云南省昆明市师大附中2024届高三5月质量检测试题（A卷）数学试题文试题

云南省昆明市师大附中2024届高三5月质量检测试题（A卷）数学试题文试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c2．已知函数若函数在上零点最多，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）A．1 B．2 C． D．46．在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0上存在点P，使得|PA|=2|PB|，则正实数m的最小值是()A． B．3 C． D．7．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．8．设全集集合，则（）A． B． C． D．9．已知集合，则集合的非空子集个数是（）A．2 B．3 C．7 D．810．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（）A．4π B．8π C． D．11．函数的定义域为，集合，则（）A． B． C． D．12．点是单位圆上不同的三点，线段与线段交于圆内一点M，若，则的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．14．已知全集，集合则_____．15．已知△的三个内角为，，，且，，成等差数列，则的最小值为__________，最大值为___________.16．已知集合，若，且，则实数所有的可能取值构成的集合是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知在等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前项的和.18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．19．（12分）据《人民网》报道，美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.据统计，中国新增绿化面积的来自于植树造林，下表是中国十个地区在去年植树造林的相关数据.（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷地区造林总面积造林方式人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北5833613456253333313507656533643河南14900297647134292241715376133重庆2263331006006240063333陕西297642184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（1）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（2）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区新封山育林面积占造林总面积的比值超过的概率；（3）在这十个地区中，从退化林修复面积超过一万公顷的地区中，任选两个地区，记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X的分布列及数学期望.20．（12分）定义：若数列满足所有的项均由构成且其中有个，有个，则称为“﹣数列”．（1）为“﹣数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种？（2）为“﹣数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得且的概率为.21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．22．（10分）已知函数，.（1）证明：函数的极小值点为1；（2）若函数在有两个零点，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【题目详解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a．故选：A．【题目点拨】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2、D【解题分析】

将函数的零点个数问题转化为函数与直线的交点的个数问题，画出函数的图象，易知直线过定点，故与在时的图象必有两个交点，故只需与在时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解.【题目详解】由图知与有个公共点即可，即，当设切点，则，.故选：D.【题目点拨】本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.3、B【解题分析】

分别判断充分性和必要性得到答案.【题目详解】所以（逆否命题）必要性成立当，不充分故是必要不充分条件，答案选B【题目点拨】本题考查了充分必要条件，属于简单题.4、D【解题分析】

先将所求问题转化为对任意恒成立，即得图象恒在函数图象的上方，再利用数形结合即可解决.【题目详解】由得，由题意函数得图象恒在函数图象的上方，作出函数的图象如图所示过原点作函数的切线，设切点为，则，解得，所以切线斜率为，所以，解得.故选：D.【题目点拨】本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题.5、B【解题分析】

因为圆与抛物线的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于半径，可知的值为2，选B.【题目详解】请在此输入详解！6、D【解题分析】

设点，由，得关于的方程.由题意，该方程有解，则，求出正实数m的取值范围，即求正实数m的最小值.【题目详解】由题意，设点.，即，整理得，则，解得或..故选：.【题目点拨】本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题.7、C【解题分析】

利用图表中的数据进行分析即可求解.【题目详解】对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确.故选：C.【题目点拨】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.8、A【解题分析】

先求出，再与集合N求交集.【题目详解】由已知，，又，所以.故选：A.【题目点拨】本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.9、C【解题分析】

先确定集合中元素，可得非空子集个数．【题目详解】由题意，共3个元素，其子集个数为，非空子集有7个．故选：C．【题目点拨】本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有个元素的集合其子集个数为，非空子集有个．10、B【解题分析】

由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积.【题目详解】根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为2，侧棱长为2且与底面垂直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体对角线就是外接球直径，则，那么.故选：B【题目点拨】本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题.11、A【解题分析】

根据函数定义域得集合，解对数不等式得到集合，然后直接利用交集运算求解.【题目详解】解：由函数得，解得，即；又，解得，即，则.故选：A.【题目点拨】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.12、D【解题分析】

