2022年山东省济南市高考数学模拟试卷（3月份）（学生版+解析版）

2022年山东省济南市高考数学模拟试卷（3月份）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（5分）己知全集U={x|x>0},集合4={x|x（x-l）<0}（/A=（）

A.{x|x>l,或x<0}B.或xWO}C.{x|x>1}D.{Rx》l}

2.（5分）已知复数z满足z（1+i）=-i（其中i为虚数单位），则z的模为（）

A.AB.近C.V2D.2

22

3.（5分）某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种

树苗共计1200棵，比例如图所示.高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别为600,

200,若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配（）

,垂柳17分、

I海桐35%\

人［银杏23%

\/侧伯25G

A.34Ek46C.50D.70

卷）=冬，则sin2a的值为（）

4.（5分）已知sin（a+

1cD

A.AE-4-4-4

2

5.（5分）函数/（x）=x-sinx的部分图象大致为（）

k

A.才JZ

B.7T

¥

6.（5分）我们通常所说的ABO血型系统是由A,B,。三个等位基因决定的，每个人的基

因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，其中44,A0为A型血，B0为B

型血，AB为48型血，AB,则孩子的基因型等可能的出现AA,A0,30四种结果.已

知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，则小明是A型血的概率为（）

A.-LB.AC.AD.-1

16842

7.（5分）“a>b"的一个充分条件是（）

A.eab>2B.1哈>0C.a0>bbD..1<A

ab

8.（5分）已知直线区-y+2攵=0与直线x+6-2=0相交于点尸，点A（4,0）,O为坐标

原点（）

A.2-V3B.近C.1D.V3

3

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.（5分）（x3）6的展开式中，下列结论正确的是（）

A.展开式共6项

B.常数项为64

C.所有项的系数之和为729

D.所有项的二项式系数之和为64

（多选）10.（5分）在棱长为1的正方体ABC。-AIBICIDI中，O为正方形AiSCiDi的中

心，则下列结论正确的是（）

A.BOVAC

B.30〃平面ACQ1

C.点8到平面ACC1的距离为亚

3

D.直线8。与直线AOi的夹角为工

3

（多选）11.（5分）已知函数f（x）=|sinx|+cosx,下列结论正确的是（）

A.f3为偶函数

B.f（x）的值域为［-1,V2］

C.f（x）在［0,可上单调递减

D.f（x）的图象关于直线乂上对称

4

（多选）12.（5分）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是

1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy中，

M（-2,0）,N（2,0）,动点P满足|PM|・|PM=5（）

A.曲线C与y轴的交点为（0,-1）,（0,1）

B.曲线C关于x轴对称

C.面积的最大值为2

D.|OP|的取值范围是［1,3）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2（）分。

13.（5分）已知向量a，b满足a=（2,1）,a~b=（1，0）,则a*b的值为.

14.（5分）已知圆锥的轴截面是一个顶角为空■，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体

3

积为.

22

15.（5分）已知椭圆Ci：二工=1的焦点分别为Fi,Fi,且尸2是抛物线C2：b=2*

36b2

（p>0）的焦点，若P是C1与C2的交点，且『尸11=7,则COS/PF1F2的值为.

2

16.（5分）已知函数f（X）n（3二工）（耳士、13」公士旦对任意非零实数X,均满足了

X

（X）=f（［）（-1）的值为；函数f（X）的最小值为.

X

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知S是数列｛“”｝的前〃项和，品=〃2.

（1）求数列｛“”｝的通项公式;

(2)求数列［————｝的前〃项和Tn.

an■an4-l

18.(12分)已知△A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足=

(1)求B；

(2)若。为边AC的中点，且BD=HC=4

19.(12分)如图，矩形ABC。中，AB=2,将△AC。沿4c折起，使得点。到达点P的位

置百.

(1)证明：平面出B_L平面ABC；

(2)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值.

20.(12分)第56届世界乒乓球锦标赛将于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起

热潮.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每赢一球得1分.

