辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

第17页/共17页辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年度上学期期末高二年级试题数学考试时间120分钟试卷总分150分一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.【详解】由，焦点到准线的距离是，故选：D.2.下列式子错误的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据排列和组合数公式即可求出答案.【详解】对于A，B，由组合数公式：知，，，所以A、B正确；对于C，因为得，所以，所以C正确.对于D，，，，所以D不正确.故选：D.3.圆与圆的位置关系为（）A.相离 B.内切 C.外切 D.相交【答案】B【解析】【分析】根据圆心距与的关系求得正确答案.【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径，圆心距，所以两圆的位置关系是内切.故选：B4.已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中的系数为（）A B.405 C. D.81【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理，写出通项公式，求出指定项的系数.【详解】令，可得所有项的系数之和为，则，由题意，即，所以展开式中含项的系数为．故选：A．5.如图所示，在正三棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】过点作，证明平面，根据线面角的定义确定与平面所成角的平面角，解三角形求其正弦值即可.【详解】过点作，连接，由已知平面，平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，所以为与平面所成角平面角，因为平面，平面，所以，所以为直角三角形，由已知等边三角形，且，所以，在中，，，所以，在中，，，所以，所以与平面所成角的正弦值为.故选：B.6.已知点是抛物线上的动点，焦点为F，点，则的最小值为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】由抛物线的定义转化后，当三点共线时取得最小值.【详解】∵，则，∴焦点，准线l方程，点在抛物线上方，设过A作l的垂线，垂足为E，∴由抛物线的定义知，，如图所示，∴，当且仅当B、A、E三点共线时取等号，当B、A、E三点共线时，，故的最小值为，故选：C.7.名医生和名护士被分配到所学校为学生体检，每校分配名医生和名护士，不同的分配方法共有A.种 B.种 C.种 D.种【答案】D【解析】【详解】分两个步骤：先分配医生有种方法，再分配护士有，由分步计数原理可得：，应选答案：D．【点睛】本题中旨在考查排列数组合数及两个计数原理的综合运用．解答本题的关键是先分步骤分别考虑医生、护士的分配，再运用分步计数原理进行计算．但在第二个步骤中的分配护士时，可能会因为忽视平均分配的问题而忘记除以而致错，解答这类平均分组时，应引起足够的注意．8.设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使得，其中为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，得，取中点，可得，利用双曲线的定义结合勾股定理解出该双曲线的离心率．【详解】由，得，取中点，则，，所以，设，则，且，因此，解得．故选：D．二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.已知双曲线，则（

）A.双曲线的离心率为B.双曲线的焦点到渐近线的距离为C.双曲线的渐近线方程D.双曲线左支上的点到右焦点的最短距离为【答案】ABC【解析】【分析】根据双曲线的基本几何量运算即可.【详解】解：双曲线中，，所以，则所以双曲线的离心率为，故A正确；双曲线的焦点为到渐近线的距离为，故B正确，C正确；双曲线左支上的点到右焦点的距离为，故最短距离为，故D不正确.故选：ABC.10.已知点为圆锥曲线的焦点，则的方程可能为（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】分别计算四个选项中圆锥曲线的焦点，即可得正确选项.【详解】对于选项A：中，，所以，可得焦点坐标为，故选项A不正确；对于选项B：由可得，所以，所以，可得焦点坐标为，故选项B正确；对于选项C：，因为，所以，所以原方程可化为表示焦点在轴上的双曲线，由，，所以，所以焦点坐标为，所以为圆锥曲线的焦点，故选项C正确；对于选项D：中，因为，所以，原方程可化为：，当即时，表示圆，没有焦点当即时，表示焦点在轴上的椭圆，，，，焦点为，不符合题意，当即时，表示焦点在轴上的椭圆，，，，焦点为，不符合题意，故选项D不正确；故选：BC.11.已知圆C的方程为，直线的方程为，下列选项正确的是（）A.直线恒过定点B.直线与圆相交C.直线被圆所截最短弦长为D.存在一个实数，使直线经过圆心【答案】ABC【解析】【分析】化简直线的方程为，结合方程组的解，可判定A正确；求得圆心到定点的距离，得到点在圆内，进而得到直线与圆相交，可判定B正确；根据圆的性质，得到当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，求得最短弦长，可判定C正确；将圆心坐标代入直线的方程，可判定D不正确.【详解】对于A项：由直线的方程，可化为，联立方程组，解得，即直线恒经过定点，所以A正确；对于B项：由圆的方程，可得圆心，半径，又由，可得在圆内，所以直线与圆相交，所以B正确；对于C项：由，根据圆的性质，可得当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为，所以C正确；对于D项：将圆心代入直线的方程，可得，所以不存在一个实数，使得直线过圆心，所以D不正确.故选：ABC.12.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且的面积为.双曲线和椭圆焦点相同，且双曲线的离心率为，是椭圆与双曲线的一个公共点，若，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】设双曲线的标准方程为，半焦距为，由的面积为，可得，可求得，设，利用定义可得，，则，在中，由余弦定理可得，代入化简，利用离心率公式可求出【详解】解：设双曲线的标准方程为，半焦距为，因为椭圆的上顶点为，且的面积为。所以，解得，所以，所以，不妨设点在第一象限，设，则，所以，在中，由余弦定理可得，所以，即，两边同除以，得，解得，所以，，，，故选：AC【点睛】关键点点睛：此题考查了椭圆与双曲线的定义及性质、余弦定理，解题的关键是设，则，得，在由余弦定理可得，从而得，进而可求出，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上．）13.