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文档简介

2024届山东省示范中学招生全国统一考试仿真卷(二)-高考数学试题仿真试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,,则的大小关系为()A. B. C. D.2.马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士,也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物,梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作,人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2P﹣1(其中p是素数)的素数,称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是()A.3 B.4 C.5 D.63.已知随机变量服从正态分布,且,则()A. B. C. D.4.函数(其中是自然对数的底数)的大致图像为()A. B. C. D.5.已知为虚数单位,若复数,则A. B.C. D.6.在的展开式中,的系数为()A.-120 B.120 C.-15 D.157.地球上的风能取之不尽,用之不竭.风能是淸洁能源,也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电,近10年来,全球风力发电累计装机容量连年攀升,中国更是发展迅猛,2014年累计装机容量就突破了,达到,中国的风力发电技术也日臻成熟,在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图.根据所给信息,正确的统计结论是()A.截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B.10年来全球新增装机容量连年攀升C.10年来中国新增装机容量平均超过D.截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过8.已知向量,,则向量与的夹角为()A. B. C. D.9.某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积(单位:)为()A. B.6 C. D.10.已知曲线,动点在直线上,过点作曲线的两条切线,切点分别为,则直线截圆所得弦长为()A. B.2 C.4 D.11.已知集合,,则()A. B.C. D.12.把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将图象向右平移个单位,那么所得图象的一个对称中心为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数(为自然对数的底数,),若函数恰有个零点,则实数的取值范围为__________________.14.已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形,且.若四棱锥P-ABCD的五个顶点在以4为半径的同一球面上,当PA最长时,则______________;四棱锥P-ABCD的体积为______________.15.如图是一个算法流程图,若输出的实数的值为,则输入的实数的值为______________.16.已知函数有两个极值点、,则的取值范围为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知.(1)求不等式的解集;(2)记的最小值为,且正实数满足.证明:.18.(12分)设,,其中.(1)当时,求的值;(2)对,证明:恒为定值.19.(12分)如图,正方形所在平面外一点满足,其中分别是与的中点.(1)求证:;(2)若,且二面角的平面角的余弦值为,求与平面所成角的正弦值.20.(12分)[选修4-4:极坐标与参数方程]在直角坐标系中,曲线的参数方程为(是参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)若射线与曲线交于,两点,与曲线交于,两点,求取最大值时的值21.(12分)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的参数方程是(为参数,常数),曲线的极坐标方程是.(1)写出的普通方程及的直角坐标方程,并指出是什么曲线;(2)若直线与曲线,均相切且相切于同一点,求直线的极坐标方程.22.(10分)已知数列的前n项和为,且n、、成等差数列,.(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

由指数函数的图像与性质易得最小,利用作差法,结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系,进而得解.【题目详解】根据指数函数的图像与性质可知,由对数函数的图像与性质可知,,所以最小;而由对数换底公式化简可得由基本不等式可知,代入上式可得所以,综上可知,故选:D.【题目点拨】本题考查了指数式与对数式的化简变形,对数换底公式及基本不等式的简单应用,作差法比较大小,属于中档题.2、C【解题分析】

模拟程序的运行即可求出答案.【题目详解】解:模拟程序的运行,可得:p=1,S=1,输出S的值为1,满足条件p≤7,执行循环体,p=3,S=7,输出S的值为7,满足条件p≤7,执行循环体,p=5,S=31,输出S的值为31,满足条件p≤7,执行循环体,p=7,S=127,输出S的值为127,满足条件p≤7,执行循环体,p=9,S=511,输出S的值为511,此时,不满足条件p≤7,退出循环,结束,故若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是5,故选:C.【题目点拨】本题主要考查程序框图,属于基础题.3、C【解题分析】

根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解.【题目详解】,,,.故选:C.【题目点拨】本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量服从正态分布,则.4、D【解题分析】由题意得,函数点定义域为且,所以定义域关于原点对称,且,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,故选D.5、B【解题分析】

因为,所以,故选B.6、C【解题分析】

写出展开式的通项公式,令,即,则可求系数.【题目详解】的展开式的通项公式为,令,即时,系数为.故选C【题目点拨】本题考查二项式展开的通项公式,属基础题.7、D【解题分析】

先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量,再结合数据研究单调性、平均值以及占比,即可作出选择.【题目详解】年份2009201020112012201320142015201620172018累计装机容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增装机容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中国累计装机装机容量逐年递增,A错误;全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势,B错误;经计算,10年来中国新增装机容量平均每年为,选项C错误;截止到2015年中国累计装机容量,全球累计装机容量,占比为,选项D正确.故选:D【题目点拨】本题考查条形图,考查基本分析求解能力,属基础题.8、C【解题分析】

求出,进而可求,即能求出向量夹角.【题目详解】解:由题意知,.则所以,则向量与的夹角为.故选:C.【题目点拨】本题考查了向量的坐标运算,考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时,通常代入公式进行计算.9、D【解题分析】

根据几何体的三视图,该几何体是由正方体去掉三棱锥得到,根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.【题目详解】如图,该几何体为正方体去掉三棱锥,所以该几何体的体积为:,故选:D【题目点拨】本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法,考查了空间想象力,属于中档题.10、C【解题分析】

