北京市2021年中考数学试卷真题（含答案解析）

北京市2021年中考数学试卷

一、单选题（共8题；共16分）

1.如图是某几何体的展开图，该几何体是（）

A.长方体B.圆柱C.圆锥D.三棱柱

【答案】B

【考点】圆柱的展开图

【解析】【解答】解：由图形可得该几何体是圆柱；

故答案为：B.

【分析】利用圆柱的展开图判断即可。

2.党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.2014—2018年，中央财政累计投入“全

面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数

法表示应为（）

A.0.1692X1012B.1.692X1012C.1.692X10uD.16.92X1O10

【答案】C

【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：由题意得：将169200000000用科学记数法表示应为1.692X101】；

故答案为：C.

【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。

3.如图，点。在直线AB上，OC_LO。.若4OC=120°,则ZBOD的大小为（）

A.30°B.40°C.50°D.60

【答案】A

【考点】角的运算

【解析】【解答】解：..,点。在直线AB上，OC1OD,

ZAOC+/COB=180°,/COD=90°,

ZAOC=120",

NCOB=60°,

•1./BOD=900-NCOB=30

故答案为：A.

【分析】先利用平角求出/BOC的度数，再利用直角求出“BOD即可。

4.下列多边形中，内角和最大的是（）

【答案】D

【考点】正多边形的性质

【解析】【解答】解：A、是一个三角形，其内角和为180。；

B、是一个四边形，其内角和为360。；

C、是一个五边形，其内角和为540。；

D、是一个六边形，其内角和为720。；

内角和最大的是六边形；

故答案为：D.

【分析】利用多边形的内角和公式分别求解，再比较大小即可。

5.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

-"3'-2""0'12

A.a>—2B.|a|>bC.a+b>0D.b-a<0

【答案】B

【考点】实数在数轴上的表示

【解析】【解答】解：由数轴及题意可得：—3<a<-2,0<b<l,

\a\>b,a+b<0,b-a>0,

••・只有B选项符合题意，

故答案为：B.

【分析】结合数轴判断出a、b的大小，再逐项判断即可。

6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（）

.1„1-1八2

A.-B.-C.-D.—

4323

【答案】c

【考点】列表法与树状图法

【解析】【解答】解：由题意得：

开始

二一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是p=\=\;

42

故答案为：C.

【分析】利用概率公式求解即可。

7.已知432=1849,442=1936,452=2025,462=2116.若n为整数且n<V2021<n+l,则兀

的值为（）

A.43B.44C.45D.46

【答案】B

【考点】估算无理数的大小

【解析】【解答】解：：432=1849,442=1936,452=2025,462=2116,

442<2021<452,

44<V2021<45,

n=44；

故答案为：B.

【分析】根据432=1849,442=1936,452=2025,462=2116,可以得到442<2021<452,即

可求出n的值。

8.如图，用绳子围成周长为iom的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym,矩形的面积为

Sm2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x,S与x满足的函数关

系分别是()

y

X

A.一次函数关系，二次函数关系B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系D.反比例函数关系，一次函数关系

【答案】A

【考点】函数解析式

【解析】【解答】解：由题意得：

2(x+y)=10,整理得：y=-x+5,(0<x<5),

S=xy=x(—x+5)=-x2+5x,(0<x<5),

与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；

故答案为：A.

【分析】矩形的周长为2(x+y)=10,可用x来表示y,代入S=xy中，可得S关于x的函数关系式，化简

即可得出答案。

二、填空题(共8题；共9分)

9.若衣=7在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

【答案】x>7

【考点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】解：由题意得：

x—7>0,

解得：x>7；

故答案为x>7.

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。

10.分解因式：5x2-5y2=.

【答案】5(x+y)(x—y)

【考点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【解答】解：5x2-5y2=5(x2-y2)=5(x+y)(x-y)；

故答案为5(x+y)(x-y).

【分析】先提取公因式5,再利用平方差公式因式分解即可。

11.方程京=：的解为.

【答案】x=3

【考点】解分式方程

【解析】【解答】解：京=：

2%=%4-3,

%=3,

经检验：%=3是原方程的解.

故答案为：x=3.

【分析】先去分母，再利用整式方程的解法求解即可。

12.在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=f(kK0)的图象经过点71(1,2)和点B(-l.m),则

m的值为.

【答案】-2

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】解：把点4(1,2)代入反比例函数y=：(k*0)得：k=2,

—1xm=2,解得：m=-2

故答案为-2.

