安徽省芜湖市2022-2023学年高一上学期期末教学质量统测数学试题（含答案详解）

2022-2023学年度第一学期芜湖市中学教学质量统测高一年级数学试题卷注意事项：1．本试卷满分为100分，考试时间为120分钟.2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页，“答题卷”共6页.3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的.4．考试结束后，请将“答题卷”交回.一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集，可得答案.【详解】由题意，SKIPIF1<0.故选：A.2.不等式SKIPIF1<0的解集是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；【详解】由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即原不等式的解集为SKIPIF1<0；故选：B.3.SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】由诱导公式化简后得结论．【详解】SKIPIF1<0．故选：C．4.已知命题SKIPIF1<0，则命题SKIPIF1<0为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】给定命题是全称量词命题，由全称量词命题的否定的意义即可得解.【详解】因SKIPIF1<0是全称量词命题，则命题SKIPIF1<0为存在量词命题，由全称量词命题的否定意义得，命题SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.故选：C5.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列不等式成立是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质可判断A，取特值可判断B，C，D.【详解】对于A，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正确；对于B，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B正确；对于C，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故C不正确；对于D，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故D不正确.故选：A.6.折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则扇面（曲边四边形SKIPIF1<0）的面积是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】由扇形面积公式计算（大扇形面积减去小扇形面积）．【详解】由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，扇面面积为SKIPIF1<0故选：B．7.下列说法正确的是（）A.“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的既不充分也不必要条件B.“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要条件C.若SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分条件D.在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为锐角，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0是钝角三角形”的充要条件【答案】D【解析】【分析】利用充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件定义进行逐项判定.【详解】对于A，因为SKIPIF1<0能够得到SKIPIF1<0，反之不成立，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分条件，A错误；对于B，因为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分条件，B错误；对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，无法得出SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，C错误；对于D，因为角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为锐角，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是钝角三角形；反之依然成立，D正确.故选：D.8.已知实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】利用作差法，结合对数的运算，以及对数函数的性质，可得答案.【详解】SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；综上，SKIPIF1<0.故选：A.二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下图为幂函数SKIPIF1<0的大致图象，则SKIPIF1<0的解析式可能为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】AC【解析】【分析】根据奇函数的性质，以及幂函数的性质，可得答案.【详解】对于A、C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然为奇函数，且指数在0到1之间，在第一象限是越增越慢的，故A、C正确；对于B、D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然为偶函数，故B、D错误.故选：AC.10.下列说法中正确的是（）A.SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增B.SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象相同C.不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0的图象对称中心为SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】【分析】根据正弦函数的性质可判断A，根据诱导公式及余弦函数的性质可判断B，根据辅助角公式及正弦函数的图象函数性质可判断C，根据正切函数的性质可判断D.【详解】对于A：因为SKIPIF1<0的单调增区间为SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故A正确；对于B：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象相同，故B正确；对于C：由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以不等式的解集为SKIPIF1<0，故C正确；对于D：对于函数SKIPIF1<0的图象对称中心为SKIPIF1<0，故D错误.故选：ABC.11.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列选项一定正确的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用等量代换整理函数解析式，利用二次函数的性质，可得答案；对于B，利用基本不等式，可得答案；对于C，利用反例，可得答案；对于D，利用等量代换整理函数解析式，利用导数研究其最值，可得答案.【详解】对于A，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A正确；对于B，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，故B正确；对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故C错误；对于D，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0，故D正确；故选：ABD.12.已知函数SKIPIF1<0图象关于SKIPIF1<0轴对称，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0．若不等式SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的取值可以为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】BC【解析】【分析】由题可得SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称，且在SKIPIF1<0上单调递增，进而将不等式转化为SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0恒成立，然后利用换元法结合二次函数的性质可得SKIPIF1<0的取值范围，即得.【详解】因函数SKIPIF1<0图象关于SKIPIF1<0轴对称，所以SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0对称，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，因为不等式SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0恒成立，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以BC正确，AD错误.故选；BC.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有最值，则（1）恒成立：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；（2）能成立：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.