【高考冲刺】2023年四川省高考数学考前冲刺预测模拟：刷题卷02（理科）（解析版）

刷题卷02(理科)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一个是符合要求的。

1.设2=产，贝”的虚部为()

1-1

A.iB.2iC.1D.2

【答案】D

【分析】根据复数的除法法则化筒，结合复数的相关概念判断.

l+3i(l+3i)(l+i)

【详解】^z=不一=*^~^=-l+2i,故z的虚部为2.

1-1(1-+

故选：D.

2.设集合A={x|y=lg(x-1)},3=b，|y=2",xwR},则Au3=.

A.0B.RC.(0,+co)D.(l,+«))

【答案】C

【详解】试题分析：要使函数)=l£x-l)有意义应满足X-l>0,解得X>1，通过分析

可知，函数J=2工的值域为(O,-X),进而可得<=(L+H),B=(0,+X),所以AU5=

(0,+8).

考点：1、集合的运算：2、指数函数与对数函数的性质.

3.已知a,6eR,则"附N1”是々+/22”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件及不等式的性质可得解.

【详解】^\ab^\=>a2+b2>2\a\\b^2,

而片+从之？不一定能得到例如，a=0,b-2,

所以1阳21〃是2+6222"的充分而不必要条件.

故选：A

4.已知sina+cosa=二，且a是第一象限角，贝小吟=

A.-B.；C.，或！D.2或3

3232八

【答案】C

【解析】求出sin/cosc的值，利用同角三角函数的关系以及二倍角公式可得

asina...

tan—=-----------,从而可得结果r.a

2l+cosa

7

sina+cos。,

【详解】因为5

.221

sina+cosa=l,

,34

sina=—,sintz=—,

所以4%

3

cosa=—,cosa=—,

sin—,.aa3

sin—2sin-cos—

当《；时，a2sina51

tan—=_2_,2=­

2a2£l+cosa143

cosa=—cos—2cos+

5225

4.ac.aa4

sina=一,sin—2sin一cos—

asina_1

当;时，tan—二2二225

2a2。1+cosa।3~2

cosa--cos—2cosl+-

5225

综上，呜4%,故选c.

【点睛】三角函数求值有三类，（1）"给角求值J一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来

看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时，要利用观察得到的关系，

结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.（2）"给值求值J给出某些角的

三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角"，使其角相同或具有某

种关系.（3）"给值求角J实质是转化为"给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，

确定角.

5.记Zk/BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,A=60。，6=3,c=2,则cosB的值

为（）

A.B.旦C.一也D.互

141477

【答案】B

【分析】首先利用余弦定理求出。，再由余弦定理计算可得；

【详解】解：由余弦定理〃=/+c2-3ccosA=9+4-2x2x3xJ=7,解得°=方.

〃+02-从4+7-9手

故cosB=

2ac~2x2x77-14

故选：B

6.已知曲线y=在点处的切线为/,数列｛%｝的首项为1,点(4，4+j5cN*)

为切线/上一点，则数列的前〃项和为()

n(n-l)n(n+1)/八，

A.——LB.——LC.n(n+l)D.n2

221

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义可得切线方程，进而可得数列的递推公式，从而可得通项公式

及前”项和.

【详解】因为y'=2x,所以曲线y=Y+；在点处的切线的斜率为％=1,

故所求切线/的方程为y=x+i,

所以♦=a“+l,

所以数列｛4｝是首项为1，公差为1的等差数列，

所以““=〃，

其前〃项和为3D.

2

故选：B.

7.在棱长为2的正方体A8CO-ABC2中，点E,尸分别为棱GR的中点.点P为线

段所上的动点.则下面结论中埼逐的是()

A.尸B.44〃平面RAP

C.DtP±BtCD./gPC是锐角

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题.