【分析】将点A的坐标代入反比例求出k的值，再将B的值代入计算即可求出m的值。

13.如图，PA.PB是。。的切线，A,B是切点.若4=50°，则ZAOB=

【答案】130°

【考点】切线长定理

【解析】【解答】解：：PA.PB是。。的切线，

•••ZPA0=/PB0=90°,

...由四边形内角和可得：ZAOB+ZP=180°,

•••/=50°,

ZAOB=130°;

故答案为130°.

【分析】根据切线的性质可得/PAO=NPB。=90°,再利用四边形的内角和求解即可。

14.如图，在矩形ABCD中，点民F分别在BC.AD上，AF=EC.只需添加一个条件即可证明四边

形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）.

【答案】AF=AE（答案不唯一）

【考点】菱形的判定

【解析】【解答】解：T四边形ABCD是矩形，

AD“BC,

AF=EC,

四边形AECF是平行四边形，

若要添加一个条件使其为菱形，则可添加4F=ZE或AE=CE或CE=CF或AF=CF,理由：一组邻边相等

的平行四边形是菱形；

故答案为力尸=4E（答案不唯一）.

【分析】利用菱形的判定方法求解即可。

15.有甲、乙两组数据，如表所示:

甲1112131415

乙1212131414

2

甲、乙两组数据的方差分别为S甲2,s乙2，则s甲2s1(填或"=.

【答案】>

【考点】方差

【解析】【解答】解：由题意得：

___11+12+13+14+15c___12+12+13+14+14.

X甲=---------------=13,*乙=--------------------=13,

.c2_[(11-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)2]_

…S甲="=Q乙，

2_[(12-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(14-13)2]_4

S乙=5=5，

2>1,

2

S尹2>s乙；

故答案为〉.

【分析】利用方差的计算方法求解即可。

16.某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线.在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间

为(4a+1)小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为(2b+3)小时.第一天，该

企业将5吨原材料分配到4B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分

配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为.第二天开工前，该企业按第一天的分

配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料..若

两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为.

【答案】2:3；1

【考点】一元一次方程的实际应用-工程问题

【解析】【解答】解：设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为(5-x)吨，依题意

可得：

4x+l=2(5-x)+3,解得：x=2,

分配到B生产线的吨数为5-2=3(吨)，

二分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为2:3；

.•・第二天开工时，给A生产线分配了(2+m)吨原材料，给B生产线分配了(3+n)吨原材料，

•••加工时间相同，

*,*4(2+tn)+1=2(3+TI)+3,

解得：m=^n,

TH_1

n~2

故答案为2:3,1

【分析】设分配到4生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为(5-x)吨，根据题意列出方程求

出x的值，再根据第二天开工时，给A生产线分配了(2+m)吨原材料，给B生产线分配了(3+n)

吨原材料，再列出方程求解即可。

三、解答题(共12题；共111分)

17.计算：2sin60°+V12+|-5|-(TT+V2)°.

【答案】解：原式=2xy+273+5-1=373+4.

【考点】实数的运算

【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值、二次根式的性质、0指数基的性质化简，再计算即可。

4%—5>%4-1

18.解不等式组:3X-4,

------<X

2

4%—5>%+1(2)

【答案】解:

.当<X②

由①可得：X>2,

由②可得：x<4,

原不等式组的解集为2Vx<4.

【考点】解一元一次不等式组

【解析】【分析】利用不等式的性质和求解不等式组的方法求解即可。

19.已知a2+2b2—1=0,求代数式(a—b)2+b(2a+b')的值.

【答案】解:(a-b)2+b(2a+6)

=a2-2ab+b2+2ab+b2

=a2+2b2,

a2+2b2-1=0,

a2+2b2=1,

代入原式得：原式=1.

【考点】利用整式的混合运算化简求值

【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简，再代入计算即可。

20.《淮南子•天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，

在地面上沿着杆的影子的方向取一点B,使B,A两点间的距离为10步(步是古代的一种长度单位)，

在点B处立一根杆：日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C,使C,B两点间的距

离为10步，在点C处立一根杆.取CA的中点。，那么直线OB表示的方向为东西方向.

(1)上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A,B,C的位置如图所示.使用直尺和圆规，在图中作

CA的中点D(保留作图痕迹)；

B

C

（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断

直线C4表示的方向为南北方向，完成如下证明.

证明：在2ABe中，BA=▲,。是CA的中点，

CA1DB▲（填推理的依据）.

V直线DB表示的方向为东西方向，

，直线CA表示的方向为南北方向.

【答案】（1）解：如图所示：

（2）证明：在AABC中，BA=BC,。是S的中点,

CA1DB（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）.

••・直线DB表示的方向为东西方向，

直线CA表示的方向为南北方向；

故答案为BC,等腰三角形的三线合一.