某校举办元旦晚会，有3个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有______种排法（数字作答）【答案】1440【解析】【分析】利用特殊元素优先排列进行求解即可．【详解】第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有种排法；第二步：剩下的3个语言类节目和2个歌唱节目共5个节目全排列有种排法，共种排法.故答案为：1440.14.焦点在x轴上的椭圆焦距为6，两个焦点为，，弦AB过点，则的周长为______．【答案】【解析】【分析】根据椭圆的方程和焦距求得a，再由的周长为4a求解.【详解】解：焦点在x轴上的椭圆焦距为6，所以，解得，所以，则，所以的周长为，故答案为：15.斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．【答案】【解析】【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，解法一：解得所以解法二：设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.故答案为：【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.16.数学家华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如：与相关的代数问题可以考虑转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间距离的几何问题.结合上述观点，可得方程||=4的解为_____.【答案】x=±【解析】【分析】把已知式变形为||=4.其几何意义是动点(x，2)到定点(4，0)和(4，0)的距离之差的绝对值为4，求出到定点(4，0)和(4，0)的距离之差的绝对值为4动点轨迹双曲线的标准方程，然后由是双曲线的上点可得原方程的解．【详解】||=4，即||=4.其几何意义是动点(x，2)到定点(4，0)和(4，0)的距离之差的绝对值为4，满足动点(x，y)到定点(4，0)和(4，0)的距离之差的绝对值为4的曲线为双曲线，∴2a=4，a=2，c=4，b2=12，∴双曲线的标准方程为=1.∵点(x，2)在该双曲线上，∴=1，解得x=±.故答案为：x=±．【点睛】本题考查双曲线的定义，考查平方和的几何意义，用几何意义解方程，能避免繁琐的计算过程．四、解答题：（满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置．）17.已知二项式展开式中，前三项的二项式系数和是56．求：（1）求的值；（2）展开式中的常数项．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解方程即可求得的值；（2）先求出二项式展开式的通项，令的指数位置为即可求得的值，进而可得常数项.【详解】（1）因为前三项的二项式系数和是56，所以，即，整理可得：，解得：，（2）展开式的通项为，令可得：，所以展开式中常数项为.18.已知曲线上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等.（1）求曲线的方程；（2）若曲线上有两个定点，分别在其对称轴的上、下两侧，且，求原点到直线的距离.【答案】（1）y2=4x；（2）【解析】【分析】（1）由题得曲线的轨迹是以为焦点的抛物线，且，故曲线的方程为；（2）由抛物线的焦半径公式得，，进而得的方程为，再根据点到直线的距离求解即可得答案.【详解】（1）∵曲线上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等，∴曲线的轨迹是以为焦点的抛物线，且，∴曲线的方程为.（2）由抛物线的定义结合可得，到准线的距离为，即的横坐标为，代入抛物线方程可得，即，同理，由可得，故直线的斜率，故的方程为，即，由点到直线距离公式可得，原点到直线的距离为.【点睛】本题考查抛物线的定义，焦半径公式，考查运算能力，是基础题.本题解题的关键是根据抛物线的定义掌握焦半径公式，进而根据其求解的坐标.19.已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球．（1）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？（2）在（1）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？【答案】（1）186（2）4320【解析】【分析】（1）设出取到白球和红球的个数，根据两个未知数的和是5，列出方程，根据分数不少于7，列出不等式，根据这是两个整数，列举出结果．（2）总分为8分，则抽取的个数为红球3个，白球2个，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻，分两步，第一步先取球，第二步，再排，根据分步计数原理可得．【小问1详解】设x个红球y个白球，，因为，所以或或．∴符合题意的取法种数有种．【小问2详解】总分为8分，则抽取的个数为红球3个，白球2个，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻，第一步先取球，共有种，第二步，再排，先把两个白球全排列，再选2个红球捆绑在一起，和另外一个红球插空，共有，根据分步计数原理可得，种．20.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．（1）求；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用求得.（2）利用向量法求得二面角的余弦值.【小问1详解】平面，平面，所以，四边形为矩形，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、、，则，，，则，解得，故；【小问2详解】设平面的法向量为，则，，由，取，可得，设平面的法向量为，，，由，取，可得，设二面角的平面角为，则，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.21.已知双曲线C的渐近线为，且过点．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根据渐近线方程可设双曲线方程为，代入可求得，整理可得结果；（2）联立直线与双曲线的方程，设，，故可得，，利用列等式可求得，然后利用弦长公式求即可【小问1详解】由双曲线渐近线方程为，可设双曲线方程为：，又双曲线过点，双曲线的方程为：【小问2详解】设，，联立，化为．∵直线与双曲线C相交于A，B两点，∴，化为．∴，（*）∵，∴．∴，又，，∴，把（*）代入上式得，化为．满足．∴．由弦长公式可得22.过椭圆右焦点F的直线l交C于两点，，且A不在x轴上．（1）求的最大值；（2）若，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，设出直线AB的方程，与椭圆方