【详解】以。为坐标原点，分别以DC,。。所在直线为苍丫"轴，建立空间直角坐标

系，

则A（2,0,2）,4（2,2,2）,尸（以1,2—m），4（0,0,2）,C（0,2,0）,

贝ljP\=（2-/n,-l,/n）,Pg=（2-,

陷卜y/（2-m）2+l+m2=,5-4m+2-2,|网=^（2-m）2+1+m2=^5-4m+2m2,

所以PA=”,A正确；

因为A耳〃AE,A耳仁平面RAP,AEu平面。1AP,

所以4旦〃平面。AP,B正确；

D,P=（m,-l,-ni）,5.C=（-2,0,-2）,

所以D,P-C=（m,-1,-m）•（-2,0,-2）=-2m+2m=0,

所以RPLBC，c正确；

/nPB[PC（2-6,1,加）•（一九1,"7-2）2/n2-4^+1

|PB1|.|PC|42m?-4m+5-y/2ni?-4-+52〃/—4m+5

、2

_2（z?w-l）--l

-2（m-l）2+3，

当1_变＜帆＜1+也时，cosZBlPC＜0,

22

8.用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的五位数，要求偶数不能相邻，则这样的五位数

有（）个

A.120B.216C.222D.252

【答案】D

【分析】按含2个偶数字和含3个偶数字分成两类，每一类插空法而得解.

【详解】完成组成无重复数字的五位数这件事有两类办法：

取2个偶数字,3个奇数字有C；种,先排3个奇数字，再把所取的2个偶数字插入有用A：种，

不同五位数有C；A；&个；

取3个偶数字,2个奇数字有C：种,先排3个偶数字，再把所取的2个奇数字插入有用8种，

不同五位数有c；A；&个；

由分类计数原理知，没有重复数字的五位数共有C；A；A：+C；A；&=216+36=252个.

故选：D

【点睛】关键点睛：有特殊元素的排列组合问题，按含特殊元素的个数多少分类是解决问题

的关键.

9.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，

22

其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:卞-%=1（“>0力>0）的左、

右焦点分别为6,乙，从心发出的光线经过图2中的4,8两点反射后,分别经过点C和。.且

3

cosZBAC=--,ABA.BD,则E的离心率为（）

【分析】设IA玛|=%,\BF2\=n,由双曲线的定义可得IAKI,|8片|,在直角三角形中,

在AAE6中，运用锐角一角函数的定义、勾股定理和余弦定理，化简整理，结合离心率公

式，可得所求值.

由双曲线的定义可得IAE|=2a+机，|8用=2a+n,

在直角三角形AF；B中，sinNf；A5=等±=。，①

2a+m5

(2a+n)2+(;n+n)2=(2a+m)1,②

在l\AF\鸟中，可得4c2=nr+(2a+m)2-2m(2a+m)--③

由①②可得〃=手

即为9c2=17/,

故选：D.

10.三棱柱ABC-A4a的各个顶点都在球。的球面上，且AB=AC=1,BC=0,CG，平

面A8C.若球。的表面积为3万，则这个三棱柱的体积是（）

【答案】C

【分析】由三棱柱是直三棱柱，底面是直角三角形得外接球球心在侧面的中心，由球表面积

得半径后求得棱柱的高，从而可得棱柱体积.

【详解】AB=AC=\,BC=42,:.AB±AC,CG_L平面ABC,三棱柱ABC-A耳0内接球

0,；.O为距形BCC向的中心,

设球。半径为J则4乃r=3乃,.1r=迫，即OC=r=更,，三棱柱的高〃=2,

三棱柱的体积V=5,ABC-h=gx1x1x1=g,故选：C.

11.己知函数〃力=/一21巾|与g(x)=cos(0x+e)((y>O)的图象有两个公共点，则满足条

件的周期最大的函数g(x)可能为

A.g(x)=-cos(4x)B.g(x)=cos(2»x)

C.^(x)=cos^x+y^D.g(x)=cos(2〃x-()

【答案】A

【详解】由题得/(X)是一个偶函数，当

x>0时，/(x)=x2-21n%/(x)=2x_2=2d2=2(x+l)(x-1)

XXX

由r(x)>0得x>1,由f'M<0得0<x<1,所以函数f(x)的增区间是(1,长。)，减区间是(0,1),

所以函数/(x)的草图如下,且/(x)min=/(I)=/(-1)=1.

函数/(x)=x2-21n|x|与g(x)=cos(<yx+<i?)(69>0)的图象有两个公共点，

所以g(x)m”=l，所以函数g(x)的最长周期为1-(-1)=2,所以至=2=

W

,^（1）=1COS（4Xl+°）=1/.COS（4+0）=1.*.-cos^=10=2攵;T+%（左£Z）

所以g（X）=COS（兀X+2k兀+7l）=COS（7TX+万）=—COS（TTX）,故选A.