【考点】等腰三角形的性质，作图-线段垂直平分线

【解析】【分析】⑴作BD垂直AC于D即可；

（2）利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可。

21.已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若僧>0,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值.

【答案】（1）证明：由题意得：a=l,b=—4m,c=3m2,

，A=b2-4ac=16m2—4x1x3m2=4m2,

m2>0,

，A=4m2>0,

该方程总有两个实数根；

22

（2）解：设关于%的一元二次方程x-4mx+3m=0的两实数根为Xi，x2>则有：xr+x2=

2

4m,xr-x2=3m,

・・・K1-次1=2，

222

Qi-x2)=(%i+x2)—4X1X2=16m—127n2=4,

解得：m=±1,

*/m>0,

m=1.

【考点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【分析】(1)利用一元二次方程根的判别式求解即可;

(2)利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。

22.如图，在四边形ABCD中，ZACB=ZCAD=90°，点E在8c上，AE^DC,EFLAB,垂

足为F.

(1)求证：四边形AECD是平行四边形；

(2)若AE平分ZBAC.BE=5,cosS=,求BF和4。的长.

【答案】(1)证明：；ZACB=ZCAD=90°,

AADIICE,

.*AE“DCf

•・四边形AECD是平行四边形；

(2)解：由(1)可得四边形AECD是平行四边形,

.CE=AD,

,EFLAB,AE平分/BAC,ZACB=90°

.EF=CE,

.EF=CE=AD,

4

,BE=5,cosB=-,

4

.BF=BE♦cosB=5x-=4,

.EF=y/BE2-BF2=3，

.AD=EF=3.

【考点】平行四边形的判定与性质

【解析】【分析】(1)证出AD〃CE,再由AE〃DC,即可得出结论；

(2)先由锐角三角函数定义求出BF=4,再由勾股定理求出EF=3,然后由角平分线的性质得到EC=EF=3,

最后由平行四边形的性质求解即可。

23.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k^0)的图象由函数y=\x的图象向下平移1个

单位长度得到.

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)当x>-2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m0)的值大于一次函数y=kx+b的值，

直接写出m的取值范围.

【答案】(1)解：由一次函数y=kx+b(kH0)的图象由函数y=的图象向下平移1个单位长度

得到可得：一次函数的解析式为y=1x-l；

(2)由题意可先假设函数y-mx(m0)与一次函数y=kx+b的交点横坐标为一2,则由(1)可

得：

-2m=|x(-2)-1,解得：m=1,

函数图象如图所示：

二.当%>-2时，对于％的每一个值，函数y=mx(mW0)的值大于一次函数y=kxb的值时,

根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当m=1时，符合题意，当机<3时，则函数y=

mx(m*0)与一次函数y=k久+b的交点在第一•象限，此时就不符合题意，

综上所述：1<m<1.

【考点】待定系数法求一次函数解析式，两一次函数图象相交或平行问题，平移的性质

【解析】【分析】(1)根据平移的规律即可求解；

(2)根据点(-2,-2)结合图象即可求得。

24.如图，。。是△ABC的外接圆，4。是。。的直径，4D1BC于点

(1)求证：ZBAD=ZCAD;

(2)连接B0并延长，交AC于点F,交。。于点G,连接GC.若。0的半径为5,0E=

3,求GC和。尸的长.

【答案】(1)证明：,：4。是。。的直径，AD1BC,

=CD,

ZBAD=/CAD;

(2)解：由题意可得如图所示：

由（1）可得点E为BC的中点,

.,点。是BG的中点，

•.OF=|CG,OE/fCG,

△AOFCGF,

.OA_OF

,CG-G尸'

「0E=3,

•.CG=6,

OO的半径为5,

•.OA=OG=5,

5OF

6GF

•'"号。G=M

【考点】圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到弧BD=弧CD,根据圆周角定理证明结论；

（2）根据勾股定理求出BE,根据垂径定理求出BC,根据圆周角定理得到Z8CG=90°,根据勾股

定理求出GC,证明,再利用相似三角形的性质求出OF。

25.为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25

家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给

出了部分信息.

a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6<x<8,8<x<

10,10<x<12,12<x<14,14<x<16）：

b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在10Sx<12这一组的是：10.0,10.0,10.1,10.9,11.4,

11.5,11.6,11.8

c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：

平均数中位数

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中m的值；

（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为pi.在乙城

市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为pz,比较P1，P2的大

小，并说明理由；

（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）.