(1)已知某局比赛中双方比分为8：8,此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次反，

5

乙发球时乙得分的概率为工，各球的结果相互独立，该局比赛结束，求该局比赛甲以11：

2

9获胜的概率；

(2)已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中2,乙获胜的概率为工，且每局

33

比赛的结果相互独立.两人又进行了X局后比赛结束

21.(12分)在平面直角坐标系'中，双曲线C：=1(a>0,b>0)近,实轴

azbz

长为4.

(1)求C的方程；

(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线/过点P(0,/)(户位于原点与上顶点之间)，

过P的直线交C于G,H两点，AH分别与/交于M,N两点，A,N,M四点共圆，求

点尸的坐标.

/

22.(12分)设函数/(x)^ae2x-2^+2.

(1)若f(x)有两个不同的零点，求实数,7的取值范围；

(2)若函数g(x)=~^4口+(a-2)e,-有两个极值点xi,xi,证明：

g(x?)-g(Xi)、1

--------------------—>2—•

x2-xla

2022年山东省济南市高考数学模拟试卷(3月份)

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.(5分)已知全集U={x|x>0},集合A={#v(x-1)V0}M4=()

A.{x\x>1,或xV0}B.{x\x^1,或xWO}C.[x\x>1}D.{x\x^1}

【解答】解：,••全集U={x|x>0},

集合A={x|x(x-1)<4}={x[0<x<l},

CuA={x|x22}.

故选：D.

2.(5分)已知复数z满足z(1+i)=-i(其中i为虚数单位)，则z的模为()

A.AB.叵C.料D.2

22

【解答】解：：Z(1+z)=-i,

.・._-i=-i(7-i)=5_1.,

•,z=l+i(l+i)(l-i)方亍，

lz|dT)+(卷)6=冬

故选：B.

3.(5分)某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种

树苗共计1200棵，比例如图所示.高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别为600,

200,若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配()

【解答】解：高三年级应分得侧柏的数量为1200X25%义——”——=50,

200+400+600

故选：c.

4.（5分）已知sin（CL玲）=岑"，则sin2a的值为（）

A.AB.」C.近D.

2222

【解答】解：因为sin（a4）=冬，

所以qWsina+Y^Z^.,可得sina+cosa=-义£可得7+2sinacosa=l+sin3a=旦,

22622

所以sin2a=工.

2

故选：A.

5.(5分)函数f(x)=x-sinx的部分图象大致为()

【解答】解：f(x)—x-sinx的定义域为R,/(-%)—-x-sin(-x)=-x+sin%=-

/(x),

可得/(x)为奇函数，其图象关于原点对称；

又/(x)=x-siar的导数为，(%)—1-cosx>O,可得/(x)递增，

所以/(x)的零点只有一个，为2；

当Xf+8时，f(x)-4-0°;

故选：B.

6.(5分)我们通常所说的A3。血型系统是由A,B,。三个等位基因决定的，每个人的基

因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，其中44,A0为4型血，B0为B

型血，A8为48型血，AB,则孩子的基因型等可能的出现44,A0,8。四种结果.已

知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，则小明是A型血的概率为()

A.-LB.Ac.AD.A

16842

【解答】解：根据爷爷、奶奶的血型可知小明父亲血型可能是A、BA,

结合母亲血型AB可计算小明是A型血的概率JLX（A+1+H.

42744

故选：C.

7.（5分）“a>b”的一个充分条件是（）

A.ea'b>2B.1味>0C.aa>bbD.—<^

【解答】解：根据e"">2>1得。-b>4得。>/?,所以A对；

由ln—>O=lnl得且，当a=6>b=2满足In—,当a=-4<h=-4时也满足In—,不

bbbb

满足题意；

因为4=2>Z?=1满足4，>卢，4=-也满足或，不满足题意，所以。错;

3

因为〃=6>匕=1满足工<2,〃=-2Vb=l也满足性V工，所以。错.

abab

故选：A.

