南昌市重点中学2024届高三下学期第八次统练（一模）数学试题

南昌市重点中学2024届高三下学期第八次统练（一模）数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，四边形为平行四边形，为中点，为的三等分点（靠近）若，则的值为（）A． B． C． D．2．的展开式中的系数是（）A．160 B．240 C．280 D．3203．已知的共轭复数是，且（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知随机变量服从正态分布，，（）A． B． C． D．5．已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．6．已知集合，，，则()A． B． C． D．7．已知函数（，）的一个零点是，函数图象的一条对称轴是直线，则当取得最小值时，函数的单调递增区间是（）A．（） B．（）C．（） D．（）8．已知集合，则集合的非空子集个数是（）A．2 B．3 C．7 D．89．已知，函数在区间上恰有个极值点，则正实数的取值范围为（）A． B． C． D．10．在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的范围是（）A． B．C． D．11．已知实数、满足约束条件，则的最大值为（）A． B． C． D．12．设是虚数单位，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，若，则______.14．如图，是圆的直径，弦的延长线相交于点垂直的延长线于点．求证：15．已知是定义在上的偶函数，其导函数为．若时，，则不等式的解集是___________．16．已知向量，，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，若方程有两个不相等的实数根，求证：.18．（12分）如图，三棱柱中，与均为等腰直角三角形，，侧面是菱形.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）某保险公司给年龄在岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从名参保人员中随机抽取名作为样本进行分析，按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示.据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元.年龄（单位：岁）保费（单位：元）（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求精确到整数时的最小值；（2）经调查，年龄在之间的老人每人中有人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为元，如果参保，保险公司补贴治疗费元.某老人年龄岁，若购买该项保险(取中的).针对此疾病所支付的费用为元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为元.试比较和的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？20．（12分）已知函数，记不等式的解集为.（1）求；（2）设，证明：.21．（12分）已知函数．（1）若函数在上单调递增，求实数的值；（2）定义：若直线与曲线都相切，我们称直线为曲线、的公切线，证明：曲线与总存在公切线．22．（10分）已知函数，.（1）求函数在处的切线方程；（2）当时，证明：对任意恒成立.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

使用不同方法用表示出，结合平面向量的基本定理列出方程解出．【题目详解】解：，又解得，所以故选：D【题目点拨】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．2、C【解题分析】

首先把看作为一个整体，进而利用二项展开式求得的系数，再求的展开式中的系数，二者相乘即可求解.【题目详解】由二项展开式的通项公式可得的第项为，令，则，又的第为，令，则，所以的系数是.故选：C【题目点拨】本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.3、D【解题分析】

设，整理得到方程组，解方程组即可解决问题．【题目详解】设，因为，所以，所以，解得：，所以复数在复平面内对应的点为，此点位于第四象限.故选D【题目点拨】本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题．4、B【解题分析】

利用正态分布密度曲线的对称性可得出，进而可得出结果.【题目详解】，所以，.故选：B.【题目点拨】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.5、A【解题分析】

利用双曲线：的焦点到渐近线的距离为，求出，的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．【题目详解】双曲线：的焦点到渐近线的距离为，可得：，可得，，则的渐近线方程为．故选A．【题目点拨】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.6、A【解题分析】

求得集合中函数的值域，由此求得，进而求得.【题目详解】由，得，所以，所以.故选：A【题目点拨】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.7、B【解题分析】

根据函数的一个零点是，得出，再根据是对称轴，得出，求出的最小值与对应的，写出即可求出其单调增区间.【题目详解】依题意得，，即，解得或（其中，）.①又，即（其中）.②由①②得或，即或（其中，，），因此的最小值为.因为，所以（）.又，所以，所以，令（），则（）.因此，当取得最小值时，的单调递增区间是（）.故选：B【题目点拨】此题考查三角函数的对称轴和对称点，在对称轴处取得最值，对称点处函数值为零，属于较易题目.8、C【解题分析】

先确定集合中元素，可得非空子集个数．【题目详解】由题意，共3个元素，其子集个数为，非空子集有7个．故选：C．【题目点拨】本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有个元素的集合其子集个数为，非空子集有个．9、B【解题分析】

先利用向量数量积和三角恒等变换求出，函数在区间上恰有个极值点即为三个最值点，解出，，再建立不等式求出的范围，进而求得的范围.【题目详解】解：令，解得对称轴，，又函数在区间恰有个极值点，只需解得．故选：．【题目点拨】本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或的形式;(2)根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.10、D【解题分析】试题分析：由已知可得有两个不等实根.考点：1、余弦定理；2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先利用转化化归思想将原命题转化为有两个不等实根，从而可得.11、C【解题分析】

