新教材适用2023-2024学年高中数学第4章对数运算与对数函数复习课课件北师大版必修第一册

第4课时

对数运算与对数函数知识网络要点梳理专题归纳·核心突破

知识网络

要点梳理1.对数是怎样定义的?提示:一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫作对数的底数,N叫作真数.2.对数有哪些基本性质?提示:(1)负数和零没有对数;(2)若a>0,且a≠1,则loga1=0,logaa=1;3.对数的运算性质有哪些?4.对数的换底公式是怎样的?5.对数运算的一般思路是什么?提示:对数运算的一般思路:(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.6.对数的图象与性质是怎样的?提示:对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质如下表:7.比较数的大小,常用方法有哪些?提示:(1)比较两数(式)或几个数(式)的大小常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较.(3)比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分为“小于0”“大于或等于0且小于或等于1”“大于1”三部分,再在各部分内利用函数的性质比较大小.8.指数函数与对数函数的性质有什么区别和联系?提示:指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数,它们的定义、图象、性质、运算既有区别又有联系.(1)指数函数y=ax(a>0,且a≠1),对数函数y=logax(a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质都与a的取值有密切的联系,a变化时,函数的图象和性质也随之改变.(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)恒过定点(0,1),对数函数y=logax(a>0,且a≠1,x>0)恒过定点(1,0).(3)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域是对数函数y=logax(a>0,且a≠1,x>0)的值域;指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的值域是对数函数y=logax(a>0,且a≠1,x>0)的定义域.(4)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)和对数函数y=logax(a>0,且a≠1,x>0)在a>1时都是增函数,在0<a<1时都是减函数.(5)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1,x>0)互为反函数,函数图象关于直线y=x对称.9.指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型,这三种函数模型的表达式及其增长特点是什么?提示:三种函数模型的表达式及其增长特点(1)指数函数模型:表达式为f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0),当b>1时,增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”;当0<b<1时,函数值由快到慢地减少.(2)对数函数模型:表达式为f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m>0),当a>1时,增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”;当0<a<1时,相应函数值逐渐减少,变化得越来越慢.(3)幂函数模型:表达式为f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1,α>0),其增长情况由a和α的取值确定,常见的有一元二次函数模型.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)log2x2=2log2x.(

×

)(7)函数y=log5(x+1)在区间(-1,+∞)上是增函数.(

√

)(8)对数函数的图象一定在y轴右侧.(

√

)(9)当0<a<1时,若x>1,则y=logax的函数值都大于零.(

×

)(10)y=x10比y=1.1x的增长速度更快些.(

×

)(11)对于任意的x>0,都有2x>log2x.(

√

)(12)对于任意的x,都有2x>x2.(

×

)专题归纳·核心突破专题整合高考体验专题一

对数的运算分析:利用对数的运算性质化简求值.对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价;其次要熟练地运用对数的三个运算性质,并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等.换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式,一定要掌握并灵活运用.专题二

对数函数的图象【例2】

如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是(

)

A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2}解析:借助函数的图象求解该不等式.令g(x)=y=log2(x+1),在同一平面直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象如图.即函数f(x)和g(x)的图象的公共点为(1,1).结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}.答案:C1.函数图象是高考考查的重点内容,在历年高考中都有涉及.考查形式有知式选图、知图造式、图象变换以及用图象解题.函数图象形象地显示了函数的性质,利用数形结合有时起到事半功倍的效果.2.研究对数型函数的图象时,一般从最基本的对数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a>1和0<a<1的两种不同情况.有些复杂的问题,借助于函数图象来解决,就变得简单了,这是数形结合思想的重要体现.【变式训练2】

若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是(

)解析:由题意得y=logax(a>0,且a≠1)的图象过(3,1)点,可解得a=3.选项B中,y=x3,由幂函数的图象可知正确;选项C中,y=(-x)3=-x3,显然图象不符;选项D中,y=log3(-x)的图象与y=log3x的图象关于y轴对称.显然不符.故选B.答案:B专题三

大小比较问题【例3】

(1)比较大小:log1.10.7,log1.20.7;(2)设a>0,且a≠1,若P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),比较P,Q的大小.解:(1)方法1:注意到两个对数的真数相同,可先比较log0.71.1与log0.71.2的大小.∵0<0.7<1,1.1<1.2,∴由对数函数的单调性,得log0.71.1>log0.71.2.又∵log0.71.1<0,log0.71.2<0,方法2:也可以利用对数函数的图象,当底数大于1时,底数越大,在直线x=1右侧图象越靠近x轴,由图(图略)可知log1.10.7<log1.20.7.(2)①当0<a<1时,由y=ax在区间(-∞,+∞)上为减函数知a3<a2,即a3+1<a2+1.又当0<a<1时,y=logax在区间(0,+∞)上为减函数,∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即P>Q.②当a>1时,有a3>a2,即a3+1>a2+1.又当a>1时,y=logax在区间(0,+∞)上为增函数,∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即P>Q.故P>Q.比较几个数的大小,最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值,然后利用该类函数的单调性比较大小,采用中间值比较也是常用方法.答案:C专题四

对数函数性质的应用【例4】

已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值.函数的图象是函数的重要表示方法,它具有明显的直观性,通过函数的图象能够掌握函数重要的性质,如单调性、奇偶性等.反之,掌握好函数的性质,有助于函数图象的正确画出.【变式训练4】

已知函数f(x)=lg(ax-kbx)(k>0,a>1>b>0)的定义域为(0,+∞),问:是否存在实数a,b,使得f(x)恰在区间(1,+∞)上取正值,且f(3)=lg4?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.从而k=1.故f(x)=lg(ax-bx).若存在满足条件的实数a,b,则f(3)=lg(a3-b3)=lg

4,且f(x)=lg(ax-bx)>0恰在x>1时成立.又由f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,得当x>1时,f(x)>f(1),所以f(1)=0,那么a-b=1.又a3-b3=4,且a>1>b>0,考点一

对数的概念及基本运算1.(2018·全国Ⅰ高考)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=

.

解析:因为f(3)=log2(9+a)=1,所以9+a=2,即a=-7.答案:-72.(2018·全国Ⅲ高考)下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是(

)A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)解析:设所求函数的图象上点P(x,y)关于直线x=1对称的点为Q(2-x,y),由题意知点Q在函数y=ln

x的图象上,∴y=ln(2-x),故选B.答案:B考点二

对数函数的性质且y=log2x在区间(0,+∞)上单调递增,所以log23>log2e>log22=1,即c>a>1.因为函数y=ln

x在区间(0,+∞)上单调递增,且b=ln

2,所以ln

2<ln

e=1,即b<1.综上可知,c>a>b.故选D.答案:D4.(2018·全国Ⅲ高考)设a=log0.20.3,b=log20.3,则(

)A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b答案:B5.(2019·全国Ⅲ高考改编)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递减,则(

)答案:C6.(2020全国Ⅱ高考)若2x-2y<3-x-3-y,则(

).A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|