8.（5分）已知直线h-y+2Z=0与直线x+h，-2=0相交于点P,点4（4,0）,。为坐标

原点（）

A.2-V3B.返C.1D.V3

3

【解答】解：由"->2%=0与直线x+h-7=0,消去/得点P的轨迹方程为了+心=4,

设过A与7+）7=4相交时的直线斜率为h则直线方程为y=Z（x+4）,

；._L3k1―W6返■4W2ZL,

后33

又tan/OAP=-k,：.tanZOAP的最大值为限,

2

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.（5分）x3）6的展开式中,F列结论正确的是（)

A.展开式共6项

B.常数项为64

C.所有项的系数之和为729

D.所有项的二项式系数之和为64

【解答】解：选项A：因为〃=6,所以展开式共有7项，

选项B：展开式的常数项为弓x3（&）3=20X8=160,

7x

选项C：令x=4,则所有项的系数和为（1+2）4=729,故C正确，

选项£>：所有项的二项式系数和为26=64,故。正确，

故选：CD.

（多选）10.（5分）在棱长为1的正方体ABC。-AIBICIDI中，。为正方形43C1D1的中

心，则下列结论正确的是（）

A.BOLAC

B.B。〃平面AC。

C.点B到平面AC）的距离为近

3

D.直线30与直线AQ1的夹角为三

3

【解答】解：如图，连接AlCi,BiD\,则4C6nBiQi=0,

连接交AC于G5G,贝I8G〃OOi,且贝UBG=O。，

可得四边形BOD2G为平行四边形，则BO//D\G,

'：AD\=CD3,G为AC的中点，：.D\G±AC,可得BOL4C；

由上可知，BO//D\G,Z）2Gu平面ACDi,BOC平面ACD1,

〃平面ACO3,故8正确；

；£>G=BG,.•.点81的距离相等,

%.《'恭1'1'64，SAADeC4xWxV2X^-=^-，

设。到平面AC"的距离为/7,则■当得，得/7=冬

直线直线8。与直线AZ>3的夹角等于NA[G/L，故。错误•

16

(多选)11.(5分)已知函数f(x)=|siiu|+cosx,下列结论正确的是()

A./(x)为偶函数

B./(%)的值域为[-1,、历]

C.f(X)在[0,7T]上单调递减

D./(x)的图象关于直线对称

4

【解答】解：根据函数的关系式/(尤)=|sinx|+cosx,

对于A：故f(-x)=f(x)故函数为偶函数，故A正确；

对于3：由于函数的最小正周期为2m故当X=TT时，当》=三时曲，故函数的值域为

4

[-1,扬；

对于C：当x=5时，/(0)=13_时，故函数不单调；

24

对于。：当x=?L时，/(2LV6.取得最大值工对称；

444

故选：ABD.

(多选)12.(5分)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是

1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.己知在平面直角坐标系xOy中，

M(-2,0),N(2,0),动点P满足1PM」尸2=5()

A.曲线C与y轴的交点为(0,-1),(0,1)

B.曲线C关于x轴对称

C.△PMN面积的最大值为2

D.|。尸|的取值范围是[1,3]

【解答】解：设点尸(x,y),[(x+2)2+/][(x-2)2+y3]=25,

22

x+y=716x^+25-4­

对于A,当x=0时，即曲线C与y轴的交点为(3,(0,A正确；

对于8,因x2+(-y)7=x2+y2=而蠢益_4,由换>方程不变，B正确；

,C

对于C,当x2=|■时，y2m即点p(邛SAPMN^|-IMNIX^y-=V6

不正确；

对于。，由y2=y]6*，+25-4-x2》6得:X，--9W0,解得

于是得|0P|6=x?+y2W16x6+25-46[1,6]解得1W|OP|W3・

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)已知向量a,b满足a=(2,1),a-b—(1>0)>则a*b的值为3.