点睛：本题的关键在于画出函数/(X)=f-21n国的图像，求出函数的最小值后，通过分析

得到g(x)m”=1和函数g(x)的最长周期为2,从而求出w的值.数形结合是高中数学很重要的

一种思想，在解题过程中要灵活运用.

12.若实数x,'满足41nx+2172/+4丫-4,则()

A.xy=B.x+y=y/2C.x+『=l+&D.x3y=1

【答案】A

【分析】对不等式变形得到11)642丫4/2+2),_2,换元后得到

lna-a+l+(lni>-/>+l)>0,构造g(x)=lnx-x+l,求导研究其单调性，极值最值情况，得

至UgGLa=g(1)=。，从而只有a=Z>=l时，即g(a)=g(")=O时，满足要求，从而解出

x=&,y=g,依次判断四个选项.

【详解】因为41nx+2klyNx「+4y-4,

所以21nx+lnyNgx2+2y-2,即ln(x2),之;f+2y_2,

所以ln(gx2.2y)z；x2+2y-2,

令gx?=a,2y=b,

则In(而)Na+b-2,E|Jlna+lnb>a+b-2,

所以Ino—a+l+(】nZ?-/?+l)NO,

令g(x)=lnx-x+l,则g，(x)=1_l=与^,

当xw(O,l)时,g<x)>0,g(x)单调递增,

当xw(l,+0。)时,g[x)<0,g(x)单调递减,

所以g(x)=lnx-x+l在x=l处取得极大值，也是最大值，

g(x)max=g(l)TnlT+l=。，

要想使得g(a)+g®=0成立，只有a=b=l时，即g(a)=g(3=0时，满足要求，

所以=],2y=l,

由定义域可知：x>0,y>0,

解得：X=&,y=g,

xy=^~,A选项正确；

2

x+y=&+；,BC错误.

2y=26十枝,D错误；

故选：A.

二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共50分。

13.已知随机变量《服从正态分布N(2,*),则产&<2)=.

【答案】y

【分析】根据正态曲线的对称性，直接求解即可.

【详解】解:因为随机变量7服从正态分布N(2,〃)，

所以正态曲线关于4=2对•称,所以尸信<2)=]

故答案为:

【点睛】本题考查了由正态曲线的对称性求概率，属基础题.

14.曲线y=/-ln(2x+l)在点(0,1)处的切线方程为y=x+l,则实数〃的值为.

【答案】e3

【分析】求导，根据导数的几何意义运算求解.

2

【详解】由y=a*-ln(2x+l),51!]y'=axIna--,BP/|=lna-2,

2x+lJ=0

回y=x+l的斜率％=1,则ln4-2=l,

回a=e，,

故实数a的值为e'.

故答案为:e3.

15.设AB是抛物线C：f=4y上的两个不同的点，。为坐标原点，若直线。4与。8的斜率

之积为-；，则直线A8恒过定点，定点坐标为.

【答案】Q2)

【分析】设4亮)"净，根据题意可得%/=管=-1,设直线的方程为

，=区+"代入抛物线方程化简整理并且结合根与系数的关系即可得出答案.

【详解】设A(亮),8(々,[)，

因为直线。44OB的斜率之积为-g,

所以自4.&。8=4・/_=篝=一；'

X)x2lo2

解得看々=-8,

由题意知直线AB的斜率一定存在，设直线AB的方程为y=kx+b,

代入抛物线方程x2=4y可得V-4fcv-4b=0，需满足A=16*+16b>0，

所以内马=-4/?=-8,解得6=2,满足△>(),

故直线AB的方程为y=丘+2,

则直线A8恒过定点(。，2),

故答案为团©2).

b-3

16.已知不等式1。(1一1)一(4+2»<6-2恒成立，则一^的最小值为_____.

。+2

【答案】—1—e

【分析】令〃x)=ln(x—1)—(a+2)x—b+2,求得/'(x),求得函数/(x)的单调性与最大值，

得至lJ-ln(a+2)—a-b-lW0,得至|」0之,设设g(a)=：呵生2)士4,

。+2。+2。+2

设f=a+2>0,得到g(/)=也产匚，利用导数求得函数g(。最大值，即可求解.

