.

105

故选：C.

C的对边分别是“，b,c.则aABC周长的最大值为()

A.2-^^~B.2+2A/3C.2+2A/2D.2+35/2

【解答】解：△ABC中，：有cosBcos(兀■K?)+cos^~-B)sinC=l+3cosA，

即-cosBcosC+sinBsinC=l+3cosA,

即-cos(B+C)=1+3cosA,/.cosA=--/.；4=120°,8+C=60°.

2f

由正弦定理可得」一=——=fk,

sinBsinCsinA-3

则△ABC周长为a+b+c=2+W«inB+&inC=2+&(sinB+sinC)

V33V3

=2+-^4sinB+sin(600-B)]

V3

=2+g(1inB+?Z^cos8)=2+^sin(B+60°)W2+g=2+J^S,

V322V3V33

当且仅当B=30°=C时，取等号，

故AABC周长的最大值为2+包5■,

3

故选：A.

二.填空题(共4小题)

13.从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列事件中是互斥事件的

序号为③④.

①至少有1个白球；都是白球.

②至少有1个白球；至少有1个红球.

③恰有1个白球；恰有2个白球.

④至少有1个白球；都是红球.

【解答】解：从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，

在①中，至少有1个白球和都是白球能同时发生，不是互斥事件，故①错误；

在②中，至少有1个白球与至少有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故②错误.

在③中，恰有1个白球与恰有2个白球不能同时发生，是互斥事件，故③正确；

在④中，至少有1个白球与都是红球不能同时发生，是互斥事件，故④正确.

故选：③④.

14.已知某种产品产量x(吨)与所需某种原材料•>(吨)具有线性相关关系，在生产过程中

收集了6组数据，由6组数据得到数据的中心点为(4.5,3.5),>关于x的线性回归方程为

y=^+0.35,据此可估计x=7时，y=5.25.

【解答】解：由题意中心点为(4.5,3.5),代入回归方程为：丫=口+0.35,可得3.5=4.56+0.35,

解得b=0-7,

所以：y=0.7x+0.35,x=7时，y=0.7X7+0.35=5.25,

故答案为：5.25.

15.一组样本数据x,4,5,6,y的平均数为5,标准差为4,则/+丫2=U8.

【解答】解：平均数为9(x+4+5+6+y)=5,即x+y=10,

方差为工X[(x-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(y-5)2]=16,所以(%-5)2+

5

(y-5)2=78,BPx2+y2-10(x+y)=28,

所以7+,=28+10(x+y)=28+10X10=128.

故答案为：128

16.齐王与田忌赛马，他们都有上、中、下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，

劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马

劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中各随机选一匹进行-一场比赛，则齐王的马获胜的概

率是2.

一3一

【解答】解：现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，

基本事件总数”=3X3=9,

齐王的马获胜包含的基本事件数，”=1X3+1X2+1X1=6,

则齐王的马获胜的概率是0=典心上.

n93

故答案为：1.

3

三.解答题(共6小题)

17.体育测试成绩分为四个等级，优、良、中、不及格.某班50名学生惨叫测试结果如下：

等级优良中不及格

人数519233

(1)从该班任意抽取1名学生，求该名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率;

(2)测试成绩为“优”的3名男生记为念，。3,2名女生的成绩记为何，b2,现从这

5人中任选2人参加学校的某项体育比赛：

①写出所有可能的基本事件；

②求参赛学生中恰有一名女生的概率.

【解答】解：(1)根据频率分布表，得；

在这次考试中成绩为“良”或“中”是19+23=42；

故随机抽取一名学生，该名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为丝=2L；

5025

(2)测试成绩为“优”的3名男生记为勾,。2,的，2名女生的成绩记为历，b2,

①现从这5人中任选2人所有的基本事件为：

〃］他，61也1，〃仍2,

。2a3，。2历，a2b2,

的历，a3b2,

b也2,共10种;

②满足参赛学生中恰有一名女生的事件为:a\b\,内历,。2仇，a2b2,的加，a3b2,共6种

故参赛学生中恰有一名女生的概率为p=&=3.

105

18.庐江县统计局统计了该县2019年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表：

年收入(万元)24466677810

年饮食支出y(万元)1.01.51.62.01.81.91.82.02.12.3

(1)由散点图可知y与x是线性相关的，求线性回归方程;

(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出.

n__

X（x「x）。-了）

i=l

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

b-n_0

工（x「x）

i=l

A_1010

a=y-fcx.（参考数据：£叼了工口15,£x“406・）

i=li=l

【解答】解：(1)(2+4+4+6+6+6+7+7+8+10)=6,

10

(1.0+1.5+1.6+2.0+1.8+1.9+1.8+2.0+2.1+2.3)=1.8.

丫10

10_

-Xxiyi-10xy

________115-10X6X1.8-7

D

10c-------------n2―—后

Ex12Tol2406-10X646

i=l

一：一一7—102

a=y-bx=l.X6=;匚.

46115

.R关于x的线性回归方程为102；

,y46115

(2)在为1°2中，取x=9,得

.y46115

y」_x9」22比2.26.

y46115

若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出为2.26万元.

aj3

19.已知等差数列｛斯｝的前〃项和为8,为=1,55=。6+24.数列｛%｝满足b=3一1

(1)求数列｛斯｝与｛与｝的通项公式；

(2)求数列｛斯与｝的前n项和Tn.

访=1

【解答】解：(1)由题意知：，解得d=4.

5a]+5X2d=1+5d+24

所以斯=1+(〃-1)•4=4/1-3,

an+3

4n

bn=3=3-

(2)由(1)知@^:(3-3)3以

所以Tn=lX3+5X32+9X33+—+(4n-7)X3n-1+(4n-3)X3n,①

234nn+1

3Tn=lX3+5X3+9X3+-+(4n-7)X3+(4n-3)X3*②

①-②得，-2Tn=3+4X32+4X33+-+4X3n-(4n-3)X3nH，

==3+4[^^-^-]-(4n-3)X3n+1=-15+(5-4n)3nbl-

1-0

所以Tn吟第％叫

20.已知向量a=x,-cos3x),b=(cosWx,cos^x》函数/(幻=@，1)V

(a)>0)的最小正周期是TI.

(1)求3的值及函数/(X)的单调减区间；

(2)当x€[0,1-]时，求函数f(X)的值域.

【解答】解：(1)向量a=(«sin3x,-cos3x),b=(cos3x,cos3x>

函数/(x)

即f(x)=V§sin3xcosx-cos23x+^-=^-sin2x^~(l+cos2^x)卷=

如1,兀、

sin23x-2~COS23x=sin(23x-^-)

•・•/(x)的最小正周期为n=22L,

23

••€0=1.

TT

.•〃X)的解析式为f(x)=sin⑵兀)•

兀

又：2k兀kez.

2

得：k兀,

,k£Z，

的单调减区间［兀■兀，冗+|■兀］,

函数f(x)kKk