【解答】解：向量a，b满足a,I),a_b>0),

可得E=(2,

所以a*b=2+l=7.

故答案为：3.

14.(5分)已知圆锥的轴截面是一个顶角为空，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体

3

积为TT.

【解答】解：圆锥的轴截面是一个顶角为"，腰长为7的等腰三角形圆锥的高为：

3

1,

圆锥的体积为：—xKX(V3)5X1=冗・

3

故答案为：TI.

22

15.(5分)已知椭圆Ci：=+^=1的焦点分别为尸1,尸2,且尸2是抛物线C2：y2=2px

36b2

(p>0)的焦点，若尸是Ci与C2的交点，且|PFi|=7,则COS/PFIF2的值为_2_.

~7~

【解答】解：依题意，由椭圆定义得|PFI|+|PF2|=12,而附5|=7,则|尸尸2|=4,

因为点尸2是抛物线C2：y4=2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线过点尸4,如图，

过点P作PQJJ于点。，由抛物线定义知|PQ|=|PF2|=5,而FsF2//PQ,

则/PFIF4=/FIP。，所以cos/PQF5=sin/FiP2=」^QX-=&,

「|PF1I7

故答案为：

3

2

16.（5分）已知函数f（x）=（2;D（2尹！g（±土2」也）一,对任意非零实数x,均满足一

X

（X）=f（［）（-1）的值为0；函数/（X）的最小值为_3旧-5°

x8

【解答】解：因为/（X）=/（-▲）,

X

所以/（-1）=/（-且）=/（1）=0,

-1

(X)二(乂-5)(2x+l)(x7+ax+b)

（《⑴仔布勺小

『（」

x5

x

_(-x-1)(x-3)(bx2-ax+l)

----------------------,

x3

所以(xT)(2x+6)(J+ax+b)=(-x-8)(x-2)(bJ-ax+3)

x22~x

所以2X8+(,2a-1)x2+{2b-a-1)x5-(a+b)x-b=-bx4+(a+b)x3+(6Z?2-a-i)

金+(1-2。)x+5,

所以-b=2且2a-2=a+b,

所以h=-2,a=-

所以7(%)=(x-4)(2x+l)(x)-x-2)=2)4-347-4，+2乂+2

_(7X3-9X7-8X+3)X8-2X(2X8-3X3-4X2+3X+2)3_4

-------------------------------------------------------------------------------------------------H-X-乙-----------------，

423

XXX

所以/（X）在（-8,0）,+8）上单调递增,

令，(x)=5,得x=3士后,

_8

又f(2W73_)=于(._8心_)(7+尼)

=f

88-V73V73-38

所以―呼二中,

故答案为：5,3尺TO

8

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.(10分)已知S是数列｛板｝的前〃项和，Sn=n.

(1)求数列｛板｝的通项公式；

(2)求数列f——I——｝的前〃项和%.

an■an4-l

【解答】解：(1)二,、〃是数列｛〃〃｝的前〃项和，S〃=〃2,①

.*.Si=72=ai,

Sn-2=(n-1)2,②

①-②得：-1,(〃22),

44=1也成立，

:・。〃=2〃-7,

(2)•/]=________8________=_1_(]_]),

an*anM(2n-l)•(4n+l)22n-22n+7

数列r一I一]的前〃项和T；,-!(1-1+1-14-_§_)=81)=

an*anM23252n-l2n+l22n+l

2n+5

18.（12分）已知△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,满足戾inA=J§

（1）求8；

（2）若。为边AC的中点，且BD=Ji，c=4

【解答】解：（1）因为AinA=Facos8,

所以由正弦定理可得sinBsinA=-/SsinAcosB,

又sinAW7,

可得sinB=

因为Be(7,it),

所以8=匹.

3

(2)延长BO到点M,使BD=DM,

在△A8M中，AB=4,8M

7

由余弦定理，可得8M2=A82+AA/5-2AB・4M・COS"L,B|Ja2+4a-12=6,解得。=2,

2

所以a=2.