【详解】令f(x)=ln(x—l)-(a+2)x—b+2,其中，>1,可得门x)=一^-(a+2),

x—1

当a+240时，/V)>0>此时函数〃x)单调递增，无最大值，不符合题意；

当。+2>0时，令/'(x)=0,即上-(。+2)=0,解得x=空，

x-l。+2

当1<X<震时，/V)>01函数”X)单调递增；

当x>富时，:(“<°'函数”X)单调递减，

所以当》=震时，函数/(X)取得极大值，也是最大值，

且/(&3)=-ln(a+2)-a-6-l,

因为ln(x-l)-(“+2)xVb-2,恒成立，即一ln(a+2)一。一匕一140恒成立，

即匕-3*皿〃+2)-加4,可得露N重呼产恒成立,

-ln(o+2)一。一4

设g(")=

。+2

设i+2>0,可得g⑴一"；”?/〉。,则g’O—E,

令g'(f)=O,即号竺=0,解得f=g,

当0<f<：时，g")>0,g(f)单调递增;

当时，g'⑺<0,g⑺单调递减，

所以当/=!•时，函数g(f)取得极大值，也是最大值，且gd)=T-e，

所以然即露的最小值为T-e.

故答案为：—\—e.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分

17.在平面四边形中，ZA£>C=90，ZA=45，A8=2,BD=5.

(1)求cosZADB；

(2)若DC=2也，求BC.

【答案】(1)—;(2)5.

5

【分析】(1)方法一：根据正弦定理得到§7=.//=D，求得sinZAO8=也，结合角

sinZAsinZADB5

的范围，利用同角三角函数关系式，求得cosNAD8=JC=与；

(2)方法一：根据第一问的结论可以求得cosN8DC=sinN4£)B=",在△BCD中，根据

5

余弦定理即可求出.

【详解】(1)［方法1］:正弦定理+平方关系

在△回£)中，由正弦定理得§7=.个代入数值并解得sinN4£»B=立.又因为

sinZAsinZADB5

BD>AB，所以NA>NADB，即NADB为锐角，所以cosNAOB=竺.

5

［方法2］：余弦定理

在△A8Z)中，BD2=AB2+AD2-2AB-ADcos45,即25=4+3-2x2x4Ox受，解得：

2

A£)=V2+V23.所以，

［方法3］：【最优解】利用平面几何知识

如图，过8点作垂足为E,BF1CD,垂足为尸.在Rt_AEB中，因为NA=45。,

AB=2,所以AE=BE=啦.在RtZSBE。中，因为8£>=5,则

DE=y］BD2-BE2=,52T尬)2=后.

所以cosNA£>B=叵.

5

［方法4］：坐标法

以。为坐标原点，OC为x轴，OA为V轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）.

设则B（5cose,5sina）.因为NA=45°,所以A（O,5sina+0）.

从ifuAB=-^/（0-5cosa）2+（5sina+>/2-5sina）2=2>又。是锐角，所以cosa=,

cosZ.ADB=sina=A/1-cos2a=-

（2）［方法1］:【通性通法】余弦定理

在△BCD,由（1）得，cosNAOB=qLBC2=BD2+DC2-2BD-Z）Ccos（900-ZADB）

=52+（2V2）2-2x5x141sinZADB=25,所以BC=5.

［方法2］：【最优解】利用平面几何知识

作8尸，£>。，垂足为尸，易求，BF=yf23,FC=42,由勾股定理得BC=5.

【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解

三角形，属于通性通法；

方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；

方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算.

方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想

的体现.

（2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法.

方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算.

18.2021年是“十四五”开局之年，是实施乡村振兴的重要一年.某县为振兴乡村经济，大力

发展乡村生态旅游，激发乡村发展活力.该县为了解乡村生态旅游发展情况，现对全县乡村

生态旅游进行调研，统计了近9个月来每月到该县乡村生态旅游的外地游客人数y（单位:

万人），并绘制成下图所示散点图，其中月份代码1~9分别对应2020年7月至2021年3月.