若能分离常数，即将问题转化为：SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），则（1）恒成立：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；（2）能成立：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.三、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）13.已知SKIPIF1<0为第三象限角，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根据同角三角函数商式关系以及平方和关系，可得答案.【详解】由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为第三象限角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.14.函数SKIPIF1<0为偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】由偶函数的定义求解．【详解】SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是偶函数，∴SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．15.科学家通过生物标本中某种放射性元素的存量来估算该生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为1620年（即：每经过1620年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该元素的初始存量为SKIPIF1<0，经检测生物中该元素现在的存量为SKIPIF1<0，（参考数据：SKIPIF1<0）请推算该生物距今大约___________年．【答案】3780【解析】【分析】由指数函数模型求解．【详解】设放射性元素的存量模型为SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设题中所求时间为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：3780.16.定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的所有零点之和为___________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】画出函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象，根据对称性以及对数函数的运算得出零点之和.【详解】令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0的零点就是函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象交点的横坐标，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上图象如图所示：设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象交点的横坐标分别为SKIPIF1<0，由对称性可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，结合奇偶性得出SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0四、解答题（本题共6小题，共44分）17.计算：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【答案】（1）4（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】根据对数运算与指数运算，可得答案.【小问1详解】原式SKIPIF1<0．【小问2详解】原式SKIPIF1<018.小明家院子中有块不规则空地，如图所示．小明测量并计算得出空地边缘曲线拟合函数SKIPIF1<0，小明的爸爸打算改造空地，用家中现有的8米长的栅栏如图围一面靠墙矩形空地SKIPIF1<0用来铺设草皮，请问小明的爸爸需要购买多少平方米的草皮才能铺满矩形草地？（不考虑材料的损耗）【答案】SKIPIF1<0.【解析】【分析】设SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，根据条件可得方程，然后结合条件即得.【详解】设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时矩形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，即小明的爸爸需要购买6平方米的草皮才能铺满矩形草地．19.已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）解分式不等式可得SKIPIF1<0集合，后根据并集的定义运算即可；（2）由题可得SKIPIF1<0，然后分类讨论，结合子集的定义即得.【小问1详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0；【小问2详解】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，符合SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不符合SKIPIF1<0，舍去；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；综上，实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.20.已知函数SKIPIF1<0．（1）判断函数奇偶性并证明；（2）设函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象没有公共点，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）偶函数，证明见解析（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，可得答案；（2）根据函数与方程的关系，利用二次函数的性质，可得答案.【小问1详解】函数定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是偶函数.【小问2详解】等价于方程SKIPIF1<0没有实数根．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0没有大于SKIPIF1<0的根，令SKIPIF1<0．①SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0符合；②SKIPIF1<0时，对称轴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，无正根符合；③SKIPIF1<0时，对称轴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有一根大于SKIPIF1<0，不符合．综上，SKIPIF1<0．21.三角函数变形化简中常用“切割化弦”的技巧．其中“弦”指正弦函数与余弦函数，“切”指正切函数与余切函数，“割”指正割函数与余割函数．设SKIPIF1<0是一个任意角，如图所示它的终边上任意一点SKIPIF1<0（不与原点重合）的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与原点SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的正割函数定义为SKIPIF1<0．（1）已知函数SKIPIF1<0，写出SKIPIF1<0的定义域和单调区间；（2）方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所有根的和为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）详见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）利用正割函数的定义可得函数的定义域及函数的单调区间；或使用转化思想，将对正割函数的研究转化为已学的余弦函数，进而即得；（2）根据函数的奇偶性可得SKIPIF1<0，进而即得.【小问1详解】解法一：根据正割函数定义，SKIPIF1<0是一个任意角，它的终边上任意一点SKIPIF1<0（不与原点重合）的坐标为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，因此角的终边不能落在SKIPIF1<0轴上，结合终边相同的角的表示，正割函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是该函数的一个周期．SKIPIF1<0为大于0的定值，当SKIPIF1<0时，此时SKIPIF1<0越大即弧度制下的角越大，因此角终边上的点的横坐标越小，SKIPIF1<0与横坐标的比值就越大，所以SKIPIF1<0为函数的一个单调增区间，结合该函数的周期，SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的单调增区间，同理SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的单调增区间，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的单调减区间；解法二：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0和SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0的单调增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0和SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0的单调减区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；【小问2详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故两函数均为偶函数，所以它们函数图象的交点关于SKIPIF1<0轴对称，因此方程SKIPIF1<0的根的和为0，也即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．22.已知函数SKIPIF1<0，在区间SKIPIF1<0