19.(12分)如图，矩形ABC。中，AB=2,将△AC。沿AC折起，使得点O到达点尸的位

置百.

(1)证明：平面以平面ABC；

(2)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值.

【解答】解：(1)证明：：BC=1,PC=2a,贝ljBtW+PBZnPC8,

J.BCLPB,又BCLAB,PB,

平面PAB,

而BCu平面ABC,二平面ABC_L平面PAB.

(2)在平面以8内过2作PO_L4B于点0,连接C。,

由（1）知，平面A8C_L平面胆B,

则P。，平面ABC,：.ZPCO是直线PC与平面ABC所成角,

在△HB中，PA2+PB2=1=AB2,则NAPB=90°,PO=PA"、B=返,

AB3

在Rt/XPOC中，/^?=2电=退_,

PC6

二直线PC与平面ABC所成角的正弦值近.

4

20.（12分）第56届世界乒乓球锦标赛将于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起

热潮.现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每赢一球得1分.

（1）已知某局比赛中双方比分为8：8,此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次3,

5

乙发球时乙得分的概率为工，各球的结果相互独立，该局比赛结束，求该局比赛甲以11：

2

9获胜的概率;

（2）已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中2,乙获胜的概率为工，且每局

33

比赛的结果相互独立.两人又进行了X局后比赛结束

【解答】解：（1）在比分为8：8后甲先发球的情况下，甲以11：2赢下此局分两种情况:

①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为3x^x工

556250

②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为2x工

555250

③后四球胜方依次为甲甲乙甲，概率为3x2x^x13

5542100

故所求事件概率为止-总卡221

5050100100

（2）由题意可得，X所有可能取值为2,3,7,5,

(X=2)=42工

329

=CXX

P(X=6)2><ff28

327

P(X=4)=c3xl4xixHxixixi=f,

(X=5)C2X6x3x3X5-81

故X的分布列为:

故E(x)=2X4+3X焉+3X^+5XAT^.

227818181

21.(12分)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：/_£_=1(a>0,b>0)近,实轴

bz

长为4.

(1)求C的方程；

(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线/过点尸(0,f)(P位于原点与上顶点之间)，

过尸的直线交C于G,H两点，AH分别与/交于M,N两点，A,N,M四点共圆，求

点P的坐标.

【解答】解:(1)因为实轴长为4,即2a=8,

又£=^历，所以c=W^,b2=c2-a3=4'

a

22

故C的方程为匚——=7；

84

(2)由O,A,N,M四点共圆可知，

又/MOP+/AOM=n,即/ANM=/MOP,

^tanZANM=tanZMOP=taJOHp'

EP-k>T=一~--，所以依Nkow=6,

颂A心

设G(xi,yi),H(X4,”)，M(xw,丁加，

+2y+4

由题意可知A(0,-4)AG：y=——x-2，直线AH：y=—9—x-2.

x7x2

因为M在直线4,所以),M=f,代入直线AG方程

My7+2

一(t+2)Xct(y7+2)

故M坐标为(--------t)，所以k

Yi+2OM-(t+2)X5

y+2

又kAN=kAH=2

x7

t(yi+8)y+2

由kAN•kOM=1,则---上-------q---=g,

(t+2)X1X2

.n(y+8)(y+2)

整理可得+隹_=_1I一：__29——,

tx7x2

当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意,

故设直线G”：y=kx+t,代入双曲线方程：*_\=5中

-t4-4

可得(正-1)什a-6=0,所以X1+x2kt

7=E'X1X2V^

又(yi+2)(*+2)=(Hi+r+7)(kxi+t+2)

t‘-4,c、~2kt/c、8-(t+2)2

8++22z

kxjx2k(t+2)(X|+x2)(t+5)=kF—+k(t+2)—+(t+2)°=-p-----

k-5k-1k-1

—(t+3)乙

2

g“t+2卬5+2)62+3)k-3-(t+2)