【答案】（1）解：由题意可得m为甲城市的中位数，由于总共有25家邮政企业，所以第13家邮政企业

的收入作为该数据的中位数，

:6Sx<8有3家，8Wx<10有7家，10Wx<12有8家，

中位数落在10<x<12上，

m=10.1；

(2)由(1)可得：甲城市中位数低于平均数，则pi最大为12个；乙城市中位数高于平均数，则p2至

少为13个，

•1-Pl<P2；

(3)由题意得：

200x11=2200(百万元)；

答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元.

【考点】频数(率)分布直方图，分析数据的集中趋势

【解析】【分析】(1)根据中位数的意义，求出甲城市抽样25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，

得出处在第13位的数据即可；

(2)根据pi、P2所表示的意义，结合两个城市抽取的邮政企业4月份的营业额的具体数据，得出答案；

(3)根据乙城市邮政企业4月份营业额的平均数以及企业的数量进行计算即可。

26.在平面直角坐标系xOy中，点(l,m)和点(3,n)在抛物线y=a/+以但>0)上.

(1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴；

(2)已知点(-LyJ,(2,丫2)，(4,、3)在该抛物线上.若nm<0,比较丫1，、2，%的大小，并说明理由.

【答案】(1)解：当m=3,n=15时，则有点(1,3)和点(3,15)，代入二次函数y=a/+以9>

0)得：

3"以=，,解得：｛广〉

9a+3b=156=2

・•・抛物线解析式为y=%2+2%,

抛物线的对称轴为X=—二=一1;

(2)由题意得：抛物线y=ax2+bx(a>0)始终过定点(0,0),则由mn<0可得：

2

①当m>0,n<0时，由抛物线y=ax+bx(a>0)始终过定点(0,0)可得此时的抛物线开口向

下，即。<0,与a>0矛盾；

②当m<0,n>0时，

...抛物线y=ax2+bx(a>0)始终过定点(0,0),

此时抛物线的对称轴的范围为|<%<|,

・•・点(-l,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上，

・•.它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为|<%-(-1)<|,1<2-%<|,|<4-%<|,

a>0,开口向上，

由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，

•1-丫2<<乃•

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=ax八2+bx+c的性质

【解析】【分析】(1)将点(1,3),(3,15)代入解析式求解即可;

(2)分类讨论b的正负情况，根据mn<0可得对称轴在y轴与直线x=；之间，再根据各点到对称轴的距

离判断y的值大小。

27.如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,M为BC的中点，点。在MC上，以点A为中心,

将线段AD顺时针旋转a得到线段AE,连接BE.DE.

(1)比较ZBAE与ZCAD的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并证明；

(2)过点M作AB的垂线，交DE于点N,用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明.

【答案】(1)证明：ZBAC=ZEAD=a,

•••/BAE+ZBAD=ZBAD+ZCAD=a,

ZBAE=ZCAD,

由旋转的性质可得AE=AD,

AB=AC,

,­,AZBE三△4CD(S4S),

BE=CD,

点M为BC的中点，

BM=CM,

CM=MD+CD=MD+BE,

BM=BE+MD；

(2)证明：DN=EN,理由如下：

过点E作EH_LAB,垂足为点Q,交AB于点H,如图所示:

NEQB=/HQB=90°,

由(1)可得zkABE三△4C。，

•1.NABE=ZACD,BE=CD,

AB=AC,

・•・NABC=/C=ZABE,

•/BQ=BQ,

△BQEBQH^ASA),

・・.BH=BE=CD,

*/MB=MC,

・•.HM=DM,

•・,MNA.AB,

・•・MN“EH,

・•.△DMNDHE,

.DM_DN_1

-DH~DE~29

・•.DN=EN.

【考点】相似三角形的判定与性质，三角形的综合

【解析】【分析】(1)由N1ME=NB4C可得NB4E=44。，然后由SAS证明△ABE三△AC。即可；

(2)作EH垂直AB交BC于H,可证明△4BE三△4C。可得4B=4C,再证明△DMN“△OHE,利

用相似的性质列出比例式求解即可。

28.在平面直角坐标系xOy中，00的半径为1,对于点A和线段BC,给出如下定义：若将线段

BC绕点A旋转可以得到O。的弦B'C'(B，,C'分别是B.C的对应点)，则称线段BC是。

0的以点4为中心的"关联线段

(1)如图，点的横、纵坐标都是整数.在线段，中，。。的以点

A,B1,C1,B2,C2IB3IC3Bi£,B2c2B3c3

A为中心的"关联线段"是；

(2)AABC是边长为1的等边三角形，点4(0,t),其中t#：0.若8c是。。的以点A为中心的

"关联线段"，求t的值；

(3)在ZABC中，AB=l.AC=2.若BC是。。