设,根据导数的几何意义,求出切线斜率,进而得到切线方程,将点坐标代入切线方程,抽象出直线方程,且过定点为已知圆的圆心,即可求解.【题目详解】圆可化为.设,则的斜率分别为,所以的方程为,即,,即,由于都过点,所以,即都在直线上,所以直线的方程为,恒过定点,即直线过圆心,则直线截圆所得弦长为4.故选:C.【题目点拨】本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系,抛物线两切点所在直线求解是解题的关键,属于中档题.11、C【解题分析】

求出集合,计算出和,即可得出结论.【题目详解】,,,.故选:C.【题目点拨】本题考查交集和并集的计算,考查计算能力,属于基础题.12、D【解题分析】

试题分析:把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),可得的图象;再将图象向右平移个单位,可得的图象,那么所得图象的一个对称中心为,故选D.考点:三角函数的图象与性质.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】

令,则,恰有四个解.由判断函数增减性,求出最小值,列出相应不等式求解得出的取值范围.【题目详解】解:令,则,恰有四个解.有两个解,由,可得在上单调递减,在上单调递增,则,可得.设的负根为,由题意知,,,,则,.故答案为:.【题目点拨】本题考查导数在函数当中的应用,属于难题.14、90°【解题分析】

易得平面PAD,P点在与BA垂直的圆面内运动,显然,PA是圆的直径时,PA最长;将四棱锥补形为长方体,易得为球的直径即可得到PD,从而求得四棱锥的体积.【题目详解】如图,由及,得平面PAD,即P点在与BA垂直的圆面内运动,易知,当P、、A三点共线时,PA达到最长,此时,PA是圆的直径,则;又,所以平面ABCD,此时可将四棱锥补形为长方体,其体对角线为,底面边长为2的正方形,易求出,高,故四棱锥体积.故答案为:(1)90°;(2).【题目点拨】本题四棱锥外接球有关的问题,考查学生空间想象与逻辑推理能力,是一道有难度的压轴填空题.15、【解题分析】

根据程序框图得到程序功能,结合分段函数进行计算即可.【题目详解】解:程序的功能是计算,若输出的实数的值为,则当时,由得,当时,由,此时无解.故答案为:.【题目点拨】本题主要考查程序框图的识别和判断,理解程序功能是解决本题的关键,属于基础题.16、【解题分析】

确定函数的定义域,求导函数,利用极值的定义,建立方程,结合韦达定理,即可求的取值范围.【题目详解】函数的定义域为,,依题意,方程有两个不等的正根、(其中),则,由韦达定理得,,所以,令,则,,当时,,则函数在上单调递减,则,所以,函数在上单调递减,所以,.因此,的取值范围是.故答案为:.【题目点拨】本题考查了函数极值点问题,考查了函数的单调性、最值,将的取值范围转化为以为自变量的函数的值域问题是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)或;(2)见解析【解题分析】

(1)根据,利用零点分段法解不等式,或作出函数的图像,利用函数的图像解不等式;(2)由(1)作出的函数图像求出的最小值为,可知,代入中,然后给等式两边同乘以,再将写成后,化简变形,再用均值不等式可证明.【题目详解】(1)解法一:1°时,,即,解得;2°时,,即,解得;3°时,,即,解得.综上可得,不等式的解集为或.解法二:由作出图象如下:由图象可得不等式的解集为或.(2)由所以在上单调递减,在上单调递增,所以,正实数满足,则,即,(当且仅当即时取等号)故,得证.【题目点拨】此题考查了绝对值不等式的解法,绝对值不等式的性质和均值不等式的运用,考查了分类讨论思想和转化思想,属于中档题.18、(1)1(2)1【解题分析】分析:(1)当时可得,可得.(2)先得到关系式,累乘可得,从而可得,即为定值.详解:(1)当时,,又,所以.(2)即,由累乘可得,又,所以.即恒为定值1.点睛:本题考查组合数的有关运算,解题时要注意所给出的的定义,并结合组合数公式求解.由于运算量较大,解题时要注意运算的准确性,避免出现错误.19、(1)证明见解析(2)【解题分析】

(1)先证明EF平面,即可求证;(2)根据二面角的余弦值,可得平面,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量计算线面角即可.【题目详解】(1)连接,交于点,连结.则,故面.又面,因此.(2)由(1)知即为二面角的平面角,且.在中应用余弦定理,得,于是有,即,从而有平面.以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,于是,,设平面的法向量为,则,即,解得于是平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为,因此.【题目点拨】本题主要考查了线面垂直,线线垂直的证明,二面角,线面角的向量求法,属于中档题.20、(1)的极坐标方程为.曲线的直角坐标方程为.(2)【解题分析】

(1)先得到的一般方程,再由极坐标化直角坐标的公式得到一般方程,将代入得,得到曲线的直角坐标方程;(2)设点、的极坐标分别为,,将分别代入曲线、极坐标方程得:,,,之后进行化一,可得到最值,此时,可求解.【题目详解】(1)由得,将代入得:,故曲线的极坐标方程为.由得,将代入得,故曲线的直角坐标方程为.(2)设点、的极坐标分别为,,将分别代入曲线、极坐标方程得:,,则,其中为锐角,且满足,,当时,取最大值,此时,【题目点拨】这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法,极坐标化为直角坐标的方法,以及极坐标中极径的几何意义,极径代表的是曲线上的点到极点的距离,在参数方程和极坐标方程中,能表示距离的量一个

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