由题意得，再利用基本不等式即可求解．【题目详解】将平方得，（当且仅当时等号成立），，的最小值为，故选：D．【题目点拨】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由题意可知：，且，从而可得值．【题目详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：【题目点拨】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．14、【解题分析】

根据补集的定义求解即可.【题目详解】解：．故答案为．【题目点拨】本题主要考查了补集的运算,属于基础题.15、【解题分析】

根据正弦定理可得，利用余弦定理以及均值不等式，可得角的范围，然后构造函数，利用导数，研究函数性质，可得结果.【题目详解】由，，成等差数列所以所以又化简可得当且仅当时，取等号又，所以令，则当，即时，当，即时，则在递增，在递减所以由，所以所以的最小值为最大值为故答案为：，【题目点拨】本题考查等差数列、正弦定理、余弦定理，还考查了不等式、导数的综合应用，难点在于根据余弦定理以及不等式求出，考验分析能力以及逻辑思维能力，属难题.16、.【解题分析】

化简集合，由，以及，即可求出结论.【题目详解】集合，若，则的可能取值为，0，2，3，又因为，所以实数所有的可能取值构成的集合是.故答案为:.【题目点拨】本题考查集合与元素的关系，理解题意是解题的关键，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）由基本量法，求出公比后可得通项公式；（2）求出，用裂项相消法求和．【题目详解】解：（1）设等比数列的公比为又因为，所以解得（舍）或所以，即（2）据（1）求解知，，所以所以【题目点拨】本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和．解题方法是基本量法．基本量法是解决等差数列和等比数列的基本方法，务必掌握．18、（1）详见解析；（2）详见解析.【解题分析】

（1）利用平行四边形的方法，证明平面.（2）通过证明平面，由此证得.【题目详解】（1）设是中点，连接，由于是中点，所以且，而且，所以与平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）连接，由于直三棱柱中，而，，所以平面，所以，由于,所以.由于四边形是矩形且，所以四边形是正方形，所以,由于,所以平面，所以.【题目点拨】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19、（1）人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省；（2）；（3）分布列见详解，数学期望为【解题分析】

（1）通过数据的观察以及计算人工造林面积与造林总面积比值，可得结果.（2）通过数据的观察以及计算新封山育林面积与造林总面积比值，得出比值超过的地区个数，然后可得结果.（3）计算退化林修复面积超过一万公顷的地区中选两个地区总数，退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数为，列出所有取值并计算相应概率，然后可得结果.【题目详解】（1）人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省.（2）记事件A：在这十个地区中，任选一个地区，该地区新封山育林面积占总面积的比值超过根据数据可知：青海地区人工造林面积占总面积比超过，则（3）退化林修复面积超过一万公顷有6个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、新疆，其中退化林修复面积超过六万公顷有3个地区：内蒙、河北、重庆，所以X的取值为0，1，2所以，，随机变量X的分布列如下：【题目点拨】本题考查数据的处理以及离散型随机变量的分布列与数学期望，审清题意，细心计算，属基础题.20、（1）16；（2）115.【解题分析】

(1)易得使得的情况只有“”,“”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.(2)易得“”共有种,“”共有种.再根据古典概型的方法可知,利用组合数的计算公式可得,当时根据题意有,共个；当时求得,再根据换元根据整除的方法求解满足的正整数对即可.【题目详解】解：（1）三个数乘积为有两种情况：“”,“”,其中“”共有：种,“”共有：种,利用分类计数原理得：为“﹣数列”中的任意三项,则使得的取法有：种．（2）与(1)同理,“”共有种,“”共有种,而在“﹣数列”中任取三项共有种,根据古典概型有：,再根据组合数的计算公式能得到：,时,应满足,,共个,时,应满足,视为常数,可解得,,根据可知,,,,根据可知,,（否则）,下设,则由于为正整数知必为正整数,,,化简上式关系式可以知道：,均为偶数,设,则,由于中必存在偶数,只需中存在数为的倍数即可,,．检验：符合题意,共有个,综上所述