外地游客人数丁

32八

28.•••

24・

・

20•

16

12•

0123456789

月份代码x

（1）用模型①丫二"+桁，②y=a+A&分别拟合与N的关系，根据散点图判断，N那个

模型的拟合效果最好？（不必说理由）

（2）根据（1）中选择的模型，求y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；

（3）据以往数据统计，每位外地游客可为该县带来100元左右的旅游收入，根据（2）中的

回归模型，预测2021年10月，外地游客可为该县带来的生态旅游收入为多少万元？

_19

参考数据：下表中4=6，r=

£2

yt

?=1i=li=l

232.15603.5884.521.31

参考公式：对于一组数据&，%），.・.，&，％），回归方程¥=岳+%中的斜率和截距

.£"）（一）_

的最小二乘估计公式分别为b=J--------；­,a^-bt.

幼可

z=l

【答案】（1）模型②y=a+E«的拟合效果最好；（2）y=10.20+5.95^；（3）3400万元.

【分析】（1）观察点的趋势，得应用含二次根式的函数较好；

（2）根据提供的数据计算出回归方程的系数可得回归方程；

（3）x=16代入（2）中回归方程可得估计值.

【详解】（1）模型②y=a+34的拟合效果最好.

（2）令f=«,知丫与f可用线性方y=&+R拟合，则

人次包-7）（》-刃2131_

=----------------=—^-=5.953,a=y-bT=23-5.953x2.15®10.20,

『3$8

/=1

所以，y关于f的线性回归方程为y=lQ20+5.95r,

故y关于X的回归方程为y=10.20+5.956.

（3）2021年10月,即x=16时，y=10.20+5.95x716=34（万人），

此时，外地游客可为该县带来的生态旅游收入为3400万元.

19.如图，在四棱锥P/8CQ中，PDYAB,§.PD=PB,底面N2C。是边长为2的菱形,

_7C

ABAD=-.

3

（1）证明：平面RJC0平面48CD；

（2）若R，PC,求平面与平面尸8。夹角的余弦值.

【答案】⑴证明见解析；⑵虫.

3

【分析】（1）连接即，证明8£>0平面4PC,再由8Du平面Z8CD,得出平面4P03平面

ABCD.

（2）作辅助线，利用线面垂直的判定证明PW0平面/8C。，以。为坐标原点，建立坐标系，

利用向量法求解即可.

【详解】（1）连接交4C于点。，连接PO.

因为48CZ）是菱形，所以BOS4C,且。为8力的中点.

因为P8=P。，所以尸O08D

又因为/C,POu平面/PC,且ACPO=O,所以平面/PC.

又8£）u平面Z5CZ）,所以平面/尸CIS平面力BCD

（2）取力8中点连接0M交4C于点，，连接尸”.

TT

因为所以皿18。是等边三角形，所以

又因为P0GW8,PDcDM=D,PQOMu平面POM,

所以4B团平面尸。所以450/77.

由（1）如BDS1PH,且A8BD=B,所以PM3平面/BCD.

由是边长为2的菱形，在中，AH=AM=^,AO=ABcos30°=

cos3003

由/R3PC,在EWPC中,

PH°=AH-HC=空乂型上,所以PH=还.

3333

以O为坐标原点，0B、OC分别为x轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系,

则A（o,-6o）,5（1,0,0）,C（0,V3,0）,H。，一冬。，尸0,一坐半

所以AB=(1,6,0),CB=(l,-G,0),

设平面PAB的法向量为仆=（%,%,乙）,

732>/6

n,BP=0=0

所以=

々•A8=0

%+6y、=0

设平面尸8c的法向量为巧=（x2，y2,z2）,

,BP=0

所以

-CB=0

令％=1得%=(6』，a).

设平面PAB与平面PBC的夹角为0.

入।,In.-nJ

所以，cos6»=cos<np«2>=L——1

所以，平面218与平面P8C夹角的余弦值为由.

3

20.己知椭圆后:±+1=1（4>0>0）经过A（0,l）,T、：,-：）两点，M,N是椭圆E上

cibI53J

异于7的两动点，且NM4T=NN4T,若直线40,AN的斜率均存在，并分别记为占，k2.

⑴求证：尤自为常数：

⑵求_4WN面积的最大值.