作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点时，取得最大值.【题目详解】解：作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点时，取得最大值，最大值为.故选：C.【题目点拨】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.12、A【解题分析】

利用复数的乘法运算可求得结果.【题目详解】由复数的乘法法则得.故选：A.【题目点拨】本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得与,再结合向量的模长公式即可求得的值.【题目详解】向量,则,则因为即,化简可得解得故答案为:【题目点拨】本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.14、证明见解析．【解题分析】试题分析：四点共圆，所以，又△∽△，所以，即，得证．试题解析：A．连接，因为为圆的直径，所以，又，则四点共圆，所以．又△∽△，所以，即，∴．15、【解题分析】

构造，先利用定义判断的奇偶性，再利用导数判断其单调性，转化为，结合奇偶性，单调性求解不等式即可.【题目详解】令，则是上的偶函数，，则在上递减，于是在上递增．由得，即，于是，则，解得．故答案为：【题目点拨】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.16、【解题分析】

求出，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算．【题目详解】由题意得，.，.，，.故答案为：．【题目点拨】本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；（3）证明见解析.【解题分析】

（1）当时，，求得其导函数，，可求得函数的图象在处的切线方程；（2）由已知得，得出导函数，并得出导函数取得正负的区间，可得出函数的单调性；（3）当时，，，由（2）得的单调区间，以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，构造函数，分析其导函数的正负得出函数的单调性，得出其最值，所证的不等式可得证.【题目详解】（1）当时，，所以，，所以函数的图象在处的切线方程为，即；（2）由已知得，，令，得，所以当时，，当时，，所以在上是减函数，在上是增函数；（3）当时，，，由（2）得在上单调递减，在单调递增，所以，且时，，当时，，，所以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，构造函数，则，当时，所以，在上单调递减，且，，由，在上单调递增，.所以.【题目点拨】本题考查运用导函数求函数在某点的切线方程，讨论函数的单调性，以及证明不等式，关键在于构造适当的函数，得出其导函数的正负，得出所构造的函数的单调性，属于难度题.18、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）取中点，连接，，通过证明，得，结合可证线面垂直，继而可证面面垂直.（2）设，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，继而可求二面角的余弦值.【题目详解】解析：（1）取中点，连接，，由已知可得，，，∵侧面是菱形，∴，，，即，∵，∴平面，∴平面平面.（2）设，则，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令得.同理可求得平面的法向量，∴.【题目点拨】本题考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者线面角的问题时，常建立空间直角坐标系，通过求面的法向量、线的方向向量，继而求解.特别地，对于线面角问题，法向量与方向向量的余角才是所求的线面角，即两个向量夹角的余弦值为线面角的正弦值.19、（1）30；（2），比较划算.【解题分析】

（1）由频率和为1求出，根据的值求出保费的平均值，然后解一元一次不等式即可求出结果，最后取近似值即可；（2）分别计算参保与不参保时的期望，，比较大小即可.【题目详解】解:（1）由，解得.保险公司每年收取的保费为:∴要使公司不亏本，则，即解得∴.（2）①若该老人购买了此项保险，则的取值为∴(元).②若该老人没有购买此项保险，则的取值为.∴(元).∴年龄为的该老人购买此项保险比较划算.【题目点拨】本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力，掌握频率分布直方图的基本性质，知道数学期望是平均数的另一种数学语言，为容易题.20、（1）；（2）证明见解析【解题分析】

（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集.（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立.【题目详解】（1）解：，由，解得，故.（2）证明：因为，所以，，所以，所以.【题目点拨】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.21、（1）；（2）见解析.【解题分析】

（1）求出导数，问题转化为在上恒成立，利用导数求出的最小值即可求解；（2）分别设切点横坐标为，利用导数的几何意义写出切线方程，问题转化为证明两直线重合，只需满足有解即可，利用函数的导数及零点存在性定理即可证明存在.【题目详解】（1），函数在上单调递增等价于在上恒成立．令，得，所以在单调递减，在单调递增，则．因为，则在上恒成立等价于在上恒成立；又，所以，即．（2）设的切点横坐标为，则切线方程为……①设的切点横坐标为，则，切线方程为……②若存在，使①②成为同一条直线，则曲线与存在公切线，由①②得消去得即令，则所以，函数在区间上单调递增，，使得时总有又时，在上总有解综上，函数与总存在公切线．【题目点拨】本题主要考查了利用导数研究函数的恒成立问题，导数