Q

【答案】⑴证明见解析；（25

【分析】（1）设直线AM,AT,AN的倾斜角分别为a,97,根据NM4T=NN4T,可一得

0-a=邓叫,即c+£=2，，求出。，从而可得出结论；

（2）利用待定系数法求出椭圆方程，设“（5,M）川（电,%），&=k（k#0,k*l）,联立方程

求出小弓，再根据S“MW=^\AM\\AN\sinZMAN=^|AA/||A7V|^1-COS2AMAN

=1^|AM|2|AN|2-（AM-A2V）2,化简计算结合基本不等式即可得解.

【详解】（1）设直线AM,AT,4N的倾斜角分别为a,。,万，

因为NM4T=NN47,所以NM4N=2NN4T,

即尸_0=2（6_0）,故a+夕=29,

1+3

因为A（0,l）,所以tand=-^=l,所以6=：,

5

JT

所以a+尸=26=],

贝ljk&=tana•tan/=tana•tan-a）=1,

所以勺玲为常数1；

22/Q3、

（2）椭圆E:]+W=l（a>b>0）经过A（0,l）,

—=1f,

代入畔649「解得心1，

-------1-------=1

125a225b2

所以椭圆方程为工+y2=l,

4

设加（4乂）,阳々，%），%=k（k^Q,k*l）,由（i）得&=J,

K

则AM的方程为旷=履+1,%=3+1,AN的方程为y=，x+l,y2=?x,+1,

kk

2

X2

联立《4+',消y得(43+1b2+8h=0,则.=~~H

y=kx+\

则sAMV=g|AM||ANkinNM4N

=^\AM\\AN\y/\-cos2ZMAN

=cos2ZMAN)

=1^|AM|2|A^|2-(|AM||^|COSZM/IN)：!

=g|AN『-(AM.AN『

_LL_lf64/64公

¥F(4/+1广(&2+4)2

k)(4/+17r+4)2

32r32,328

------~------———

贝|JSAMN)4犷+25々+六2*

4k+后+175

2515

当且仅当4，=7,即"工=5时取等号,

Q

所以面积的最大值为g.

【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决;

（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数,

再求这个函数的最值或范围.

21.已知数列｛。"｝满足q+3%+N*,记5.=4+々++«,1.

（1）求4和S,；

（2）证明：（1+:+!++-|5„<lnn+l.

I23nJ

【答案】（1）S„=l-y；（2）证明见解析.

【解析】（1）令〃=1求出外的值，令〃22,由4+3%++（2〃-1"7,=3—符!得出

《+3/++（2"-3”,1=3-筝二，两式相减可得出勺，再对力的值进行验证即可得出数

列｛《,｝的通项公式，进而利用等比数列求和公式可得出3；

（2）利用导数证明出不等式lnx4x-l（x>0）,可得事皿字〉.，利用不等式的性质可

得出1+1+：++-<lnn+l,再由5“<1进而可证明出结论成立.

23n

【详解】（1）数列｛q｝满足4+3%++（2力一1）4=3-与3，H

当〃=1时，4=3-3=2；

22

2

当〃22时，山4+3%++（2〃-=3-^得4+34++（2n-3）an_x=3-^^,

2〃+12〃+34〃+2-(2〃+3)2n—1

两式相减得=

4=5满足。〃=彳■，所以，对任意的〃eN",〃〃=吩

与吐=早=奈=；，所以，数列｛〃〃｝是等比数列，且首项和公比均为

T

因此，Sn=—

(2)先证明lnx〈x-l(x>0).

令/(x)=lnx-x+l,则尸(x)=」_]=由/'(x)=O=>x=l.

当0<x<l时，r(x)>0;当x>l时，r(x)<o.

所以，函数y=〃x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(i,+co),

当X=1时，函数y=〃x)取得最大值，即“力2=〃1)=(),

当0cxe1时，/(x)<0.

〃77f71I

令工=---G(0,1),则In——<------1=-----,化为ln(n+l)-ln/?>----,

〃+1n+\n+]n+\n+\

则ln2-lnl>l,In3-ln2>—,L,lnn-ln(z?-l)>—,

23v7n

上述不等式全部相加得ln〃>!+《++-,则1+!+!++-<ln